результате вблизи ε = µ происходит размытие распределения на глубину

~ kT. При ε − µ >> kT f( ε ) ~ exp[(µ - ε)/kT], т.е. эта функция практически близка к классической функции распределения Больцмана.

3.4.Электронный газ в металлах.

Вметаллах верхняя энергетическая зона укомплектована не полностью, т.е. является зоной проводимости. Электроны в зоне проводимости ведут себя подобно частицам свободного идеального газа, масса которых равна эффективной массе электронов, m*, а энергия отсчитывается от дна (наинизшего уровня) зоны проводимости. Такие электроны называются квазисвободными.

Для квазисвободных электронов допустимы любые значения энергии ε в пределах зоны проводимости, в том числе и вблизи значения ε = µ . Поэтому при абсолютном нуле (Т = 0) химический потенциал совпадает с энергией электронов на высшем из занятых уровней. Этот уровень называется уровнем Ферми.

Для вычисления среднего числа электронов, dN( ε ), имеющих энергию в промежутке ( ε , ε +dε), нужно умножить число состояний в этом промежутке, dg(ε) = g(ε) dε, где g(ε) – функция плотности состояний, на вероятность, f(ε), заполнения этих состояний электронами.

Для вычисления функции g(ε) рассмотрим число различных значений волнового вектора k в сферическом слое объемом 4π k2 dk в k – пространстве. В одномерном случае, исходя из граничных условий на краях образца длиной L, длина волны де Бройля, λ , может принимать

В трехмерном случае условия (24) должны соблюдаться для каждой компоненты вектора k: kx, ky, kz . Следовательно, каждому разрешенному набору этих чисел соответствует элемент объема в k – пространстве:

∆Vk = ∆k∆ky∆kz=2π/Lx2π/Ly2π/Lz = (2π)3 /V (25)

где Lx, Ly, Lz - размеры кристалла по осям x, y, z; V – объем кристалла. Число различных значений k в сферическом слое объемом dUk = 4πk2dk (радиуса k и толщиной dk) равно:

dN(k)=dUk/(∆Vk)=4πκ2/(8π3)Vdk=k2dk/(2π2)V (26)

Каждому разрешенному состоянию с импульсом k соответствует два состояния электрона с противоположными спинами:

Импульс электрона в металле вблизи дна зоны проводимости связан с ее энергией соотношением: p = √ 2m*ε . Поэтому

Среднее число электронов с энергией ( ε , ε + dε ) таким образом равно:

Функция N(ε ) при различных температурах представлена на рисунке 16. Полное число электронов равно:

∞∞

Вычислим концентрацию электронов, n = N/V. Как следует из (23),при

классическому электрону такую энергию, его нужно нагреть до температуры 25000 К. Таким образом, в случае металлов электронный газ является вырожденным.

Величина ТF = εF/к называется температурой Ферми. В данном случае

ТF = 60000 К.

При Т > 0 интеграл в (32)

∞ __

n = N/V = (2m*)3/2 (2π2 h3) –1∫√ε (e (ε − µ)/kT + 1) –1 dε (36) 0

не может быть вычислен точно. Однако, при кТ << µ (Т << TF) имеет место приближенная формула:

т.е. химический потенциал слабо понижается с температурой. Так, при Т = 300 К µ отличается от εF на 0,002 %.

При Т<< TF электронный газ называется вырожденным. При Т>>TF электронный газ невырожденный. (Рис. 15, Т = Т3 ).

Как следует из приведенных формул, электронный газ в металлах остается вырожденным вплоть до температур порядка десятков тысяч градусов. Поэтому для не слишком высоких температур доля возбужденных электронов составляет величину, равную кТ/µ. Средняя

энергия поступательного движения одного электрона равна 3кТ/2. Поэтому суммарная энергия электронного газа при температуре Т равна:

Следовательно, молярная теплоемкость электронного газа равна:

что значительно меньше, чем по классической теории, согласно которой Cµ кл=3R/2, т.е. составляет 50 % от теплоемкости кристаллической решетки. С учетом (39) получаем:

Сµ ЭЛ /Сµ КЛ = KT/µ << 1

Учитывая, что для металлов µ измеряется единицами электрон-вольт, а кТ

=0,025 эВ при Т = 300 К, получаем Сµ эл ~ 0,01Cµ реш.

