С-1; с-1.

Так как характеристическое уравнение имеет два отрицательных корня, то общее решение составленного выше НДУ имеет вид:

(2.4.13)

Постоянные интегрирования и рассчитаем с помощью начальных условий. При общее решение (2.413) приобретает вид:

По первому закону коммутации ток в катушке индуктивности Тогда получаем первое уравнение для определения двух неизвестных постоянных интегрирований:

(2.4.14)

Для составления второго уравнения сначала найдем производную по от выражения (2.4.13):

При получаем:

(2.4.15)

Найдем начальное значение производной от тока в катушке с индуктивностью –

Для этого подставим время в исходную систему уравнений (2.4.11):

Так как и то последняя система уравнений приобретает более простой вид:

Из второго уравнения последней системы уравнений выразим производную и подставим в первое уравнение этой же системы:

Отсюда следует, что

Тогда уравнение (2.4.15) принимает вид:

Теперь составляем систему из последнего уравнения и выражения (2.4.14):

Совместное решение этой системы дает результаты:

А;

А.

Подставив все известные величины в выражение (2.4.13) окончательно получаем ток в нагрузке:

А.

2.5 Примеры расчета переходных процессов в цепях третьего порядка

Задача 2.5.1 В момент цепь, приведенная на рис. 2.5.1.а, подключается к источнику постоянной ЭДС В посредством замыкания ключа К. Найти закон изменения тока в катушке индуктивности и представить его графически. Известны следующие параметры цепи: Ом, Ом, Ом, мГн, мкФ.

Рис. 2.5.1.а	Рис.2.5.1.б

Решение

Зададим положительные направления токов в ветвях и напряжений на двух конденсаторах как показано на рис. 2.5.1.б. Здесь эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных резисторов и

Ом.

1) В схеме до коммутации не было источника энергии, поэтому на основании законов коммутации сразу же получаем независимые начальные условия:

	2) Схема в принужденном режиме изображена на рис. 2.5.1.в. Постоянный ток в заряженных конденсаторах отсутствует, т.е. Также напряжение на индуктивном элементе Тогда эквивалентное входное сопротивление цепи Ом. Следовательно, входной ток – в катушке
Рис. 2.5.1.в

индуктивности по закону Ома определиться как:

А.

3) Определение характеристического уравнения. В момент (ключ К – замкнут) для схемы, изображенной на рис. 2.5.1.б, составляем исходную систему из пяти уравнений:

	(2.5.1)
	(2.5.2)
	(2.5.3)
	(2.5.4)
	(2.5.5)

где и – токи в конденсаторах,

	(2.5.6)
	(2.5.7)

Характеристического уравнение легче найти из ОДУ, записанного для напряжения или , чем для искомого тока При этом полученное характеристическое будет справедливо и для тока в катушке индуктивности , так как цепь охвачена единым переходном процессом, а значит и корни характеристического уравнения для всех токов и напряжений будут одинаковыми. Поэтому из этой системы найдем ОДУ, разрешенное, например, относительно напряжения на конденсаторе . Для этого из (2.5.2) выразим ток

.

(2.5.8)

Из уравнений (2.5.3) и (2.5.4) найдем напряжения на конденсаторах:

	(2.5.9)
	(2.5.10)

В уравнение (2.5.8) подставим токи (2.5.6) и (2.5.9):

(2.5.11)

Подставим (2.5.11) в соотношение (2.5.5):

После дифференцирования получаем:

откуда находим напряжение

(2.5.12)

Подставим (2.5.12) в формулу (2.5.7):

после дифференцирования имеем:

(1.5.13)

Подставим (2.5.12) в соотношение (2.5.9):

(2.5.14)

Наконец, сделаем подстановку выражений (2.5.11), (2.5.13) и (2.5.14) в уравнение (2.5.1):

Избавимся от и стоящих в знаменателе последнего выражения путем умножения левой и правой части на множитель Далее раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в результате получим следующее НДУ третьего порядка:

Приравняв правую часть к нулю (т.е. когда ), получаем ОДУ третьего порядка:

Отсюда составляем характеристическое уравнение:

Т.е. получаем кубическое уравнение следующего вида:

(2.5.15)

где

4) Определение корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение имеет третий порядок, поэтому для нахождения его корней воспользуемся теоремой Кардано.

Приведем уравнение (2.5.15) к неполному кубическому:

(2.5.16)

где и – коэффициенты, определяемые по следующим формулам:

Определим дискриминант уравнения (2.5.16):

Так как дискриминант больше нуля, то в соответствии с теоремой Кардано кубические уравнения (2.5.15) и (2.5.16) будет иметь один действительный отрицательный и два комплексно – сопряженных корня. При этом корни неполного кубического уравнения (2.5.16) – и определяются по следующим соотношениям:

Здесь

Тогда корни полного кубического уравнения (2.5.15) – и определяются через найденные ранее корни и следующим образом: