Больцано.Б.2003.Учение.о.науке.(Избранное)

жений МОЖНО чаще, чем остальные, делать истинны­ ми - это оставалось пока не решенным полностью. Но, пожалуй, МОЖНО предположить, что эти вопросы являются весьма важНЫМИ. Рассмотрим сначала слу­ чай, когда предложения А, В, С, п,.. М, N, О,.. совмес­ тимы между собой и все представления, которые при замене переменных i, j, .. делают истинными одну часть предложений, а именно все А, В, С, п,.. облада­ ют также свойством делать истинными и другую из­ вестную часть этих предложений, а именно М, N, О,.. Особое отношение, которое мы получаем таким обра­ зом между предложениями А, В, С, D, .. с одной сторо­ НЫ, и М, N, О,.. с другой, является настолько значи­

тельным, что позволяет нам на его основе из извест­

ных истин А, В, С, п,.. заключать об истинности М, N, О,.. Такому отношению, которое имеет место между предложениями А, В, С, D, .. с одной, и предложения­ ми М, N, О,.. с другой стороны, я даю имя отношение выводимости (Ableitbarkeit) и говорю, что предложе­ ния М, N, О,.. выводимы (ableitbar) из предложенийА, В, С, п,.. относительно переменных частей i, j, .. если каждая совокупность представлений, которая при за­ мене i,j, .. делает истинными все А, В, С, п,.. делает ис­ тинными также и все М, N, О,.. Я буду употреблять

как аналогичные следуюшие выражения: предло­ жения М, N, О,.. следуют, вытекают, заключаются из совокупности предложений А, В, С, D,.. Предложения А, В, С, D, .. я буду называть посылками или пред­

посылками (Premissen, Vordersiiter), а предложения М,

N, О,.. следствиями или заключениями (Nachsiit2e, Scblu~siitze). Поскольку указанное отношение между

предложениями имеет большое сходство с отношени­

ем между охватывающими и охватываемыми пред­ ставлениями, то я даже позволю себе назвать предло­ жения А, В, С, п,.. охватывающими, а предложения М, N, О,.. охватываемыми.

3) Предположение о том, ЧТО все представления, которые при замене i, j, .. делают истинными предло­ жения А, В, С, п,.. а также и предложения М, N, О,.. еще не означает, что должно иметь место и обратное,

т. е. что все представления, которые при замене пере­

менных делают истинными М, N, О,.. делают истин­ ными и А, В, С, п,.. Отношение выводимости, таким образом, не должно быть обязательно взаимосторон­ НИМ. Так, например, каждая пара представлений, ко­ торые появляются на месте А и в предложении «все А есть В» и делают его истинным, истинным же сделают и предложение «некоторые А есть В», т. е. последнее выводимо из первого. Однако обратное не имеет мес­

то ...

4) Если какое-то из предложений А, В, С, D,.. из которых относительно i, }, .. выводимы М, N, О,.. на­ пример, предложение А не содержит ни одного из по­ добных представлений (переменных. - Б. Ф.), ТО мы можем его отбросить и утверждать, что предложения М, N, О,.. выводимы из В, С, D, .. относительно пред­ ставлений i, }, .. При этих обстоятельствах предложе­ ниеА ДОЛЖНО быть ИСТИННЫМ и оставатъся таким вся­ кий раз, когда мы заменяем представления i,j, .. делая истинными все В, С, п, .. Если становятся истинными все А, В, С, п,.. то и выводимые из них М, N, О,.. ста­

новятся истинными.

164БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

5)Если известные предложения М, N, О,.. выводи­ мы из известных других предложений А, В, С, П,.. и среди первых обнаруживается одно ложное, то и сре­

ди вторых ДОЛЖНО быть какое-то одно ЛОЖНЫМ. Если бы все А, В, С, n,.. были истинными, ТО истинными должны быть и все М, N, О,..(как выводимые из них. -Б. Ф.). Иначе было бы неверно, что каждая со­

вокупность представлений, которая при замене i, j, .. делает ИСТИННЫМИ все А, В, С) n,.. (а именно сами i, j, ..), делает истинными и М, N, О,..

6)Если истинны все предложения, которые выво­

ДИМЫ из предложений А, В, С, D, .. относительно пред­ ставлений i, j, .. то и сами предложения А, В, С, n,.. должны быть истинным. К различным предложени­ ям, которые могут ВЫВОДИТЬСЯ из А, В, С, Т),.. при за­

мене переменных i, j, .. любыми представлениями, ОТ­ носятся и такие предложения: <<А - ИСТИННО», «В - ИСТИННО», «С - истинно» и т. п. Следовательно, если все предложения, которые можно вывести из А, В, С, n,.. ЯВЛЯЮТСЯ истинными, то истинны и первые (А - истинно, В - ИСТИННО И Т. П. - Б. Ф.), а если они ис­ тинны, ТО истинны и сами А, В, С, D, ..

7) Ни из какого предложения А не выводимо его отрицание Neg. А или предложение «А - ЛОЖНО», ка­ кие бы представления в нем не рассматривались в ка­ честве переменных Никакая совокупность пред­ ставлений, которая делает предложение А истинным, не может также и предложение «А - ложно» сделать

истинным.

8) Все заключения М, N, О,.. выводимые из пред­ ложений А, В, С, D, .. относительно представлений i,

j, .. совместимы с теми предложениями, с которыми относительно тех же представлений i, }, .. совместимы

A,B,C,D, ..

9) Следовательно, несовместимые предложения не :могут быть заключениями из совместимых относите­ льно одних и тех же переменных представлений. Так как, если они выводимы, ТО и совместимы ПО п. 8.

1О) Если несовместимы заключения, то относите­ льно тех же самых представлений (рассматриваемых в качестве переменных. - Б. Ф.) несовместимыми бу­ дут и ПОСылки. Так как, если бы были совместимы по.. сылки, то совместимыми, по п. 9, были бы и заключе­

ния.

11) Однако заключения могут быть совместимы между собой, а посылки относительно одних и тех же переменныx частей несовместимы. Для того чтобы предложения М, N, О,.. были заключениями из пред­ ложений А, В, С, D, .. относительно [,},.. а предложе­ ния м', N, 01,.. заключениями из предложений A 1 B1

только, чтобы совокупность представлений, которая при замене i,} ,.. делает истинными А, В, С, D, .. делала истинными и предложения М, N, О,.. а каждая, делаю­ щая истинными предложенияА 1, э; С', о;.. делала ис­ тинными и предложения м', н', 01,.. но не наобо­ рот... То, что предложения М, N, О,.. чаще, чем А, В, С,п,.. а предложения м", н; 01,.. чаще, чемА1,В1, СИ, о,.. будут истинными, возможно потому, что име­ ются представления, которые при замене i, }, .. делают одновременно истинными предложения М, N, О .. и М, N,'О'э- в то время как для предложенийА, В,' С,

п,.. и А\ В', С', о:.. никакие из тех представлений не подходят (чтобы сделать все предложения истинны­ ми.-Б. Ф.).

12) Предложение, если только ОНО не является ис­ тинным ПО всему своему виду (§ 147), никогда не может быть выводимо из обоих: из отдельного предложения А, а также из его отрицания Neg. А, так как имеются представления, которые делают при замене i,j, .. неко­ торое предложение М ложным. Но каждое предложе­

ние, которое делает его ложным, ДОЛЖНО, если пред­

ложение М должно быть выводимо из А и из Neg. А, делать ложным А и Neg. А, что бессмысленно.

13) Но если посылок, из которых должно быть вы­ водимо предложение М, несколько, например А, В, С, D,.. ТО всегда возможно вывести его из отрицания од­ ного, а также всех этих предложений. Ведь из отрица­ ния М, т. е. из Neg. М следует тотчас же не отрицание каждого в отдельности предложения А, В, С, п,.. НО

ТОЛЬКО ТО, ЧТО ОНИ не все являются истинными ...

14)Если предложение М относительно представ­ лений i,j, .. совместимо с предложениями А, В, С, D, ..

то отрицание его, то есть Neg. М, не ВЫВОДИМО из А, В, С, п,.. относительно тех же представлений ...

15)Если предложения А, В, С, D, .. совместимы относительно представлений i, }, .. между собой, но не совместимы с предложением М относительно тех же представлений, то относительно их из А, В, С,

D,.. выводимо Neg. М...

16) Если из посылок А, В, С, D, .. отбросить одну, например А, и заменить ее отрицанием заключения Neg. М, то в случае его совместимости с оставшимися

посьшками, т. е. из совокупности предложений В, С, D,.. Neg. М будет выводимо отрицание отброшенной посылки Neg. А ...

17) Если предложения М, N, О,.. выводимы отно­ сительно представлений i, }, .. как из совокупности предложений А, В, С, п,.. х, так и из совокупности предложений А, В, С, D,.. Neg. Х, то ОНИ выводимы и отдельно из предложений А, В, С, D, .. относительно тех же представлений. Каждая совокупность пред­ ставлений, которая при замене i, },.. делает истин­ ными предложения А, В, С, D, .. делает истинными также и предложения М, N, О,.. вне зависимости от

того, истинным или ложным становится предложе­

ниеХ.

18) Совсем иное дело, когда в совокупности посы­ лок появляется более одного подобного предложе­ ния. ИЗ того, что предложение М выводимо как из со­ вокупности А, В, С, п, .. х, У, так и из совокупности предложений А, В, С, D,.. Neg. Х, Neg. У, вовсе не сле­ дует, что М выводимо отдельно из А, В, С, D, .. Так как могут быть представления, которые при замене переменных сделают истинными предложения А, В, С, D, .. и одно из двух Х или У. При этом М не нужно становиться истинным, чтобы можно бьшо сказать, что оно выводимо из обоих совокупностей - как из А, В, С, D,.. Х, У, так и из А, В, С, D,.. Neg. Х, Neg. У.

19) Если предложения М, N, О,.. выводимы из предложений А, В, С, D, .. относительно большего чис­ ла представлений i,j, k, .. то они выводимы из А, В, С, D,.. и относительно меньшего их числа i, j, .. (которые есть часть первых), при условии, что предложения А,

В, С, П,.. совместимы между собой относительно это­ го меньшего числа представлений j,j, ..

20) Если, напротив, предложения М, N, О,.. выво­ ДИМЫ из предложений А. В, С, п,.. относительно мень­ шего числа представлений (, j, .. ТО ОНИ не ДОЛЖНЫ быть ВЫВОДИМЫ и относительно большего числа их (, j, k,.. (в которых первые повторяются)...

21) Не каждое предложение М, а тем более сово­ купность предложений М, N, О,.. можно поставить с отдельным предложением, например с А или с сово­ купностью предложений А, В, С,.. в отношение выво­ димости просто потому, ЧТО МЫ произвольно (по своему желанию) принимаем, какие и сколько пред­ ставлений (, j, .. в этих предложениях ДОЛЖНЫ рас­ сматриваться в качестве переменных. Так, например,

если мы устанавливаем, что у двух предложений: <<А имеет Ь}) и «С имеет Ф>, кроме представления «иметь», нет никаких общих частей, ТО какие бы пред­

ставления мы ни рассматривали в них в качестве пере­

менных, отношение выводимости между ними не на­

ступит. Представления одного полностью не зависи­ мы от представлений другого предложения.

22) Если из предложения А, В, С, п,.. относительно представлений i,j, .. выводимы предложения М, N, О,.. и из предложений F, G, Н,.. относительно тех же пред­ ставлений выводимы предложения Р, Q, R, .. а предло­ жения А, В, С, П,.. относительно этих же представле­ ний совместимы с предложениями F, G, Н,.. то из со­ вокупности предложений А, В, С, п,.. F, G, Н,.. выводима относительно тех же самых представлений

из предложений А, В, С, п, .. относительно представ­ лений i, j, .. а предложения Р, Q, R, .. выводимы из предложений Р, G, Н,.. относительно представлений k, 1, .. которые МОГУТ частично или полностью отлича­ ться от ',}, .. то совокупность предложений М, N, Ор. Р, Q, R, .. выводима из совокупности предложений А, В, С, D, .. Р, G, Н,.. относительно совокупности пред­ ставлений ',}, k, 1, ..