3.5.Электропроводность металлов.

Решение квантовомеханической задачи о движении электронов в кристалле приводит к выводу, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы сопротивления, и электропроводность металла была бы бесконечно большой. Однако идеальных кристаллов не существует. Нарушение строгой периодичности обусловлено наличием примесей и вакансий, а также тепловыми колебаниями решетки. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фононах приводит к возникновению электрического сопротивления металлов. Согласно правилу Матиссена об аддитивности сопротивления, удельное сопротивление можно представить в виде,

где ρкол - удельное сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки ( ρкол = 0 при Т = 0), ρприм - сопротивление, обусловленное атомами примеси. Оно не зависит от температуры и образует остаточное сопротивление металла.

Под действием внешнего электрического поля электроны проводимости приходят в направленное движение, средняя скорость которого называется дрейфовой скоростью

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля E дрейфовая скорость становится отличной от нуля – в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной внешней силе -eE. Наряду с этим, на направленно движущиеся электроны со стороны кристаллической решетки действует сила сопротивления, среднее значение которой пропорционально дрейфовой скорости и направлено в противоположную сторону.

где r – коэффициент пропорциональности.

Уравнение движения для “среднего” электрона имеет вид:

Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле, дрейфовая скорость начнет убывать. Решение уравнения (43) при E = 0 имеет вид:

где vдр(0) – значение дрейфовой скорости в момент выключения поля. Из уравнения (44) следует, что за время

значение дрейфовой скорости уменьшается в e раз. Таким образом, величина (45) представляет собой время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой после выключения внешнего поля.

Установившееся значение дрейфовой скорости определяется из условия:

dvдр/dt = 0. Cогласно (43),

Отсюда

Установившееся значение плотности тока j можно получить, умножив это значение на заряд электрона - е и концентрацию электронов n:

Величину, равную отношению скорости дрейфа к напряженности поля, называют подвижностью носителей:

Иными словами, подвижность – это дрейфовая скорость, приобретаемая электронами в поле единичной напряженности. Так, для меди τ ~ 2 10-14 с, а подвижность электронов, вычисленная по формуле (49), u ~ 3 10 -3 м2/ (В с). Скорость дрейфа в полях обычной напряженности (E = 10 -2 В/м) составляет vдр ~ 0,3 м/c . Эта величина на много порядков ниже скорости

хаотического теплового движения электронов в отсутствие поля <v0> = 1,6 106 м/с.

C учетом (49) выражение (48) можно записать в виде:

Формула (48а) выражает закон Ома в дифференциальной форме. В результате получим удельную электропроводность металла:

Таким образом, для вычисления электропроводности σ необходимо знать подвижность носителей u, которая в свою очередь определяется временем релаксации τ. Из кинетического уравнения Больцмана следует, что по порядку величины это время сравнимо с временем, < τ >, свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями с квантами колебательной энергии решетки – фононами. Время < τ > определяется средней длиной, < λ >, свободного пробега электрона и скоростью, < v >, хаотического теплового движения электронов. Эти величины связаны очевидным соотношением

Иная картина наблюдается для вырожденного электронного газа, что имеет место в случае металлов. В таком газе основная масса электронов, энергия которых меньше энергии Ферми εF хотя бы на 0,1 эВ, не может принимать участие в процессах переноса заряда и рассеяния на колебаниях решетки, поскольку энергия фононов в этом случае не достаточна для возбуждения электронов на вышележащие свободные уровни. Поэтому при наличии вырождения в процессах участвуют только электроны с энергией, близкой к εF (фермиевские электроны), средние скорости которых, vF , практически не зависят от температуры. Следовательно,

где λF - средняя длина свободного пробега фермиевских электронов.

В области высоких температур (выше дебаевской температуры) сопротивление обусловлено в основном рассеянием на тепловых колебаниях решетки – фононах. Длина свободного пробега при этом обратно пропорциональна концентрации фононов, nф, которая, в свою очередь, пропорциональна абсолютной температуре, nф ~ T. Поэтому

где α - постоянная, не зависящая от Т.

Согласно (49) и (53), для вырожденного электронного газа имеем:

Так как в металлах концентрация n электронного газа не зависит от температуры, то согласно последней формуле σ обратно пропорционально абсолютной температуре Т.