Больцано.Б.2003.Учение.о.науке.(Избранное)

То, что представления А или В не имеют предметно­ сти, будет противоречить первой посылке. Но то, что

представление не-В не имеет предметности совмести­

мосней. Однакоздесьяневижукакого-либозначите­

льного заключения. Остается лишь соединение: что а имеет, имеет Ь; представление не-А не имеет предметности,

которое дает заключение: «представления А и В име­ ют объем широчайшего нечто вообще».

2) Если представление, предметность которого от­ рицается, имеет одну из следующих форм: [ueчто] (а + +Ь), [нечто] (а + nЬ), [нечто] (па + Ь), [нечто] (па + nЬ), то первая противоречит первой посылке, а вторая ЯВ­ ляется ее простым следствием. Поэтому проверим

лишь две последних.

3)Из соединения:

что а имеет, uмeem Ь;

представление [нечто] (па + Ь) не имеет пред­

метности

получаем заключение: «что Ь имеет, имеет а».

4)Из соединения:

что а имеет, имеет Ь;

представление [нечто] (па + nЬ) не имеет пред­

метности

получаем заключение: «представление В имеет объем самого большего нечто вообще»...

§ 239. IV. ВЫВОДЫ вз предложенвй

оединичном представлении

1)Как особый вид предложений уже в § 139 отме­

чались предложения, говорящие об утверждении или отрицании единичного представления... Его общая

утвердительная форма: «представление А является единичным представлением», Но так как о каждом от­ дельном предмете можно утверждать, что ему извест­

ное свойство присуще или не присуще, то мы вправе сделать следующее заключение: «из двух предложе­ ний: "А имеет х" и "А не имеет х" всегда истинно од­

но» ...

2) Если представление А является составным

из а, Ь, с, d, .. а именно [нечто] (а + Ь + с + d + ...), то

из утверждения, что имеется только один-единствен­

ный предмет, следует заключение: «сум.ма предме­ тов, выражаемая nредставленuямu не-А, не-В, не-С,.. охватывает все предметы, кроме одного [нечто] (а +

+Ь + с + ...»>.

яне знаю каких-либо значительных выводов из

отрицания формы IV ...

§240. Объединеиие рассмотренвых форм предложений

1)Представление А является единичным nредстав­

леlluем;

что а имеет, имеет Ь;

представление [А] Ь является единичным и равно­

значным с А представпением...

244 БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

6) Представление [нечто] (а + Ь) - единичное пред­

ставление;

что а не имеет, не имеет Ь;

область представления В на один предмет шире, чем область представления не-А . ..

11)Представление [нечто] (а + Ь) - единичное представление;

что с имеет, не имеет а;

представление [нечто] (а + поп с + Ь) является единичным и равнозначным с [нечто] (а + Ь) представ­

лением.

§241. Продолжеиие

1)Представление а - единичное представление; ложно, что а имеет, имеет Ь;

что а имеет, не имеет Ь.

2) Представление а - единичное представление; ложно, что Ь имеет, не имеет а;

либоЬ-бесnредметно, либо. чтоа uмeeт, имеетЬ.

3) Представление [нечто] (а + Ь) - единичное пред­

ставление; ложно, что а имеет, имеет Ь;

представление А имеет несколько предметов...

ставление;

представление [нечто] (поп а + Ь) не имеет пред­

метности;

представление В - единичное и равнозначное с представлением А.

6) Представление [нечто] (а + Ь) - единичное пред­

ставление;

представление [нечто] (поп а + поп Ь) - беспред­

метное;

если представление А имеет предметность, то область представления В охватывает на один пред­ мет больше, чем область не-А. И если представление не-В имеет предметность, то область представления А охватывает на один предмет больше, чем область не-В...

§ 244. У. Выводы из предложений об общем

представлении

Предложения, которые говорят о единичном представлении, граничат с теми, которые я в § 138 на­ Звал высказываниями об общих представлениях (Aussa-

gen einer Gemeinvorstellungen), т. е. с предложениями

онескольких вещах, имеющих форму: «представление

осовокупности, каждая часть которой относится к представяению А (или представление о совокупности А) имеет предметность», или кратко: «имеется не-

СКОЛЬКО А». Так как само по себе в отдельности ЭТО предложение не дает сколько-нибудь значительных

выводов, то мы рассмотрим его в соединении с други­ миформами.

