T > 0 значение химического потенциала смещается к той зоне, где m* меньше. С учетом (17) для собственных полупроводников также получаем:

Следовательно, равновесная концентрация носителей тока определяется шириной запрещенной зоны и температурой полупроводника. Из формулы (17) следует также, что для любого полупроводника

4.2.Примесные полупроводники.

При наличии в полупроводнике некоторого количества примесных центров в энергетическом спектре возникают дополнительные уровни, которые могут располагаться как в разрешенных, так и в запрещенных зонах.

Если валентность атомов примеси на единицу больше валентности основных образующих решетку атомов, то примесь легко отдает дополнительный электрон, который переходит в зону проводимости и может свободно перемещаться по кристаллу. В результате появляются дополнительные свободные носители тока и следовательно электропроводность кристалла возрастает. Соответствующие примесные атомы называются донорами, а полупроводник называется донорным. Уровни доноров расположены в запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости на расстоянии Ed, которое значительно меньше ширины запрещенной зоны (Рисунок 22а). Обычно Ed ~ 0, 01 эВ. Донором является, например, пятивалентный мышьяк (As) в решетке германия. Носителями заряда в донорных полупроводниках являются

отрицательные частицы – электроны. Такие полупроводники называются также полупроводниками n – типа, так как для них n>> p.

Если валентность примесных атомов на единицу меньше валентности основных атомов решетки, (In в Ge, B в Si ), то такие примеси могут захватить электрон, что приводит к возникновению дырки в валентной зоне. Соответствующие примесные атомы называются акцепторами, а полупроводник называется акцепторным или полупроводником р – типа, поскольку носителями заряда в этом случае являются положительные квазичастицы – дырки, причем концентрация дырок на много порядков выше концентрации электронов: p>> n. Уровень примеси в таких полупроводниках находится в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны; обычно на расстоянии Еа ~ 0,01 эВ.(Рисунок 22б).

Рассмотрим теперь зависимость концентрации электронов на примесных уровнях от температуры. В примесном полупроводнике электроны могут переходить в зону проводимости не только из валентной зоны, но и с донорных уровней, дырки же могут возникать при переходах электронов из валентной зоны на акцепторные уровни. При этом следует учесть , что нахождение двух электронов на одном примесном донорном уровне невозможно вследствие сильного межэлектронного отталкивания. В результате донорный уровень может быть заселен не более чем однократно. По той же причине акцепторный уровень не может быть пустым, т.е. может быть заселен одноили двукратно. С учетом этого обстоятельства для вычисления вероятности нахождения электрона на примесном уровне в функцию распределения Ферми – Дирака вводится так называемый фактор вырождения g. Для мелких доноров g = ½, для мелких акцепторных уровней: g = 2. Таким образом, выражение для концентрации электронов на примесном уровне можно получить, если концентрацию примесных атомов N* умножить на функцию, аналогичную (10):

где E* - энергияпримесногоуровня.

При низких температурах, kT << Eg, число электронов, попавших в зону проводимости с донорных уровней, может на много порядков превышать число электронов, возбужденных из валентной зоны. В этом случае концентрация n электронов в зоне проводимости примерно равна числу свободных мест на донорных уровнях, Nd+. Полагая в формуле (22) E* = - Ed, получим:

Nd+ = Nd[1 – f( - Ed)] = Nd(1 + 2 e(E + µ)/kT), – 1 (23)

где Nd – концентрация атомов донорной примеси. Обычно Nd ~ 1022 – 1023

м-3.

Приравняв n из формулы (14) и Nd+ из формулы (23), получим уравнение для определения химического потенциала µ:

При очень низких температурах, Ed >> kT, доноры ионизированы слабо, и знаменатель в правой части выражения (24) много больше единицы. Следовательно, из (24) получаем:

Таким образом, при Т – 0 химический потенциал стремится к середине между дном зоны проводимости и донорным уровнем (Рис.22а). При увеличении температуры он сначала повышается, достигает максимума, после чего начинает понижаться и при некоторой температуре Т = Тs пересекает уровень доноров - Ed. Температура

называется температурой истощения примеси. Например, в Ge для примеси c Ed ~ 0,01 эВ и Nd = 1022 м- 3 согласно (27) получим: Ts = 30 K.

