Откуда составляем характеристическое уравнение:

,

или

Определим корни характеристического уравнения:

с^-1,

с^-1.

Т.к. оба корня вещественны и отрицательны, следовательно, переходный процесс имеет апериодический характер.

Запишем общее решение НДУ для напряжения в случае апериодического характера переходного процесса:

В.

(2.3.7)

Постоянные интегрирования инайдем из уравнений (2.3.6) и (2.3.7). Для этого подставим (2.3.7) в (2.3.6):

или после упрощений

(2.3.8)

Составим систему из уравнений (2.3.7) и (2.3.8):

В частности при получаем:

Подставляя независимые начальные условия в последнюю систему уравнений, получим

Сгруппировав слагаемые, получим следующую систему уравнений с двумя неизвестными и

Выразив и подставив во второе уравнение этой системы, получим

Итак, напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

В.

Общее решение для тока в катушке имеет вид:

(2.3.9)

Постоянные интегрирования инайдем из третьего уравнения исходной системы и выражения (2.3.9).

Из третьего уравнения исходной системы уравнений выразим напряжение на емкости

Подставим (2.3.9) в последнюю формулу:

После дифференцирования и группировки слагаемых, получаем

(2.3.10)

Составим систему из уравнений (2.3.9) и (4.3.10):

При последняя система примет следующий вид:

Привлекая нулевые независимые начальные условия, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными – и

Путем подстановки во второе уравнение данной системы находим постоянные интегрирования:

Таким образом, ток в катушке индуктивности определяется следующим законом:

А.

4) Определим остальные токи, пользуясь приведенными выше выражениями:

А.

Задача 2.3.8В цепи, изображенной на рис. 2.3.8.а, при разомкнутом ключе К имеет место установившийся режим. В момент коммутации ключ К замыкается и накоротко шунтирует резисторИзвестно:В,Ом,Ом,Ом,мГн,мкФ. Найти токв катушке индуктивности.

	Решение 1) Схема до коммутации приведена на рис. 2.3.8.б. Так как падение напряжения от постоянного тока на индуктивности равно, значит напряжение на конденсаторе Поэтому в схеме образуется один замкнутый контур в котором ток источника ЭДС равен току в катушке: 2) Послекоммутационная схема представлена на рис. 2.3.8.в. Как и в докоммутационной схеме напряжение на конденсаторе зашунтировано катушкой индуктивности: По закону Ома определим ток в образовавшимся при этом контуре
Рис. 2.3.8.а
рис. 2.3.8.б
рис. 2.3.8.в

А.

3) Для цепи, изображенной на рис. 2.3.8.а, при замыкании ключа К составим систему из четырех уравнений:

первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – на основании второго закона Кирхгофа для контура третье – по второму закону Кирхгофа для контураи четвертое – в соответствии со вторым законом Кирхгофа для контура

Где ток в конденсаторе.

Решим данную систему уравнений относительно тока в индуктивности

Из последнего уравнения системы выразим напряжение на конденсаторе через ток в катушке:

(2.3.11)

В соотношение поставим выражение (2.3.11):

Выразим из третьего уравнения приведенной системы ток в ветви с резистором

Подставив в первое уравнение системы два последних тока, получаем ток на входе цепи, функционально зависящий от тока

Полученное выражение подставим во второе уравнение системы:

После группировки слагаемых окончательно получаем НДУ второго порядка следующего вида:

Из данного НДУ получим ОДУ

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

или

Уравнение имеет два комплексно – сопряженных корня:

с^-1,

следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

Общее решение составленного НДУ в случае комплексно – сопряженных корней имеет вид:

(2.3.12)

Постоянные интегрирования инайдем следующим образом.

Подставим общее решение НДУ (2.3.12) в (2.3.11):

Переписав (2.3.11) и последнее выражение, получим следующую систему уравнений:

При имеем:

В соответствии с законами коммутации ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут измениться скачком:

А;

Таким образом, система уравнений для определения иимеет следующий вид:

	Выразив из первого уравнения этой системы и подставив во второе уравнение, получим: Итак, закон тока в катушке индуктивности имеет вид:
Рис. 2.3.8.г

А.

По приведенному выше выражению на рис. 2.3.8.г построен график тока

Задача 2.3.9В цепи, представленной на рис. 4.3.10.а, в моментпроисходит замыкание ключа К. Определить ток в катушке индуктивностиеслиВ,Ом,Ом,Ом,Гн,пкФ.

	Решение 1) Цепь до коммутации изображена на рис. 2.3.9.б. Постоянный ток в конденсаторе Тогда по первому закону Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности равен току во второй ветви: Применяя второй закон Кирхгофа для
Рис. 2.3.9.а

внешнего контура, получаем

А.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа находим напряжение на емкости

В.

2) Схема после коммутации изображена на рис. 2.3.9.в. Конденсатор после заряда разрывает ветвь протекания тока, поэтому ток в катушке равен току в второй ветви:

	По второму закону Кирхгофа для внешнего контура определим этот ток: А. 3) Для расчета переходного процесса схемы, представленной на рис. 2.3.9.а, при замыкании ключа К составим исходную систему из трех уравнений: первое – по второму закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для контура третье – по второму закону Кирхгофа для внешнего контура
Рис. 2.3.9.б
Рис. 2.3.9.в

где

Из второго уравнения исходной системы найдем напряжение

(2.3.13)

Тогда ток в конденсаторе

Из третьего уравнения системы выразим ток

Подставим два последних выражения в первое уравнение исходной системы:

После группировки слагаемых получим искомое НДУ первого порядка:

После группировки слагаемых получим НДУ второго порядка:

Приравняв правую часть НДУ к нулю, получим ОДУ:

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

Определим корни характеристического уравнения:

с^-1.

Так как корни получаются комплексно – сопряженными, то общее решение НДУ представим в следующем виде:

(2.3.14)

Постоянные интегрирования инайдем следующем образом.

Подставим (2.3.14) в уравнение (2.3.13):

Теперь составим систему из уравнения (4.3.14) и последнего выражения:

При имеем:

В соответствии с законами коммутации ток в индуктивности и напряжение на конденсаторепри замыкании ключа К ( в момент) не могут измениться скачком, поэтому

А;

В.

Тогда

После группировки слагаемых окончательно получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными и

Выразив из первого уравнения этой системы во второе, получим:

.

Подставив все найденные неизвестные величины в общее решение НДУ (2.3.14), запишем закон тока в катушке индуктивности:

А.

Задача 2.3.10 В цепи, изображенной на рис. 4.3.10.а, в моментзамыкается ключ К и отключает источник токаА. Параметры цепи:Ом,Гн,мкФ. Определить ток в индуктивностии напряжение на конденсаторе

	Решение 1) Схема до коммутации представлена на рис. 2.3.10.б. Ток в катушке индуктивности равен току источника тока: А. Тогда определим его комплексное изображение А. Определим по закону Ома комплекс напряжения В. Тогда мгновенное значения напряжения на конденсаторе 2) Схема, соответствующая установившемуся режиму работы цепи показана на рис. 2.3.10.в. Так как в данной цепи нет источников вынуждающей силы, то принужденные составляющие тока в катушке и напряжения на емкости равны нулю:
Рис. 2.3.10.а
Рис. 2.3.10.б
Рис.2.3.10.в

3) Для схемы, представленной на рис.2.3.10.а, при срабатывании ключа К составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

где

Решим это уравнение относительно напряжения на емкости Для этого подставим туда ток в конденсаторе:

Тогда получаем следующее ОДУ второго порядка: