Больцано.Б.2003.Учение.о.науке.(Избранное)

ли Х предметно, ложно одно из двух предложений (6). Но в каждом из иоснеиипх. случаев это может проис­ ходить вследствие отбрасывания известных объеди­ ненных в представлении (7) признаков, что позволяет образовать пару представлений Х' и Х", которые оба

имеют предметность и делают два предложения:

истинными. Должно быть возможно также, чтобы ис­ ТИННОСТЬ этих предложений уставнавливалась за счет

использования тех же самых предпосылок, которые

употреблялись при доказательстве предложений

(5) и (6). Так как из признаков, которые делают бес­

предметным или самопротиворечивым представ­

ление Х и отсутствуют в представлениях Х и Х1, не­

возможно получить никакого известного следствия,

которое необходимо для доказательства этих предло­ жений. Если этого нам однажды удается достигнуть, т. е. если мы обнаружили и доказали пару предложе­ ний типа (8), то можно считать все дело (преобразова­ ния апагогического доказательства) завершенным. Так как объединение их с истиной (3) оправдывает тотчас же заключение о том, что хи и хии являются парой взаимоисключающих представлений (§ 105) или (что то же самое), что представление о нечто, которое бы было одновременно ХИ и ХИИ, а тем более, сле­ довательно, еще более узкое (составное или сложное) представление А, которое быпо бы одновременно В, является беспредмегным. Но из этой истины (как только становится известно, что представление А яв-

ляется предметным) получается сама доказываемая

истина:

каждое А есть не-В.

3) В качестве примера подобного преобразования рассмотрим доказательство Евклида о том, ЧТО в каж­ дом треугольнике асЬ против большего угла а > Ь ле­ жит большая сторона сЬ > са (Ев. I, 19). Оно гласит сле­ дующее: «Если бы было неверно, что сЬ > са, то должно быть либо сЬ = са, либо сЬ < са. Но если сЬ = са, то (со­ гласно Ев. I, 5) противостоящие сторонам треутольни­ ка асЬ утлы должны быть равны, т. е. а = Ь, ЧТО проти­ воречит сдепанному предположению. А если сЬ < са, то (согласно Ев. I, 18) между противостоящими им утлами имело бы место отношение: а < Ь, что также противоре­ чит сделанному предпопожению. Следовательно, оста­ ется принять, что сЬ > са». Это доказательство, как мы видим, включает в себя два апагогических доказатель­ ства в виде следующих предложений:

втреугольнике асЬ, в котором а > Ь, cb:f:- са;

втреугольнике асЬ, в котором а > Ь, неверно, что сЬ < са.

Наверное, достаточно осуществить преобразова­

ние апагогического доказательства для первого пред­ ложения, чтобы понять, как это можно сделать и для

второго.

Если мы сравним подлежащее доказательству

предложение

(1)в треугопьнике асЬ, в котором а > Ь, сЬ "" са

сформой предложения (1) предшествующего в п. 2 объяснения, то обнаружим, что под представлением А

в данном случае следует подразумевать представле­

ние о треугольнике асЬ, в котором а > Ь, а под пред­ ставлением В представление о треугольнике асЬ, в ко­ тором сЬ =са. Ложным предположением, которое ис­

пользуется в апагогическом доказательстве, здесь

будет предложение:

(2) представление о треугольнике асЬ, в кото­ ром а > Ь и одновременно сЬ = са, имеет предмет­

ность.

Это предположение скрытым образом использу­ ется и в доказательстве Евклида в виде гипотетиче­ СКОГО высказывания: если бы в треугольникеасЬ сЬ = й, тоа =Ь.

Предложение формы (3), истинность которого

принимается в апагогическом доказательстве, звучит

здесь так:

(3) в каждом треугольнике асЬ, в котором сЬ = са, также и а = Ь.

Следовательно, под представлением R здесь под­ разумевается представление о треугольнике асЬ, в ко­ тором сЬ = са, и под представлением S представление о треугольнике асЬ, в котором а = Ь.

Предложение формы (4) звучит здесь так:

(4) представление о треугольнике асЬ, в котором сЬ = са, но а;< Ь, имеет предметность.

Это заключение получается из предположения ис­ тинности предложения (2) без привлечения других предложений, но лишь за счет замены узкого пред­

ставления:

некоторый треугольник асЬ, в котором а > Ь, сЬ =

= са,

на более широкое: некоторый треугольник асЬ, в ко­ тором а ;< Ь и сЬ = са

Последнее представление оказывается, таким об­ разом, представлением Хиз (7), имеющим форму: А', которое есть в'. в данном рассматриваемом случае доказательства представление в' оказывается одина­ ковым с представлением В (и с R), а представление А' образуется за счет расширения объема представления А, поскольку вместо признака а > Ь используется бо­ лее широкий (обобщенный. - Б. Ф.) признак а « Ь.

Предложения (5) и (6) звучат здесь соответственно:

(5) представление о треугольнике асЬ, в котором сЬ = са, но а ;< Ь, имеет предметность,

треугольник асЬ, в котором сЬ = са, но а ;< Ь,

имеет признак а = Ь,

(6) треугольникасЬ, в котором сЬ = са, но а;< Ь,

имеет признак сЬ ;#. са.

Чтобы избавиться от апагогической формы, нуж­ но, согласно сказанному в п. 2, отбросить из пред­ ставления Хили из нечто, которое есть как А, так и В, известную составную часть в виде пары более широ­ ких представлений ХИ и ХИИ, доказав, что они обра­ зуют два истинных предложения формы (8). Здесь тотчас же обнаруживаются:

(7)треугольник асЬ, в котором са = сЬ, имеет при­ знак а = Ь,

(8)треугольник асЬ, в котором а ;< Ь, имеет при­

знак са;< сЬ.

Доказательство этих двух предложений нетрудно осуществить: первое является положением «Элемен­ тою> Евклида (Ев. 1, 5), а второе получается из перво-

го за счет контрапозиции. При этом обнаруживается, что в нашем конкретном случае не нужны 06а предло­ жения, чтобы получить заключение:

представление о треугольнике асЬ, в котором а '" Ь и са = сЬ, является беспредметным.

Отсюда образуется подлежащее доказательству

предложение:

представление о треугольнике асЬ, в котором а > Ь и са ;:::. сЬ, является беспредметным,

или:

треугольник асЬ, в котором а > Ь имеет признак са'" сЬ.

Все доказательство кратко звучит так: треугольник асЬ, в котором са ;:::. сЬ, имеет признак

а = Ь.

Следовательно, треугольник асЬ, в котором а '*Ь, имеет признак са 7:- сЬ.

Вследствие этого треугольник асЬ, в котором а > Ь, имеет признак са :t:- сЬ.

4) Итак, преобразование апагогического доказа­ тельства позволяет избежать использования ложных предложений в основаниях доказательства и позво­

ляет опираться лишь на такие, которые проще первых вследствие того, что из них исключаются беспредмет­ ные субъектные представления.* В обычной практике подобные предложения появляются в основном в сле­ дующей гипотетической форме: «Если нечто, которое имеет Свойства СХ, /3, у,.. имело бы свойство и, то оно

* Напомним, что ложное предложение у Больцано - это пред­ ложение, субъектное представление которого является беспред­

имело бы и свойство поп. у», где поп. у и у обознача­ ют противоречащие друг другу свойства. В подобном предложении из субъектного представления предпо­ сылки признак у можно отбросить, и это упрощение

не усложнит ни доказательство самого ГИП01 етиче­

ского предложения, ни выведение из него других

предложений. Отсюда получается, что апагогический способ доказательства не должен использоваться ни­ когда там, где требуегся ясное осознание оснований (может быть даже субъективных), на которые опира­ ется доказываемая истина. Для этих целей указывае­ мый способ доказательства не годится. Но я не хочу утверждать, что он не годится вообще, например в тех случаях, когда требуется лишь убедить читателя в ис­

тинности доказываемого положения ...

§ 531. Доказательство через индукцию и аналогию

Индуктивные доказательства следует использо­ вать во всех тех случаях, (а) где нам известно другое доказательство, а именно: а) для доказательства опытных истин, убеждение в правильности которых может БЫ1 ь обнаружено лишь индуктивным путем и

чаще всего через неполную индукцию, которая свиде­ 1 ельствует об определенной вероятности доказывае­ мого положения; ~) при доказательстве таких поня­ тийных истин, которые мы не можем пока еще выво­ дить ИЗ простых понятий, но можем убедиться в правильнасти их из опыга... (Ь) Можно прибегнуть к

индуктивному доказательству даже в тех случаях, ког­ да известен другой способ доказательства, если он

оказывается все же недостаточным для убеждения чи­ тателей... Если ИНДУКЦИЯ оказывается непопной, то мы ДОЛЖНЫ показать, что она достаточна для того, чтобы

создать уверенность читателя в доказываемом поло­ женин с определенной степенью вероятности. Подоб­ ный метод мы называем аналогией.

§532. Доказательство из ЧИСТЫХ ПОНJlТИЙ И из опыта

1)Доказательство из чистых понятий имеет несо­

мненное предпочтение, поскольку при отсутствии

ошибок в посылках и заключении оно обнаруживает

полную ясность ТОГО, что доказывается...

2) Доказательство из опыта или эмпирическое до­ казательство... ПОЗволяет говорить об определенной степени вероятности, но никогда о полной уверенно­

сти в доказываемом положении ...

в любом доказательстве необходимо стремиться к тому, чтобы установить невозможность противопо­

ложного тому, что доказывается ...

VI. О возражениях И опровержениях

§538. Понятпе н польза возражения н опровержения

Втесной связи с теорией доказательства находится теория возражений (Einwiirfen) и опровержений (Widerlegungen). Отдельное представление или их сово­

купность (рассматриваемая как единое предложение) я называю возражением против предложения М, если

оно используется с намерением вызвать у каждого,

кто его рассматривает, уменьшение доверия к предло-

жению М, или уменьшение степени уверенности в предложении М. Если степень уверенности в предло­ жении М уменъшилась, НО не достигла еще такой, чтобы превратиться в полную уверенность в противо­ положном предложении Neg. М, то возражение про­ тив М можно назвать возрастающим сомнением, а в противном случае - возражением вузком смысле. На­

против, предложение или их совокупность, которые используются с намерением снять всякие последствия

от возражения, я называю разрешением или ответом

на возражения. Если же эти предложения используют­

ся в процедурах доказательства, то их можно назвать

также опровержением данного возражения (ср. § 371, п. 2). Польза от возражений и опровержений в учебни­ ке состоит в следующем, (а) Мы должны заранее пред­

видеть и предусмотреть возможные возражения про­ тив излагаемой в учебнике науки, что позволит повы­ сить степень уверенности читателей в ней. (Ь) Рассмотрение утверждений противоположных возра­ жениям также повышает степень доверия читателей к излагаемому учению. (с) С помощью опровержений

мы создаем упражнения для ума и приводим к посте­

пенному нахождению правильных ответов. (d) Они создают возможность лишний раз проверить наши утверждения и убедиться в их правильности...

§541. Как ДОЛЖНЫ строиться опровержении

1)Не все возражения, используемые в учебнике,

ДОЛЖНЫ сопровождаться соответствующими опро­

вержениями. Но там, где они употреблены, они (а)

ДОЛЖНЫ быть построены таким образом, чтобы пол­

ностью снимались возражения против ИСТИННОСТИ

выдвинутого положения... (Ь) Опровержение не долж­ но повторять оснований, используемых при доказате­ льстве выдвинутого положения... (с) Опровержения

не должны строиться на апелляции к различным чув­

ствам читателей...

2) Внутренняя структура опровержений предпола­

гает (а) уяснение точного смысла слов возражений...

(Ь) Необходимо выяснять, нет ли среди возражений

таких утверждений, которые мы сами считаем ИСТИН­

ными...

УН. Опримерах

§ 544. Повятие и польза примеров

Специальное предложение, приводимое относи­ тельно некоторых общих, мы называем примером, если оно помогает нам лучше понять последние. Так спе­

циальное утверждение о том, что трижды четыре озна­

чает то же самое, что и четырежды три, мы приводим В

качестве примера общего положения о ТОМ, что при из­ менении мест сомножителей произведение остается не­ изменным, Рассмотрение первого предложения содейст­ вует, таким образом, уяснению смысла второго и даже помогает признать его истинность, ХОТЯ и не с необходи­ мостью. В широком значении :мы используем в качестве примера не только предложения, НО и предметы, о кото­ рых идет речь в указанных предложениях. Так, напри­ мер, мы говорим о безнравственности, которая ведет к

несчастному концу, как опримере, подтверждающем

щем общую истину о ТОМ, что безнравственный чело­ век никогда не оказывается безнаказанным

Польза примеров в учебнике состоит в том, что (а) они способствуют более легкому усвоению общих по­ ложений науки .. (Ь) С помощью примеров удобно де­ монстрировать истинность общих правил... (с) Они способствуют запоминанию и воспроизведению общих положений (d) Они развивают образную фантазию читателей (е) Усиливают внимание к общим положениям науки, излагаемой в учебнике...

VIII. О рассмотрении отдельных представлений и предложений

§ 551. О необходимости рассмотрения самих представлений и предложений

... Едва ли не в каждом учебнике имеются предло­

жения, которые говорят о самих предложениях или

представлениях: ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ОНИ простыми ИЛИ со­

ставными, в каких отношениях они находятся друг к

другу, из каких частей состоят, к какому виду предло­ жений (существенным, вспомогательным или случай­ ным) относятся и т. Д..•

§ 552. Какие предложения и представления должны быть предметом собственного рассмотрении в учебнике

1) к предложениям, которые заслуживают собст­ венного рассмотрения в учебнике относятся: (а) все выдвигаемые (§434) в учебнике положения, если мы хо-

432 БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

тим, чтобы читатель ЯСНО осознал и правильно взвесил степень вероятности, которая им присуща... (Ь) Все

предложения, которые полезны для отличия и сравне­ ния с другими предложениями. (с) Все истины, относи­ тельно которых необходимо указать их объективные связи и зависимости... (d) Все предложения, анализ ко­ торых приводит к обнаружению их истинности...

2) Представление заслуживает собственного рас­ смотрения в учебнике, если (а) оно является составной частью предложения, заслуживающего собственного рассмотрения в учебнике и предполагающего рас­ смотрение своих составных частей. (Ь) Если анализ представления способствует установленЕаО истинно­ сти выдвигаемого положения или обнаружению его объективных связей с другими истинами. (с) Если мы

желаем разъяснить читателю данное представление ...

А. Об объяснениях представлений

ипредложений

§554. Какие предстввления и предложения требуют

собственного объяснения в учебнике

Во-первых, сами объяснения (ErkHirungen), под ко­

торыми я понимаю предложения, определяющие, ЯВ­

пяется ли данное представление или предложение простым или составным н, в последнем случае, из ка­ ких частей и соединений их ОНО состоит. Прежде всего я должен указать на те представления и предложения, которые ЭТОГО заслуживают, Т. е. на те представления

и предложения учебника, от которых имеется ка­ кая-либо польза при изложении науки... Мы будем объяснять такие из НИХ, которые способствуют обна­ ружению истинности и объективных связей между ис­

тинами ...

§ 555. Какие объяснения нуждаются в доказательстве своей правильности

Если читателю сообщается, что с помощью из­ вестного знака (или слова) мы хотим выразить имен­

но такое представление, которое составлено из соеди­ нения некоторых представлений, то он узнает из ка­ ких именно частей оно состоит. А само предложение, в котором сформулировано это сообщение, мы назы­ ваем объяснением. Конечно, существуют объяснения, которые не требуют никаких дальнейших дока­ зательств правильности... Такого рода объяснения можно назвать синтетическими. Другое дело, когда мы желаем объяснить представление не за счет указа­ ния его Составных частей, но иным образом. Напри­ мер, через способы его обычного языкового употреб­ ления, которые мы связываем с обозначающим дан­ ное представление знаком или словом, и т. П. В этом

случае, Хотя представление и знакомо читателю, он

еще не может сделать вывод о его составе, о том, явля­

ется ли оно простым ИЛИ сложным... Вообще мы за­ мечаем, что довольно трудно давать объяснения уже используемых нами понятий и еще тяжелее убедить другого в их правильности. Если мы даем объяснение некоторого понятия не для того, чтобы его образовы-

-~~~~~~~ ~~~~-

вать, то подобные объяснения называют обычно ана­ литическими.. Объяснение нуждается в доказательст­ ве своей правильности В том случае, когда на нем

основываются определенные ВЫВОДЫ или следствия,

представляющие значимость для излагаемого науч­

НОГО содержания ...

В. О сравнении и различении представлений

ипредложений

§560. Когда и какие виды сравнений и различений

следует употреблять для представлений и предложений

1) Среди многочисленных предметов, заслужива- ющих того, чтобы их сходство или различие было отмечено в учебнике, могут быть также представле­ ния и предложения. Сравнение и различение их определяются следующими целями. (а) Их использо­ вание часто оказывается более легким средством

установления истинности ИЛИ ложности данного

предложения... Ведь подобные (сходные) предложе­ ния имеют, как правило, и сходные (подобные) дока­ зательства своей истинности или ложности...

(Ь) Знание сходства или различия некоторых предло­ жений или представлений часто помогает нам избе­ жать заблуждений...

2) Необходимо стремиться к тому, чтобы сходство

или различие между предложениями и представления­

ми указывалось исчерпывающим образом, т. е. пе­ речислением всех составных частей или видов их

соединения, которые встречаются как одинаковые

(сходные) или различные в предложениях или в пред­

ставлениях . ..

с. о распределениях

§ 561. Виды и польза распределений

Уже в § 140 я говорил, что под распределениями (Eintheilungen) я понимаю в широком смысле слова

такие предложения, в которых высказывается отно­

шение охватывания между отдельным представлени­

ем М и совокупностью нескольких представлений А, В, С,.. Если в предложении утверждается, что пред­ ставление М является охватываЮЩUА-t, то само пред­ ложение я назову перечислением. А если, напротив, в нем утверждается, что само представление М охваты­ вается несколькими представлениями А, В, С,.. то предложение называетсяразмещением IШираспределе­ ние", (М среди А, В, С,.. - Б. Ф.). Если же представле­ ния А, В, С,.. находятся в отношении дополнения к представлению М, то речь идет об уточненномраспре­ делении. Совокупность всех М я называю распредели­

.иыи це7ЬШ (Eintheilungganze), а совокупность А, В, С,.. каждую в отдельности - "'7енами деления (Theilungsglieder). По числу членов деления распределимое целое может быть одно-, двухили многочисленным. В особых случаях, где представление М имеет форму: часть предмета Х, распределение М называется рас­ членением (Zertheilung) Х, которое указывает на раз-

личные отдельные части предмета. Так, например,

можно говорить о расчленении человеческого тела на

голову, туловище, руки и т. д.

Использование распределений в учебнике имеет определенную пользу. (1) Целесообразными перечис­ лениями (Aufzahlungen) мы указываем нашим читате­

лям на предметы, относящиеся к определенному роду

вещей. Так поступает, например, геометр, указывая различные виды треугольников... (2) С помощьюрас­ пределений можно облегчить доказательства различ­ ных истин... (3) С помощью уточненного распределе­ ния... мы помогаем читателю обнаружить новые исти­ ны. (4) С помощью распределений мы помогаем

читателям сохранить в памяти и воспроизвести снова

те основные истины, которые изложены в учебнике. Кто бы мог освоить, например, рецептурную науку, если бы она не была целесообразным образом распре­ делена? (5) Большое значение имеют распределения и для отыскания соответСТВУЮЩИХ частей излагаемого в учебнике содержания конкретной науки или уче­

ния...

§ 563. Свойства распределений, используемых при

Доказательстве

При проведении доказательства можно восполь­ зоваться двумя видами распределений: касающихся (а) субъекта или касающихся (Ь) предиката. В пер­ вом случае истинность утверждения, что все А име­ ют свойство Ь, устанавливается за счет того, что

ему предложений: «каждое А I имеет свойство Ь», «каждое А11 имеет свойство Ь», «каждое А 111 имеет

свойство Ь» и т. д. Во втором случае мы доказываем, что одно ИЗ свойств Ь, Ь', Ь" необходимо присуще

каждому А и затем указывается, что ни Ь',ни ь" не присуще никакому А, откуда следует, что все А име­

ют свойство ь.