24) Если из предложений А, В, С, п,.. относитель­ но представлений i, j,.. выводимы предложения М, N, О,.. а из предложений М, N, О,.. и R, S, Т,.. от­ носительно тех же представлений выводимы предло­ жения Х, У, Z, .. то предложения Х, У, Z, .. также вы­ водимы из предложений А, В, С, п,.. R, S, Т,.. отно­ сительно тех же самых представлений...

25) Если предложения М, N, О,.. относительно представлений " }, .. выводимы из предложений А, В, С, п,.. а предложения Х, У, Z, .. выводимы из предло­ жений М, N, О,.. R, S, Т,.. относительно представле­ ний к, 1, .. которые частично или полностью могут от­ личаться от представлений (.], .. то предложения Х, У, Z, .. выводимы из предложений А, В, С, п,.. R, S, Т,.. относительно совокупности всех представлений i, j, ..

k,I, ..

26) Если посылки А, В, С, п,.. из которых относите­ льно представлений ',}, .. выводимо известное предло­ жение М, обладают таким свойством, что невозможно отбросить ни одну ИЗ них, даже ни одну из частей зтих посылок (внутреннюю составную часть любой посыл­

оставалось выводимым из остатков относительно тех же представлений, то я назову отношение ВЫВОДИМО~ сти предложения М из А, В, С, D, .. точным (gепаuеs), точно отмеренным (gепаu Ьеmеssепеs) или адекват­ ным (adiiquates), а в противоположном случае избы­ точным (UЬеПШltеs). Так, отношение выводимости между двумя посылками: «все (х есть {3», «все {3 есть у» и заключением «все (х есть У» относительно рас­

сматриваемых в качестве переменных представлений

(Х, (3, уЯвляется точным. Здесь невозможно отбросить

никакую отдельную часть в каждой из посылок, ни тем более саму посылку без ущерба для вывода заклю­

чения «все ()( есть У». Напротив, отношение выводи­

мости между теми же посылками и заключением «не­

которые f3 есть 00> я считаюизбыточным, так как мы

можем получить его ИЗ одной первой ПОСЫЛКИ. Также избыточным будет ВЫВОД, если из обоих ПОСЬШОК «все (х есть (3», «все 13 и у есть 6» выводят заключение «все ос есть б», так как его МОЖНО получить уже в ТОМ слу­ чае, если вместо посылки: «все {3 и у есть 6» взять бо­ лее простую: «все (3 есть 6».

27) Ни заключения, ни посылки отношения точ­ ной выводимости не могут быть предложениями ис­

тинными по всему своему виду (т. е. тождествен­ но-истинными. - Б. Ф.). Ни заключения - потому

что истинные по всему своему виду предложения во­ все не требуют условия истинности своих посылок. Ни посылки - потому ЧТО истинную по всему свое­ му виду посыпку можно отбросить, не нарушив вы­ водимость заключения из остальных предложений

28) Если отношение выводимости между посылка­ ми А, В, С, D, .. и заключением М должно быть точ­ ным, то отрицание заключения Neg. М должно быть совместимо с каждой посылкой в отдельности отно­ сительно тех же представлений i,j, .. которые рассмат­ риваются в них как переменные части. Если бы Neg. М бьшо с какой-то частью посылок, например с В, С,.. несовместимо, то предложение Neg. Neg. М, со­ гласно п. 15, было бы выводимо из В, С,.. а следова­ тельно, было бы выводимо само М отдельно. Отно­ шение выводимости М ИЗ А, В, С, D,.. было бы в этом случае избыточным, т. е. неточным (п. 26).

29) При отношении точной выводимости ни одна посылка не может быть выводимой из остальных по­ сыпок относительно тех самых представлений, кото­

рые должны рассматриваться в этом отношении в ка­ честве переменных. Если бы посъшка А была выводи­ ма из остальных В, С, п,.. то имелась бы целая совокупность предложений А, В, С, п,.. выводимых относительно тех же самых представлений из предло­ жений В, С, п, .. а вследствие этого предложение М, которое выводимо из А, В, С, п,.. выводимо уже из их меньшего числа, т. е. из предложений В, С, п,.. (п. 2З). Следовательно, отношение выводимости меж­ ду А, В, С, п,.. и М наверняка не является точным.

ЗО) При отношении точной выводимости отрица­ ние каждой отдельной посылки должно быть совмес­

тимо не Только со всеми остальными, но еще и с отри­

цанием заключения относительно одних и тех же представлений, рассматриваемых в качестве перемен­

тимо с В, С, п,.. то ИЗ них было бы ВЫВОДИМО А и, тем самым, предложения А, В, С, п,.. нельзя было бы рас­ сматривать в качестве посылок отношения ТОЧНОЙ вы­ водимости, согласно п. 29. А если бы с предложения­ ми Neg. А, В, С, D, .. было несовместимо отрицание за­ ключения Neg. М, то, согласно п. 15, Neg. Neg. М, т. е. само М, выводимо из Neg. А, В, С, D, .. Но так как М ДОЛЖНО быть ВЫВОДИМО из А, В, С, п,.. ТО истинность или ложность А должна быть безразличной для М и, следовательно, М было бы ВЫВОДИМО также из В, С, D, .. в отдельности. Поэтому отношение ВЫВОДИМОСТИ между А, В, С, п,.. и М не является ТОЧНЫМ.

31) При отношении точной выводимости отрица­ ния двух или более посылок могут находиться в отно­

шении несовместимости с остальными по ОДНИМ и тем

же представлениям, рассматриваемым в качестве пе­

ременных. Если мы кратко выразим предложения «все ()( есть {З», «все {З есть у» и «все ()( есть у» через соот­ ветствующие буквы А, В и С, то отношение выводимо­ сти, в котором находятся три предложения Neg. А, Neg. В и Neg. С, рассматриваемые как посылки, к за­ ключению «совокупность трех предложений Neg. А, Neg. В, Neg. С является совокупностью сплошь истин­ ных предложений» будет точным, если в качестве пе­

ременных представлений должны рассматриваться ()(, {З, у. Здесь невозможно отбросить ни одну из трех по­ сылок или какую-либо часть их, чтобы из них еще можно было получить указанное заключение.

32) Если отношение выводимости между посылка­ ми А, В, С, D, .. и заключением М так же, как и между посылками М, R, S, Т,.. и заключением Хотноситель·

но ОДНИХ И тех же представлений i, j, .. является точ­

ны.м., то отсюда не следует, однако, что отношение вы­

водимости, которое имеет место, согласно п. 26, меж­ ду посылками А, В, С, D ,.. R, S, Т,.. и заключением Х,

должно быть точным. Так, выводимость между по­ сылками «все с( есть {3», «все {3 есть у» и заключени­

ем «все с( есть у», точно так же, как и отношение вы­

водимости между посылками «все lX есть у», «все у есть {З» и заключением «все ()( есть {З», без сомнения,

является точной. Однако, отношение выводимости

между тремя посылками «все ()( есть {З», «все {З есть у и «все у есть {3» и заключением «все ос есть (3» не ЯВ­

ляется точным.

33) Но иногда, если заключение Миз посьшокА, В, С, D, .. и заключение Хиз посылок М, R, S, Т,.. точно

выводимо, также и отношение выводимости заключе­ ния Хиз посылок А, В, С, п,.. R, S, Т,.. может оказать­ ся точным. Если вместо последней посылки в преды­ душем примере «все у есть {З» взять посылку «все у есть б», а вместо заключения «все ос есть {3» взять за­ ключение «все ос есть б», все три рассмотренных вы­ вода станут точньwu. Когда вместе с обоими отноше­ ниями выводимости, В которых находятся посылкиА, В, С, n,.. к заключению М и посылки М, R, S, Т,.. к за­

ключению Х, а также из них получаемое третье отно­

шение выводимости между посылками А, В, С, n,.. R,

S, Т,.. и заключением Х является точным, то я назову

последнее отношение выводимости составным (zu- sammegesetzt) из первых двух. Отношениеже выводи­ мости, которое не составлено таким образом я назы­

ваю nросmьш (einfaches).

174БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

34)Должны иметься и простые отношения выво­ димости. Так, отношение выводимости между посыл­ ками «все ()( есть f3», «все f3 есть у» и заключением

«все ()( есть у» является простым. Трудио указать предложение, которое бы можно было точно вывести из одной или из обеих посылок и которое при зтом было бы таким, что из него одиого или в соединении с другим предложением можно было бы точно вывести

вышеуказанное заключение.

35) Если у пары предложений <(,4 имеет х» и <<В

имеет х» одинаковое предикатное представление, ко­ торое рассматривается в качестве переменной, то вто­ рое выводимо из первого, если субъектное представ­ ление первого, а именно А, находится к субъектному представлению второго, а именно В, в отношении ох­ ватывания (§ 95), и если этого нет, то не имеет места и

отношение вьmодимости...

36) Если пара предложений <<Химеет 0» и «Химе­ ет Ь" обладает одинаковым субъектным представле­

нием, которое рассматривается в качестве перемен­ ной, то второе выводимо из первого, если представле­ ние В (соответствующая Ь конкрета) охватывает представление А, и если этого нет, то не имеет места и

отношение выводимости.

Примечание... Предлагаемое мной отношение выводимости позволяет, по сравнению с прежней ло­ гикой, рассматривать выводы с гораздо большим ко­ личеством посылок и заключений... и даже при точ­ ной въmодимости...

§156. Ь) Отношение равиозначности

1)Если отношение выводимости между предложе­ ниями А, В, С, D, .. и М, N, О,.. взаимосторонне, при­

чем всегда относительно одиих и тех же представле­ ний i, }, .. т. е. если каждая совокупность представле­ ПИЙ, которая при замене i,j, .. делает все А, В, С, n...

истинными делает истинными и все М, N, О,.. и нао­

борот, eem: каждая совокупность представлений, ко­

торая при замене i,j, .. делает истинными все М, N, О,.. делает также истинными и все А, В, С, D, .. то я назову

отношение между этими совокупностями предложе­ ний относительно представлений i, j, .. рассматривае­

мых в качестве переменных, отношением равнозначно­

сти (G1eichgiiltigkeit), а сами совокупности предложе­ нийравнозначными (gleichgeltende). Так, я говорю, что предложение «каждое А имеет Ь» равнозначно с предложениями: «представление А имеет предмет­ ность» и «представление А, которое не имеет Ь, не имеет предметности», если представления А и Ь рас­

сматриваются в качестве переменных, поскольку два последиих предложения выводимы из первого, а пер­ вое из двух последиих...

§157. с) Отношение подчинении

1)Если отношение выводимости между предложе­ НИЯМИ А, В, С, п,.. и М, N, О,.. не взаимно, а односто­ ронне, если, следовательно, только М, N, О,.. выводи­

мы из А, В, С, п,.. относительно известных перемен­ ных представлений i, }, .. но не наоборот, то я назову

176 БЕРНАРД БОЛЬЦАНо

отношениемеждупредложениямиА, В, С, D, .. с одной стороны, и предложениями М, N, О,.. с другой, отно­ шением подчинения (Unterordnung) ... вторые предло­ жения я называю подчиненными (unter geordneten), .. а первые - подчиняющими...

§ 158. d) Отношенне сцеплення

Остается еще только рассмотреть случай, когда

.между предложениями А, В, С, D, .. и М, N, О,.. имеет

место отношение совместимости, но так, что ни пред­

ложения М, N, О, .. не выводимы из предложенийА, В, С, D, .. ни последние не выводимы из первых. Иными

словами, хотя и имеются представления, которые при

замене представлений i, j, .. делают вместе истинными предложения А, В, С, D, .. и М, N, О,.. но имеются так­ же и другие, которые делают истинными все А, В, С, п,.. без того, чтобы делать также истинными и все М, N, О,.. а также еще такие, которые делают истинными только М, N, О,.. без того, чтобы делать истинными также и все А, В, С, D, .. Так как это отношение имеет большое сходство с отношением сцепления между представлениями (§ 98), то я назову отношение, имею­

щее место между предложениями, также отношением

сцепления, если только КТО-ТО не захочет его назвать

отношением llезавuсu..мосmu. ..

§159. Особые виды несовместимости

1)... Если о нескольких предложениях А, В, С, D, ..

говорится, ЧТО они относительно представлений i, j, .. находятся в отношении несовместимости (Unvertrag-

lichkeit), то этим лишь утверждается, ЧТО нет никаких представлений, которые при замене i, j ," делают все предложения А, В, С, D, .. одновременно иСТИННыми...

Может возникнуть вопрос аналогичный тому, ко­ торый мы ставили при разъяснении отношения выво­ димости. .. Имеется или нет среди несовместимыx между собой относительно представлений 1, j, .. пред­ ложений А, В, С, D, .. М, N, О,.. такие некоторые А, В, С,.. которые устроены так, что каждая совокупность представлений, которая при замене персменных i, [, .. делает истинными все А, В, С,.. делает другие М, N, О,.. ложными. Если это обнаруживается, то Отноше­ ние предложений М, N, О,.. к предложениям А, В, С,..

является противоположным отношению, которое мы

назвали выводимостыо. Я Позволю себе назвать это отношением исключения (Ausschlie~ung) и говорю, что одно или несколько предложений М, N, О,.. будут исключаться другими известными предложениями А, В, С,.. и притом относительно представлений i, j, ..

рассматриваемых в качестве переменных, если каж­ дая совокупность представлений, которая при замене i, j, .. делает истинным все А, В, С,.. делает все М, N, О,.. ложными. Примером ОТНошения исключения мо­

гут служить отношения между двумя предложениямн

«А есть В» и «В есть С», С одной стороны, и предло­ жением «никакое С не есть А» - с другой, если в каче­ стве переменных рассматривать А, В, С.

2) Если предложения А, В, С,.. исключают другие известные М, N, О,.. относительно представлений i, j, .. то отрицания последних Neg. М, Neg. N, Neg. О,.. выводимы из А, В, С,.. относительно тех же i,j, ..

3) При отношении взаимного исключения (wechselseitigen Ausschlie~ung) между предложениями А, В, е,.. и М, N, О,.. каждая совокупность представлений, которая при замене i,j, .. делает истинными все А, В, С,.. и ложными все М, N, О,.. и каждая совокупность представлений, которая делает ИСТИННЫМИ все М, N, О,.. все А, В, С,.. ложными. В ЭТОМ отношении нахо­ дятся, например, два предложения <<.4 по возрасту ра­ вен С», «В в трираза старше О, к двум предложениям <<.4 и В вместе в семь раз старше С», «возраст Вравен сумме возрастов А и О" если представления А, В, С рассматриваются в них как переменные. Как только

истинными становятся два первых предложения, так

ложными становятся два последних, а когда ИСТИННЫ

два последних, ложными оказываются два первых.

4) Отношение взаимного исключения между пред­ ложениями А, В, С ,.. и М, N, О,.. означает, ИНЫМИ словами, ЧТО из А, В, С ,.. ВЫВОДИМЫ Neg. М, Neg. N, Neg. О,.. а из М, N, О,.. выводимы Neg. А, Neg. В, Neg. С,.. Но если сама эта ВЫВОДИМОСТЬ отно­ сительно представлений i, j, .. является взаимной, ТО...

я назову отношение между совокупностями предло­

женийА,В, С,.. и М, N, О,.. отношениемnроmuворечuя (Widerspruches). А если эта ВЫВОДИМОСТЬ носит одно­ сторонний характер, то отношение между А, В, С,.. и М, N, О,.. по представлениям i,j, .. я назову противопо­ ложными (Widerstreites). Противоречивые предложе­ ния называют также контрадикторными, а противо­

положные контрарными...

5) Непосредственно из пА следует: если предложе­ ния А, В, С, .. с предложениями М, N, О,.. находятся в

отношении противоречия, то А, В, С,.. с Neg. М,

Neg. N, Neg. О,.. и М, N, О,.. с Neg. А, Neg. В, Neg. С,..

относительно одних и тех же представлений i,j, .. рас­

сматриваемых в качестве переменных, находятся в от­

ношении равнозначности...

6) Никакое предложение, которое по всему своему виду является истинным или ложным (§ 147) не может оказаться среди предложений, находящихся в отно­

шении противоречия ...

7) Если только предложение А не является истин­ ным ИЛИ ложным по всему своему ВИДУ, то А и его отрицание Neg. А находятся в отношении противоре­ чия. Имеются представления, которые при замене пе­ ременных делают А истинным, и другие представле­ ния, которые при замене тех же переменных делают А ложным. Но все представления, которые делают А ис­ тинным (или ложным), делают Neg. А ложным (или истинным), И наоборот.

8) Если предложения А, В, С,.. и М, N, О,.. нахо­

ДЯТСЯ в отношении противоречия, то и предложения

Neg. А, Neg. В, Neg. С,.. с предложениями Neg. М,

Neg. N, Neg. О,.. находятся в этом же отношении...

9) Предложения, которые равнозначны предложе­

ниям, находящимся в отношении противоречия, на­ ходятся в отношении противоречия между собой...

10) Если предложения А, В, С,.. с предложениями М, N, О,.. и предложения М, N, О,.. с предложениями R, S, т,.. нахОДЯТСЯ в отношении противоречия, то предложения А, В, С,.. и предложения R, S, Т,.. нахо­

ДЯТСЯ в Отношении равнозначности относительно од­ них и тех же переменных представлений...

180БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

11)Если предложения А, В, С,.. с предложениями М, N, О,.. и предложения Е, F, G,.. с предложениями Р,

Q, R, .. находятся в отношении противоречия относи­ тельно одних и тех же переменных представлений Н, кроме того, предложения А, В, С,.. Е, F, G,.. как и

предложения Neg. А, Neg. В, Neg. С,.. Neg. Е, Neg. F,

Neg. G,.. между собой совместимы относительно тех же представлений, то совокупность предложений А, В, С,.. Е, Р, G,.. находится с совокупностью М, N, О,.. Р, Q, R,.. в отношении противоречия относительно тех же представлений...

§ 160. Отношения между предложениями,

вытекающие из оценки количества ИСТИННЫХ или ложных предложений в их совокупности

Рассматривая отношения между предложениями в § 154--159, мы обращаливниманиене на то, являются ли обсуждаемыепредложенияистиннымиили ложны­

МИ, НО на то, какие отношения к истине ИЛИ лжи они

обнаруживают, если известные части в них рассмат­ риваются в качестве переменных представлений, ко­ торые могут заменятьсялюбымидругимипрецставле­ ниями. Однако в деле открытия НОВЫХ истин весьма

важно знать: имеются ли и сколько имеется в извест­

ной совокупности предложений истинных или лож­ ных предложений. Причем это может быть как в той форме, которую они имеют первоначально, так и в форме, которую они могут принимать при замене в них переменных представлений любыми другими

1)Прежде всего, все предложения, появляющиеся

вданной совокупности, могут быть все ИСТИННЫМИ или все ложными (согласно § 147) по всему своему ви­

ду.

2) Мы можем не знать сколько: одно, несколько

или все предложения в совокупности являются истин­ ными ИЛИ ложными. Например, ОТносительно четы­

ем точно, являются ли они все ложными ШIИ одно, два, три из них, ИЛИ все они истинны, при условии, что представление «эта» заменяется всегда такими

представлениями, что все образуюшиеся предложе­ ния обладают предметностью... Предложения, о ко­

торых мы Знаем только то, ЧТО они не являются

сплошь (durchgangig) ложными, я называю дополни­ тельными друг к другу (ergiizende еiпапdег), или вспо­ могательными (aushelfende). Дополнительными - по­

тому что все вместе они исчерпывают область предло­ жений, которые мы имеем в отношении свойств известного предмета (например, о времени, в которое выполняется полевая работа). Вспомогательными _ потому ЧТО МЫ пользуемся ими, когда не знаем точно случая, который собственно имеет место...

3)Если мы знаем, что ТОлько одно предложение

всовокупности М, N, О,.. истинно (ложно), то я на­

зываю отношение внутри совокупности предложе­

ний М, N, О,.. отношением одночленного дополнения. Например: «евангелие было написано первоначаль­ но либо греческим, либо древнееврейским языком».