Решение

1) Схема до коммутации представлена на рис. 2.3.5.б. Постоянный ток через конденсатор не течет:

Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.

По закону Ома определим напряжение на конденсаторе:

В.

Рис. 2.3.5.в	Рис. 2.3.5.д

2) Схема после коммутации изображена на рис. 2.3.5.в. Принужденные составляющие в этой цепи равны нулю, так как в этой схеме нет источников вынуждающей силы (источников ЭДС и источников тока).

3) Цепь в момент коммутации приведена на рис. 2.3.5.д. Для определения переходного процесса составляем систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для внешнего контуратретье – по второму закону Кирхгофа для контура

где

Записанную систему уравнений решим относительно напряжения на конденсаторе так как для него выполняется второй закон коммутации – запрет скачка напряжения.

Из третьего уравнения системы выразим ток в ветви с резистором:

Теперь подставим этот ток и ток в конденсаторе в первое уравнение исходной системы:

(2.3.1)

Наконец, сделаем подстановку последнего тока (2.3.1) во второе уравнение системы:

После преобразований окончательно получаем НДУ второго порядка:

которое ввиду равенства нулю его правой части совпадает с ОДУ

Из последнего выражения составим характеристическое уравнение:

или

Характеристическое уравнение имеет два отрицательных, вещественных корня:

с^-1;

с^-1.

В случае двух различных отрицательных корней общее решение ОДУ имеет вид:

(2.3.2)

Постоянные интегрирования иопределим следующим образом.

Подставим ОДУ (2.3.2) в (2.3.1):

Переписав (2.3.2) и последнее выражение получим следующую систему уравнений:

Запишем эту систему при

Учитывая, что в соответствии с законами коммутации ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком, т.е.

А;

В,

последняя система уравнений преобразуется к виду:

(2.3.3)

Выразив из первого уравнения системы (2.3.3) постоянную интегрирования

и подставив во второе уравнение системы (4.3.3), получим

Подставив найденные постоянные интегрирования и корни характеристического уравнения ив НДУ (2.3.2), получим искомое напряжение на конденсаторе:

В.

3) Определяем остальные токи, используя приведенные выше соотношения:

	А. Графики требуемых временных функций приведены на рис. 2.3.5.г.
Рис. 2.3.5.г

Задача 2.3.6Цепь, изображенная на рис. 2.3.6.а, в моментподключается к источнику постоянной ЭДСВ путем замыкания рубильника Р. Параметры цепи:Ом,Ом,мГн,мкФ. Найти ток в катушке индуктивностии напряжение на конденсаторе

Рис. 2.3.6.а	рис. 2.3.6.б

Решение

1) Так как до коммутации в цепи не было источника ЭДСто напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности равны нулю:

Используя первый и второй законы коммутации, получаем следующие независимые начальные условия:

2) Схемы после коммутации вычерчена на рис. 2.3.6.б. Ток через заряженный конденсатор равен нулю (),поэтому согласно закону Ома для узла “1” ток источника ЭДС равен току во второй ветви:

Тогда в данной цепи имеется один замкнутый контур в котором протекает ток

А.

По закону Ома находим напряжение

В.

3) Для схемы, изображенной на рис. 2.3.6.а, в момент коммутации при замыкании рубильника Р составляем исходную систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для контуратретье – на основании второго закона Кирхгофа для контура

где – ток. в конденсаторе и одновременно в катушке индуктивности,

(2.3.4)

Выразим ток из второго уравнения системы, и токиз третьего уравнения исходной системы:

Теперь подставим эти токи в первое уравнение системы:

Умножив обе части данного уравнения на и сгруппировав слагаемые, получим

Подставив ток (2.3.4) в последнее уравнение, получаем НДУ второго порядка:

Приравняв правую часть НДУ, получаем ОДУ:

Тогда получим следующее характеристическое уравнение:

Данное уравнение имеет два отрицательных и вещественных корня:

с^-1;

с^-1.

НДУ для напряжения в случае двух отрицательных действительных корней имеет общее решение следующего вида:

(2.3.5)

Постоянные интегрирования иопределим с помощью уравнений (2.3.4), (2.3.5) и независимых начальных условий.

Для этого подставим в соотношение (2.3.4) выражение (2.3.5):

Составим систему из выражения (2.3.4) последнего уравнения:

При имеем:

Используя независимые начальные условия, окончательно получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и

Путем подстановки из первого уравнения последней системы во второе уравнение находим постоянные интегрирования:

Итак, напряжение на конденсаторе

В.

Ток в катушке индуктивности определим путем подстановки найденного напряженияв формулу (2.3.4):

А.

Задача 2.3.7В цепи, изображенной на рис. 2.3.7.а, в моментзамыкается ключ К и подключается источник постоянного напряженияВ. Найти все токи и напряжение на конденсаторе. Даны следующие параметры цепи:Ом,Ом,мГн,мкФ.

Рис. 2.3.7.а	рис.2.3.7.б

Решение

1) Так как до коммутации в цепи не было источника напряжениязначит напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности равны нулю:

Используя первый и второй законы коммутации, получаем следующие независимые начальные условия:

2) Схема после коммутации приведена на рис. 4.3.7.б. Сопротивление конденсатора постоянному току равно бесконечности

следовательно, ток

Падение напряжения от постоянного тока на индуктивном элементе также равно нулю:

Значит по первому закону Кирхгофа для узла “1” ток в катушке индуктивности равен току источника напряжения:

А.

По закону Ома напряжение на конденсаторе определяется падением напряжения от действия тока в катушке индуктивности:

В.

3) Для схемы, приведенной на рис. 2.3.7.а, в момент подключения источника напряжения к цеписоставляем исходную систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для контуратретье – в соответствии со вторым законам Кирхгофа для контура

где

Решим эту систему уравнений относительно напряжения способом подстановки.

Из второго уравнения системы определим ток

Подставим в первое уравнение системы последний ток и ток в конденсаторе

Тогда определяем ток в катушке индуктивности через напряжение на емкости:

(2.3.6)

Наконец, подставим (2.3.6) в третье выражение исходной системы уравнений:

Умножив правую и левую части последнего выражения на и сгруппировав слагаемые, получим НДУ второго порядка:

Приравняв правую часть данного НДУ к нулю, получим ОДУ: