Решение

Задачу решим двумя способами.

Первый способ

1) До коммутации цепь была отключена от действия источника ЭДС, поэтому конденсатор был разряжен и его напряжение

2) Цепь после коммутации показана на рис. 2.2.4.б. Постоянный ток через конденсатор не течет, поэтому ток в ветви с резисторомравен току источника ЭДС:

А.

По закону Ома находим напряжение на конденсаторе

В.

3) Для расчета переходного процесса в схеме, представленной на рис. 2.2.4.а, в момент коммутации при замыкании ключа К составим систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для контураи третье для контура

где – ток в конденсаторе,

Решим данную систему уравнений относительно напряжения способом подстановки. Для этого из третьего уравнения системы выразим ток во второй ветви

и подставим его, а также ток в первое уравнение системы:

Тогда ток во входной ветви

Подставим последний ток в во второе уравнение исходной системы:

После группировки слагаемых получим НДУ первого порядка, записанное относительно напряжения

Теперь запишем ОДУ:

Составим характеристическое уравнение:

Корень этого уравнения отрицательный и действительный:

с^-1.

Поэтому решение НДУ имеет следующий вид:

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия:

где напряжение на емкости в момент срабатывания ключа К, которое на основании второго закона коммутации должно быть равно напряжению до коммутации

Следовательно,

Итак, напряжение на конденсаторе определяется выражением:

	В. 4) Рассчитаем ток На основании закона Ома ток во второй ветви А. Из первого уравнения исходной системы определяем ток во входной
Рис. 2.2.4.в

ветви цепи:

А.

Графики токов и напряжений приведены на рис. 2.2.4.в.

Способ 2

В данной цепи имеется один накопитель энергии – конденсатор.

1) Запишем общее решение для тока, например для

где постоянная интегрирования;постоянная времени.

2) Определим постоянную интегрирования Для этого сначала определим ток во второй ветви припользуясь законом Ома:

Теперь запишем выражение для тока в момент

откуда

3) Определим постоянную времени цепи по следующей формуле:

нс,

где Ом­ – входное сопротивление цепи относительно полюсов конденсатора при закороченном источнике ЭДС.

Окончательно, получим

А.

5) По закону Ома определяем напряжение на конденсаторе:

В.

Зная напряжение на емкости определим ток в конденсаторе

А.

Ток в первой ветви находим по первому закону Кирхгофа для узла “1”:

А.

Результаты расчетов совпали.

Задача 2.2.5Конденсатор емкостьюмкФ, заряженный до напряженияВ, при замыкании ключа К подключается к последовательно соединенным резистору с сопротивлениемОм и конденсатору с емкостьюмкФ, заряженному до напряженияВ. Определить напряженияина конденсаторах и токв цепи, представленной на рис. 2.2.5.а. Построить их графики. Найти величину энергии электрического поля до коммутации и по окончании переходного процесса.

	Решение 1) Напряжения на конденсаторах согласно второму закону коммутации при замыкании ключа К сохраняют свои значения: В; В. 2) Схема, соответствующая цепи в момент коммутации при замыкании ключа К изображена на рис. 2.2.5.б Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для этой схемы: где
Рис. 2.2.5.а
Рис. 2.2.5.б

Решим это уравнение относительно тока . Для этого продифференцируем его по времени

Подставим сюда значения и

После простых преобразований получим НДУ первого порядка:

ОДУ цепи имеет вид:

Отсюда находим характеристическое уравнение и его корень:

с^-1.

Так как корень получается отрицательным и действительным, то общее решение приведенного НДУ представим в виде:

Для определения постоянной интегрирования используем начальные условия, которые при подстановке в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа придают:

Следовательно,

А.

Окончательно имеем,

А.

3) Зная ток обтекающий конденсаторы, найдем напряженияи

Напряжение на первом конденсаторе

Из начальных условий определяем постоянную интегрирования

Следовательно,

В.

Напряжение на втором конденсаторе

Постоянную интегрирования определим из начальных условий:

Тогда

В.

Сделаем проверку, подставив полученные выражения напряжений во второй закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа удовлетворяется, следовательно задача решена верно.

На рис. 2.2.5.в построены графики тока и напряжений.

	4) До коммутации цепь имела запас энергии в электрическом поле: По окончании переходного процесса напряжения на конденсаторах будут одинаковы: В и запас энергии в электрическом поле в установившемся режиме определиться как:
Рис. 2.2.5.в

Энергия Дж израсходована на тепло, рассеянное в резисторе

Задача 2.2.6Найти напряжение на конденсаторепри замыкании ключом К накоротко резистора( в момент времени) в неразветвленной цепи переменного тока, представленной на рис. 2.2.6.а, еслиВ,Ом,Ом,мкФ.

Рис. 2.2.6.а	Рис. 2.2.6.б	Рис. 2.2.6.в