1)Имеется IleСКОлЬКО А;

что а имеет, имеет Ь;

имеется несколько В.

2) Имеется несколько А; что Ь имеет, имеет а;

имеется несколько не-В.

3)Имеется несколько [нечто] (а + Ь + с + ...); имеется несколько [нечто] (а + Ь + ...);

что а имеет, имеет с или

имеется несколько[нечто] (а + Ь)...

5)Имеется несколько А; [нечто] (а + Ь) не имеет прдметности;

имеется несколько не-В.

7) Имеется несколько [нечто] (а + Ь); [нечто] (па + Ь) - единичное представление;

всякое В есть целое, которое превосходит всякое

[нечто] (а + Ь) на еди1lицу...

§ 245. VI. ВЫВОДЫ ИЗ предложений об определенном числе представлений

Определенными и потому более значительными, чем высказывания об общем представлении, ЯВЛЯЮТ­

ся высказывания о числе, или представления, которые

не просто указывают, ЧТО имеется несколько пред­ ставлений, но и СКОЛЬКО предметов оно имеет, или предложения формы: «все А имеют число свойств и». Рассмотрим важные заключения.

1) Всех А =n;

что а имеет, имеет Ь;

всех В не меньше, чем п.

2) Всех А = n;

что имеет Ь, имеет а;

если имеется несколько В, то все же всех В не бо­

льше, чем п.

3) Всех А = n;

что не имеет О, lLiWeem Ь;

если имеется несколько не-В, то все же всех не-В не больше, чем n.

4) Всех А = n;

что имеет Ь, не имеет а;

всех не-В не больше, чем п.

5) Всех [нечто] (а + Ь) = n; что имеет а, имеет Ь;

всех А = п.

6) Всех [нечто] (а + Ь) = n; что не имеет а, имеет Ь;

область В состоит из области не-А и еще п пред­

метов.

7) Всех [нечто] (а + Ь) = n; что не u.мeem а, не имеет Ь;

всех В = п.

8) Всех [нечто] (а + Ь) = n;

что имеет а, u.мeem с;

всех [нечто] (с + Ь) не меньше, чем n.

9) Всех [нечто] (а + Ь) = n;

что имеет С, не имеет а;

всех [нечто] (nс + Ь) не меньше, чем n.

10)Всех [нечто] (а + Ь) = n; ложно, что имеет а, имеет Ь;

всех А больше, чем п.

11)Всех [нечто] (а + Ь) = n;

ложно, что не имеет а, не имеет Ь;

если не-А имеет предметность. то всех В боль­

ше, чемn.

12)Всех [нечто] (а + Ь) = n;

[нечто] (па + Ь) имеет предметность;

всех В больше, чем n.

13)Всех [нечто] (а + Ь) = n;

[нечто] (па + Ь) не имеет предметности;

всех В = n.

14)Всех [нечто] (а + Ь) = n;

[нечто] (па + nЬ) не имеет предметности;

если не-А имеет предметность, то множество В состоит из множества не-А u еще п предметов; u ес­ ли не-В имеет предметность, то множество А состо­ ит из множества не-В и еще п предметов.

15)Всех [нечто] (а + Ь) = n;

[нечто] (а + с) не имеет предметов;

всех [нечто] (nс + Ь) не меньше, чем n.

250БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

16)Всех [нечто] (а + Ь) = n;

[нечто] (па + с) не имеет предметов;

если [нечто] (с + Ь) имеет несколько предметов, то всех их все же не больше, чем n.

17)ВсехА =n;

[А] Ь - единичное представление;

если п > 2, то всех [А] поп Ь = п -1, но еслип = 2, то имеется единственное А, которое одновременно есть не-В.

И заключение тогда гласит: «[А] nЬ - также еди­ ничное представление».

18)Всех А = n;

[1lе-А] Ь - единичное;

множество предметов, представимых посред­ ством А и [не-А] Ь вместе = (n + 1).

19)Всех А = n; всех [А] Ь = т;

всех [А] поп Ь = (n - т), поскольку n - т > 1. Но если п - т = 1, то получаем заключение: [А] nЬ - еди­ ничное представление.

20)Всех [нечто] (а + Ь) = n; всех [llечто] (па + Ь) = m;

всех В = (n + т).

21)Всех [нечто] (а + Ь) = n; всех [нечто] (па + с) = т;

всех предметов, представимых через [не­ что] (а+Ь), [нечто] (па + с) вместе = (n + т).

22)Всех А = т; всех В =n;

всех С = рит. д.

Сумма всех А, В, С,.. не меньше большего из чи­

сел т, n,р,.. U не больше, чем их сумма т + n + р + ...

Эта неопределенность должна господствовать в заключении, поскольку представления А, В, С,.. мо­ гут иметь несколько общих предметов.

23)Всех А =т, В =n, С =рит. д. Представления, получаемые при подстановке из а, Ь, с,.. на место х иу в форму [нечто](х + у)­ все беспредметные;

сумма всех А, В, С,.. = т + n + р +...

При М е Ч а н и е. У Ламберта встречается такой

вывод:

3/4А есть В; 2/3А есть С;

Следовательно, некоторые (по крайней мере, 7/12) А есть В и С. Это заключенне составлено из несколь-

КИХ. Если МЫ примем ЧИСЛО всех А = х, ТО мы имеем

предложения:

Всех А =х; всех [А] Ь = 3/4х;

всех [А] с = 2/3х ; откуда по п. 19 получаем

всех [А] nЬ = 1/4x;

всех [А] nс = 1/3x; отсюда по п. 22 получаем

всех [А] nЬ + [А] пс не больше, чем 7112, которое, по п. 19, дает заключение: всех [А] (Ь + с) не меньше, чем

5/12x.

§ 246. VII. ВЫВОДЫ вз предложений, определяющих

отношения между представлениями

Об этих предложениях говорилось уже в § 140.

1) Общая форма предложений, говорящих об от­ ношении совместимости такова: «совокупность nред­ ставлений А, В, С,.. имеет свойство совокупности пол­ ностью (сплошь) совместимых представлений», кото­ рая очевидным образом равнозначна предложению «представление [нечто] (а + Ь + с + ...) имеет предмет­ ность». Значимые заключения из последнего в соеди­ нении с другими формами нам уже известны, поэтому добавить уже нечего.

2) Также и высказывание о несовместимости представлений или предложение формы «совокуп­ ность А, В, С,.. имеет свойство полностью несовмес­ тимых между собой представлений», которое равно­ значно предложению «представление [нечто] (а + Ь +

+ с +...) не имеет предметности». Выводы из подоб­

ных высказываний мы также уже рассматривали.

3) Если утиерждается, что среди представлений А,

В, С, D, .. всегда n совместимых (§94), то этим указыва­ ется, сколько и каких представлений составляют 06- ластьnиз общего их числаА, В, С, D, .. И еслиn > 2, то

мы можем заключить, что (n - 1) представлении из этой совокупноститакже совместимымежду собойи

т. д.

4)Подобные же заключения могут быть получены

иотносительно несовместимости совокупности пред­

ставлений...

5) Предложение, говорящее об отношении охваты­ вания междупредставлениями... позволяет образовать

заключения равнозначные ему, будучи вместе взяты­

ми...

7)Предложения, говорящие об отношении подчине­ ния между представлениями, имеют форму: «все пред­ меты, относящuеся к представлениямА, В, С,..являют­ ся частью всех предметов, относящихся к nредставле­

ниям М, N, О,..». Из нее можно образовать заключения, которые, будучи вместе взятыми, будут равнозначны ей. Например: «всеА есть часть М, N, 0, ..», «всеВесть часть М, N, О,..» и т. д. Еслини одно М, N, О,.. не имеет

объем самого широкого нечто вэобп.е, то можно за­ ключить, что «все относящиеся к не-М, не-Н, не-О,..

