1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов

Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных дифференциальных уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа.

Известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. А значит процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать из двух накладывающихся друг на друга процессов – установившегося как бы сразу (принужденного), и свободного, имеющего место только во время переходного процесса.

В цепи физически существуют только действительные токи и напряжения, а разложение их на принужденные и свободные составляющие является математическим приемом, упрощающим расчет.

Расчет токов и напряжений принужденного режима (нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения) не требует применения излагаемых в курсе высшей математики приемов, так как значительно проще токи и напряжения принужденного режима определяются общими методами расчета цепей постоянного или переменного тока.

Общее решение однородного дифференциального уравнения, которое дает ток или напряжение свободного режима, содержит постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, т.е. на основании значений действительных токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент, когда изменяются условия электрического состояния цепи.

Если число постоянных интегрирования больше одной, что соответствует дифференциальному уравнению второго, третьего и т.д. порядков, то должны быть дополнительно найдены из дифференциальных уравнений величины производных от токов или напряжений в момент коммутации.

Самостоятельно прорабатывая теоретический материал нужно обратить внимание, что начальные условия принято разделять на зависимые и независимые, нулевые и ненулевые. При этом для определения зависимых начальных условийконкретной задачи удобно пользоваться следующим алгоритмом.

1 Находят независимые начальные условия. Для этого в докоммутационной схеме рассчитывают токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах, а затем применяют законы коммутации:и

2 Определяют зависимые начальные условия. Для этого:

а) для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа, которые затем записывают для , учитывая независимые начальные условия;

б) полученную систему уравнений решают относительно искомых токов и напряжений .

3 При необходимости определения первой и второй производных токов при уравнения Кирхгофа сначала дифференцируют, а затем записывают их дляи решают систему относительно искомых производных.

Начальные значения свободных составляющихтоков в индуктивных элементахи напряжений на емкостных элементахможно определить с учетом законов коммутации по следующим соотношениям:

где и– принужденное значение присоответственно тока в индуктивном элементе и напряжения на емкостном элементе.

В других элементах схемы начальные значения свободных составляющих токов и напряжений рассчитывают по уравнениям, составленным по законам Кирхгофа или другими методами для послекоммутационной схемы с удаленными источниками энергии (зажимы, к которым был подключен источник ЭДС, закорачивают, а ветви с источниками тока разрывают). Значение свободной составляющей зависит от топографии схемы, ее параметров и от перераспределения запасов энергии. Свободная составляющая затухает с течением времени.

При решении задач, содержащих чисто емкостные контура или индуктивные сечения (задач с «некорректно» поставленными начальными условиями), применяют обобщенные законы коммутации, соответственно, закон непрерывности заряда и закон непрерывности потокосцепления.

Необходимо уметь составлять характеристическое уравнение и определять его порядок. При этом в правильно составленном характеристическом уравнении все коэффициенты должны быть действительными и положительными. Наличие в схеме ветвей с взаимной индукцией не повышает степени характеристического уравнения.

Для удобства работы с пособием приведем алгоритмы расчета переходных процессов наиболее распространенными методами.