4.3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.3.1 Определить переходные и импульсные характеристики цепей, схемы которых изображены на рис. 4.3.1.а – 4.3.1.г Входным воздействием является напряжениеа реакцией – выходное напряжениев режиме холостого хода.

Рис. 4.3.1.а	Рис. 4.3.1.б
Рис. 4.3.1.в	Рис. 4.3.1.г

Задача 4.3.2 На простейшую последовательнуюцепь, схема которой показана на рис. 4.1.1.а, в момент времениподается напряжение. Найти и посторить закон изменения токаи напряженияесли: а) входное напряжение изменяется по закону, показанному на рис. 4.3.2.а; б) входное напряжение изменятся по закону, представленному на рис. 4.3.2.б.

Рис. 4.3.2.а	Рис. 4.3.2.б

Задача 4.3.3 На простейшую последовательнуюцепь, схема которой показана на рис. 4.1.2.а, в момент времениподается напряжение. Найти и построить закон изменения токаи напряженияесли: а) входное напряжение изменяется по закону, показанному на рис. 4.3.3.а; б) входное напряжение изменятся по закону, представленному на рис. 4.3.3.б.

Рис. 4.3.3.а	Рис. 4.3.3.б

5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния

5.1 Примеры расчета

Задача 5.1.1 В электрической цепи, представленной на рис. 5.1.1.a, происходит замыкание ключа К. Определить ток в катушке и напряжение на конденсаторе методом переменных состояния, если:R₁= 100 Ом,R₃= 100 Ом,R₄= 300 Ом,L= 0,01 Гн,С= 10 мкФ,E= 200 В. Построить их графики.

	Решение Проведем расчет схемы до коммутации : Независимые начальные условия для данной цепи следующие:
Рис. 5.1.1.а

После коммутации для данной схемы покажем направленный топологический граф (показан на рис. 5.1.1.б) и запишем для него уравнения по законам Кирхгофа.

	Так как и, заменим уравнения по законам Кирхгофа уравнениями, составленными относительно переменных состоянияiL(t)иuC(t).
Рис. 5.1.2
		(5.1.1)

или в матричной форме

,

где

Решение уравнения (5.1.1) можно представить в виде

(5.1.2)

где e^At– матричная экспоненциальная функция;Ф(t) – матричная функция цепи. После дифференцирования получим

Определив матричную функцию как

где – переменная интегрирования, и подставив это выражение в уравнение (5.1.2), получим решение для переменных состояния в виде

(5.1.3)

Для вычисления матричной экспоненциальной функции e^Atсуществует несколько путей, например, её представление бесконечным рядом

Однако для уравнений порядка меньше трех можно применять более простые способы. Один из таких способов заключается в следующем. Вначале определяются собственные значения матрицы A, т.е. корни уравнения

где I– единичная матрица порядкаn.

Для заданной схемы собственные значения матрицыAбудут определяться следующим образом:

откуда получаем ₁= –2703,93 и₂= –8629,4. Собственные значениясовпадают с корнями характеристического уравнения цепи.

Матричная экспонента представляется конечным числом nслагаемых

(5.1.4)

где _k– функция времени, определяемая из системыnалгебраических уравнений, для рассматриваемого примера эта система примет вид:

откуда определяем коэффициенты ₀и₁

Далее по выражению (5.1.4) определяем матричную экспоненту:

Затем определяем матрицу-столбец начальных значений переменных состояния:

где i_L(0) иu_C(0) – независимые начальные условия, определяемые до режима коммутации. Найденные величины подставляем в уравнение (5.1.3) и получаем:

Из приведенного выражения определяем ток в катушке и напряжение на конденсаторе

Задача 5.1.2В электрической цепи, представленной на рис. 5.1.2.a, происходит замыкание ключа К. Определить ток в катушке и напряжение на конденсаторе методом переменных состояния, если: В, А,Ом, мкФ, Гн.

	Решение Проведем расчет схемы до коммутации : Тогда на основании законов коммутации получаем следующие независимые начальные условия:
Рис. 5.1.2.а

В качестве переменных состояния выберем вектор .

Для схемы после коммутации составим уравнения по законам Кирхгофа:

Так как и, выразим все остальные напряжения и токи через ток катушкии напряжение на конденсаторе:

Заменим уравнения по законам Кирхгофа уравнениями, составленными относительно переменных состояния и

или в матричной форме:

где