предметы составляют лишь часть всех предметов, оm­ носящихся к не-А, не-В, не-С, не-П,..»

8) Предложение, говорящее об отношении сцепле­ ния, имеет общую форму: «объем представления [не­ что] (а + Ь + с +...) есть часть объема каждого nред-

ставления, образованного отбрасыванием одного из а + + ь + с +...». Оно позволяет сделать заключения, ко­ торые, будучи вместе ВЗЯТЫМИ, равнозначны исходно­ му предложению. Например: «объем представления [нечто] (а + Ь + с +...) есть часть объема [нечто] (а +

Ь++...)>> И т. д...

9)Когда утверждается отношение противоречия между представлениями А, В, С,.. с ОДНОЙ, и М, N, О,.. с другой стороны, ТО оно равнозначно вместе трем

выражениям:

а) каждое представление А, В, С,.. М, N, О,.. имеет

предметность;

Ь) ни одно из А, В, С,.. не образует ни с одним из М, N, О ,.. соединения, которое имеет предметность. (Например: (а + т»;

с) также и представление [нечто] (поп а + поп Ь + + поп т + поп п +...) не имеет предметности.

В связи с этим значимыми являются следующие за­

ключения:

«каждое представление не-А, не-В, [нечто] (па + + пЬ) и т. д. имеет предметность»;

«каждый предмет, который не относится ни к од­ /юму из представлении А, В, С,.. относится к одному из М, N, О,..», и наоборот...

§ 247. VIП. ВЫВОДЫ вз предложеннй, говорящнх об отношении совместимости

1)... Такое лредложение утверждает, что предложе­ ния А, В, С, п,.. совместимы относительно перемен­ ных i,j, .. между собой. Иначе говоря, представление о

совокупности таких представлений, которые при за­ мене i,j, .. делают все А, В, С, п,.. вместе истинными, имеет предметность. Из такого предложения получа­

ется, что каждая меньшая совокупность этих предло­

жений будет также находиться в отношении Совмести­

мости по тем же переменным ИЛИ, что никакое из пред­ ложений А, В, С, П,.. не является ложным ПО всему своему ВИДУ, ИЛИ, что А, В, С, D, .. совместимы и отно­ сительно большего числа переменных i,j, k, [,.. и Т. Д•.•

§ 248. IX. ВЫВОДЫ нз предложеннй, говорящих

об отношенви выводимости между предложениями

Наиболее значимыми являются предложения, го­ ворящие об отношении выводимости. Хотя они уже сами по себе составляют целый ВЫВОД, их все-таки можно рассматривать также в качестве составной

части, например, в качестве посылок или заключе­

ний в выводах. Познакомимся сначала с заключени­ ями из отдельного такого предложения. Согласно § 164, имеются два вида гипотетических предложе­ ний: во-первых, те, в которых указываются сами пе­ ременные i, },.. относительно которых имеет место

выводимость и, во-вторых, те, в которых лишь утверждается, что подобные переменные представле­ ния в предложениях имеются. Но поскольку заклю­ чения, которые мы получаем из предложений второ­ го вида, находятся среди заключений, получаемых из предложений первого вида, то я обращаю внимание лишь на предложения первого вида. Общая их фор­ ма такова: «каждая совокупность представпений, ко-

256 БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

торая при замене nеременных i, i, .. делает истинными все предложения А, В, С,.. делает истинными и все предложения М, N, О,..».

J) Из одного такого определенного предложения

получается прежде всего заключение, что все предло­

жения А, В, С,.. М, N, О,.. относительно одних и тех же переменных i,j, .. между собой совместимы.

2) Далее. Поскольку каждая совокупность пред­ ставлений, которая при замене i, j, .. делает все А, В, С,.. истинными, делает истинными и все М, Н, О,.. то, напротив, никакая совокупность представлений, ко­ торая не делает истинными все М, N, О,.. не может сделать и все А, В, С,.. ИСТИННЫМИ. Следовательно, по­ лучается заключение: «два утверждения - "nредло­ жения А, В, С,.. все истинны" u "предложения М, N, О,.. не все истинны" - не )иогуm быть никогда оба вме­ сте истинными». Таким образом, каждое гипотетиче­

ское суждение ведет к одному ИЗ ДИЗЪЮНКТИВНЫХ ви­

дов, но таких, которые ему не равнозначны. Из того, что оба предложения не могут быть вместе истинны­ ми, не следует еще, что нет представлений, которые бы не сделали при замене i, j, .. ИСТИННЫМИ все А, В, ер. Поэтому значимо также еще и заключение: «име­ ются представления, которые при замене i, }, .. делают истинными все А, В, С,..».

З) Если вместо одного или нескольких М, N, О,..

мы возьмем ИХ отрицания, то новая совокупность

предложений не будет стоять в отношении выводимо­ сти к А, В, С,.. Поэтому возможно заключение: <<ЛОЖ­ НО, что каждая совокупность представлений, которая при замене переменных i, }, .. делает истuнньшu все А,

В, С,.. делает также истинными и предложения

Neg. М, N, О,..».

4) ... и еще: «представление о совокупности nред­ ставлений, которая при замене переменных i, j, .. дела­ ет истинными все А, В, С,.. делает истинными также и предложения Neg. М, N, О,.. не имеет предметно­

сти».

5) ... А также: «каждая совокупностьпредставле­ нии, которая при замене i, j, .. делает истинными все А, В, С,.. делает предложения Neg.M, N, О,.. совокуп­ ностью с одним ложным, а предложения Neg. М, Neg. N, О,.. совокупностью с двумя ложными предло­

жениями» и т. д.

6) Если допустить, что имеются представления, которые на месте i,j.. делают истинными не все М, N, О,.. то получается, что те же самые представления де­ лают истинными не все А, В, С... Получаем заключе­ ние: <<либо нет таких представлении, которые при за­ мене i, j, .. делают одно из предложении М, N, О,.. лож­ ным, либо такие представления имеются и они делают эти предложения не все истинными, как и не все А, В, С,.. истинными».

7) " .Допустим, что посыпка и заключение являют­ ся предложениями формы I. В этом случае мы имеем предложение: «если А есть В, то С есть D» (что озна­ чает то же самое, что: если каждое А имеет Ь, то каж­ дое С имеет d)... Отсюда получаем заключения:

«если А и С - пара совместцмых представлении, то каждое [нечто] (а + с) есть также [нечто] (Ь + d),>; «если в и D исключают друг друга, то А и С также

исключают друг друга».

258БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

8)Но если возьмем А = С, то получим заключение: «каждое В есть D» ...

9)А если возьмем В = D, то получим заключение: «каждое С есть А». ..

10)Если «ложно, что всякая совокупность представ­ лений, которая при замене i,}, .. делает истинными все А, В, С,.. делает истинными и все М, N, О,..», то из ЭТОГО

можно сделать одно из следующих двух утверждений, Либо не существует совокупности представлений, кото­ рая наместе i,j,.. делает все предложениям, В, С,.. иС1ИН­ нымии одновременно делает истинным хотя бы одно из предложений М, N, О,.. либо существует такая совокуп­

ность, которая делает первое истинным, но не делает од­

новременно истинными и все М, N, О,..

При м е ч а н и е. В прежней логике не раскрывал­ ся более глубокий смысл гипотетического суждения, который мы здесь осуществляем... В ней рассматри­ валея ТОЛЬКО такой вид гипотетического суждения, которыйсостоитвсего из двух членов. Брали форму: «еслиА, то В», гдеА и В есть целыепредложения.От­ сюда осуществлялсянепосредственныйвывод следу­ ющих заключений.

1.Если нет В, то нет А.

2.Ложно, что если есть А, нет В.

3.Ложно, что если есть А, то есть отрицание В.

4.Ложно, что если есть А, то В равнозначно ка­ кое-либо противоречащее суждение.