1) Распределения первого вида должны обладать следующими свойствами. (а) В них должно быть ука­ зано, ЧТО все представления А ', А", A JII, •• вместе охва­

тываются представлением А, т. е., ЧТО нет ни одного, которое бы не было А ' ИЛИ А" или A"1 И Т. Д. ИЛИ, что

представление А, которое не есть ни А ,, ни А", ни А'"

иТ. Д., является беспредметным представление~;

(Ь) Предложения «каждое А' имеет Ь». «каждое А

имеет Ь» и Т. Д. ДОЛЖНЫ восприниматься легче, чем предложение «каждое А имеет Ь». Для этой цели во­ все не обязательно, чтобы все А', А '\ A '1,.. охватыва­ лись исключительно только представлением А и не обязательно, чтобы их области исключали друг дру­

га ...

2) Если распределение касается предиката доказы­ ваемого предложения, то оно должно удовлетворять следующим условиям. (а) Необходимо показать, чт~ представление А подчинено одному из представлении В', B' 1, вlII ,.. Или, что то же самое, что если представ­ лениеА не есть ни в', НИ в'\ ни В" И Т. Д., то оно бес­ предметно.(Ь) Необходимо,чтобыкаждоеиз предложений: «ни одно А не есть В,»; «ни одно А не есть в"» и т. д. воспринималось легче, чем доказываемое пред­

зательным, чтобы в: В", B" 1, •• исключали друг друга и чтобы каждое из представлений имело хотя бы один

предмет...

§ 572. Распределения, используемые в учебнике, ДОЛЖНЫ быть оправданы

Так как всякие распределения являются предложе­

ниями, то они могут оказаться истинными или лож­

ными, правильными или неправильными. Само собой разумеется, что используемые в учебнике распределе­ ния должны быть правильными, и эту правильность иногда полезно продемонстрировать читателям. Осо­ бенно важно это в отношении распределений, кото­ рые используются при доказательстве. Если правиль­ ность распределения не является очевидной, то необ­ ходимо представить ее собственное доказательство, особенно в отношении уточненных (gemessene) рас­ пределений. Например, доказать, что рассматривае­

мые в качестве членов деления представления являют­

ся предметными, что они находятся в отношении иск­

лючения друг к другу, что они охватывают только

относящиеся к ним предметы и не охватывают ника­

кие другие предметы... Распределения, которые мы используем в учебнике, должны быть не только ис­ тинными, но и целесообразнымив отношении удобст­

ва запоминания или отыскания научных истин, изла­

гаемых в нем. Но саму целесообразность распределе­

ний доказать все же труднее, чем их правильность...

Доказательство правильности и целесообразности

распределения я называю их оправданием...

D. Об указании объективных связей

§ 576. Когда в учебнике нужно указывать на объективные связи

Уже в § 401 продемонстрировано, что указание объективных связей между истинами учебника спо­ собствует полноте и совершенству изложения КОНК­ ретной науки. Здесь я лишь хочу сказать о том, когда в учебнике необходимо указывать на эти объектив­ ные связи. (1) Когда указание объективных основа­ ний ИСТИНЫ облегчает ее доказательство... (2) Когда указание объективных оснований... способствует убежденности читателей вправильности изла:,аемого учения. (3) Когда указание объективных связеи помо­ гает понять причины описываемых явлении... (4) Ког­ да указание объективных оснований способствует осознанию морального долга... (5) Когда указание объективных оснований служит средством прекраще­ ния споров и поиска других доказательств ...

ПЯТЫЙ РАЗДЕЛ

ОРАЗДЕЛАХ УЧЕБНИКА

§580. О пользе подразделов в учебиике

... Подразделы в учебнике помогают читателю: 1) яснее представить цель изложения,..

2) каждое удачное разделение (материала) в учеб­ нике заключает в себе собственную истину, отыска­ ние которой способствует упражнению читательско­

го мышления, ..

3) целесообразное разделение материала облегча­ ет понимание того, о чем говорится в учебнике...

§ 581. Общие правила разделения

... 1) Разделы необходимо ВВОДИТЬ там, где они определяют общую пользу ко всей совокупности предложений учебника...

2) Разделы учебника должны быть крупными и мелкими для облегчения восприятия содержания чи­

тателем...

3) Необходимо указывать исходный пункт разде­ ления материала учебника...

4) Названия подразделов должны максималь­ но соответствовать обсуждаемому в них содержа­

нию...

7) Для обозначения разделов учебника целесо­ образно использовать буквенные и числовые зна­

9) Все подразделы учебника должны составлять части учебника как целого. Это же относится и к внут­

реннему подразделению глав ...