При небольшом повышении температуры над Ts практически все электроны переходят с примесных атомов в зону проводимости и тогда n = Nd. В этой области температур

В конце концов, при kT ~ Eg заметный вклад в концентрацию электронов в зоне проводимости начнут давать электроны, перешедшие непосредственно из валентной зоны. Концентрация электронов вновь начнет расти и станет почти равной концентрации ni в собственном полупроводнике. За температуру перехода к собственной проводимости

принимают температуру Ti, при которой концентрация носителей в собственном полупроводнике совпадает с концентрацией носителей в донорном полупроводнике в области истощения примеси, ni (Ti) = Nd:

Согласно этому уравнению, чем шире запрещенная зона полупроводника и чем выше концентрация примеси, тем выше температура перехода к собственной проводимости. При Nd = 1022 м– 3, что составляет ~ 0,001% от основных атомов, Ti в германии равна 480 К, а в кремнии она же составляет 650 К. Значение Ti определяет предельную температуру работы большинства электронных приборов.

Формулы для акцепторного полупроводника имеют тот же вид, что и для донорного полупроводника при замене NC на NV и Ed на Еа. Зависимость химического потенциала от температуры для акцепторного полупроводника представлена на рисунке 22б.

В донорном полупроводнике электроны являются основными носителями. В то же время, при температурах выше абсолютного нуля имеется некоторое количество дырок, которые в данном случае являются неосновными носителями. В акцепторном полупроводнике основными носителями являются дырки, а неосновными – электроны. Соотношение между концентрациями основных и неосновных носителей определяется законом действующих масс согласно формулам (17) и (21). Его можно сформулировать так: произведение концентрации электронов и дырок в полупроводнике не зависит от его легирования, а зависит только от температуры; это произведение равно квадрату концентрации носителей в собственном полупроводнике.Отсюда вытекает, что в области примесной проводимости концентрация неосновных носителей оказывается намного меньшей, чем в собственном полупроводнике при той же температуре.

4.3.Электропроводность полупроводников.

Из формулы (50) части 3 видно, что электропроводность вещества определяется концентрацией носителей заряда и их подвижностью. В то время как в металлах носителями заряда являются квазисвободные электроны, удельная электрическая проводимость полупроводников в общем случае определяется как электронами (n), как и дырками (р):

где е – заряд частицы, n - концентрация электронов, un – их подвижность. p и up – соответственно концентрация и подвижность дырок.

Поскольку электронный (и дырочный) газ в полупроводниках не вырожден, температурная зависимость подвижности определяется

где А =eα√π/8m*k – не зависящий от температуры коэффициент пропорциональности, различный для электронов, A = An, и дырок, A = Ap. В отличие от металлов, однако, концентрация носителей в полупроводниках сильно зависит от температуры.

Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике определяется формулой (20). Подставляя (31) и (20) в выражение (30) с учетом (15) и (16а) получаем:

Зависимость σ от Т удобно представить в полулогарифмических координатах:

Если отложить по оси абсцисс величину (2кТ) – 1, а по оси ординат lnσi, то на графике получится прямая, отсекающая на оси ординат отрезок, равный lnσ0, (Рисунок 23). При этом тангенс угла наклона прямой равен по величине ширине запрещенной зоны: tg α = Eg.

В случае примесных полупроводников в области температур ниже температуры перехода к собственной проводимости, Ts < T < Ti, концентрация носителей одного знака (основных) значительно выше концентрации носителей противоположного знака (неосновных). Имеем: n>>p для донорных полупроводников или p>>n для акцепторных полупроводников. В этом случае в формуле (30) имеет смысл оставлять только одно слагаемое, соответствующее основным носителям. При температурах ниже температуры истощения примеси (T < Ts) или выше температуры перехода к собственной проводимости (T > Ti) проводимость, как и в собственных полупроводниках, очень резко