Ели для сравнения перевести эти предложения на

наш язык, то получим следующее.

1) Каждая совокупность представлений, которая при замене переменных i, }, .. в предложениях Neg. В,

Neg. А делает истинным первое, делает истинным и

второе.

2) Ложно, что не каждое из представлений, кото­ рое при замене nеременных i,}, .. делает истинным пред­ ложение А, делает также истинным u предложение В. Или представление о совокупности представлений, ко­ торые на месте i,j, .. делают истиННЫ.iИ А и не делают

истинным В, не имеет предметности.

3) Ложно, что каждая совокупность представле­ ний, которая на месте i, j, .. делает истинным предло­ жение А, делает таким же и предложение Neg. В.

4) Ложно, что имеется такая совокупность nред­ ставлений. которая при замене i, j, .. делает истинным предложение А и предложение, которое выводимо из

Neg. В.

Здесь ясно видно, что заключения вида 2 и 3 были установлены мною выше, а заключение вида 4 есть, скорее, правило, чем, собственно, заключение. Нако­

нец, заключение вида 1 не достаточно верно, так как предложение В может иногда обладать таким свойст­ вом, что не найдется совокупности представлений, которая сделала бы его ложным (например, В - тож­ дественно-ложно. -Б. Ф.)...

§ 249. Продолженне

Интересно проанализировать выводы, которые

образуются из соединения гипотетического высказы­ вания с другими ранее рассмотренными формами

предложений.

260БЕРНАРД БОЛЬЦАНО

1)Из двух посыпок «если предложения А, В, С, D, ..

истинны, ТО истинны и предложения М, N, О,.,» и «предложения А, В, С, п,.. все вместе истинны» полу­ чаем заключение: «предложения М, N, О,.. также все

вместе истинны».

2)Напротив, из двух посылок «если предложения А, В, С, п,.. все истинны, то истинны и М, N, О,.,» и

«предложение М - ложно» получаем: «совокупность А, В, С, п,.. не является совокупностью сплошь истин­ ных предложений».

3)Соединение' (Больцано использует знак' для

выражения повтора ОДНОЙ, в данном случае первой, из посылок. -Б. Ф.) и «предложения А, BuNeg. М все истинны» дает заключение:«совокупностьпредложе­ ний С, п,.. не является совокупностью сплошь истин­ ных предложений» .. .

5) Согласно понятию выводимости (§ 155), будут

правильными следующие ВЫВОДЫ:

а) Из А, В, С,.. относительно i,j, .. выводимы М, N,

О,..;

из Е, F, G,.. относительно i,j,.. выводимыР, Q, R, .. и т. д;

всеА, В, С,.. Е, Р, G,.. отнасительно i,j, .. совмести­ мы между собой;

из А, В, С,.. Е, Е, G,.. относительно ц ], .. выводимы

М, N, О,.. Р, Q, R, ..

с) Из А, В, С,.. относительно i,j, .. выводимы М, N,

О,..;

из Е, Р, G,.. относительно i, j, .. выводимы Р, Q,

R, ..;

М, N , О,.. относительно i,}, .. несов.местимы с Р, Q,

R, ..;

-----------------

А, В, С,.. относительно i,}, .. necoвMecтuмы с Е, Е,

G,..

§ 250. Х. ВЫВОДЫ из предложений, говорящих об отношении равнозначности между предложениями

Уже ранее мы выяснили, что взаимная выводи­

масть означает отношение равнозначности, имеющее

следующую общую форму выражения: «каждая сово­

купность представлений, которая при замене перемен­ ных i,}, .. делает истинной одну из совокупностей пред­ ложений А, В, С, п,.. М, N, О,.. превращает в истин­

ные обе совокупности».

1) Очевидно, уже из одного такого предложения

Оба заключения в соединении будут означать саму посылку, А поскольку каждое заключение соответ­ ствует форме IX, то все заключения, получаемые из зтой формы, будут иметь место и в этом случае.

2) Из формы Х выводимо следующее заключение, которое нельзя получить из формы IX в отдельности: «представления, которые делают при замене i, j, .. ис-