По определению, удельное сопротивление ρ равно: ρ= 1/σ. Поэтому для удельного сопротивления, обусловленного колебаниями решетки, будем иметь:

т.е. удельное сопротивление растет пропорционально температуре, что и наблюдается экспериментально.

Для невырожденного электронного газа, согласно (52), имеем:

т.е. подвижность носителей невырожденного электронного газа обратно пропорциональна T3/2.

В области низких температур (ниже дебаевской) концентрация фононов быстро уменьшается, вследствие чего резко уменьшается удельное сопротивление, обусловленное колебаниями решетки: при Т - 0 ρ ~ T5. В этом случае основной вклад в сопротивление дает рассеяние на примесных атомах, всегда содержащихся в небольших количествах даже в самых чистых металлах. При рассеянии на примесных атомах длина свободного пробега, согласно формуле Резерфорда, пропорциональна четвертой степени скорости электронов, λ ~ < v > 4. Поэтому для вырожденного электронного газа u и σ не зависят от температуры, а для проводников с невырожденным электронным газом: u ~ <v>3 ~ T3/2.

Проведенное рассмотрение показывает, что электропроводность металлов определяется формулой (40), где ρприм не зависит от Т и называется остаточным удельным сопротивлением ρост , а ρкол при высоких температурах возрастает линейно с ростом Т. Схематически зависимость удельного сопротивления металла от температуры представлена на Рисунке 17. (кривая 1).

3.6.Явление сверхпроводимости.

В1911 году голландский физик Х. Камерлинг-Оннес обнаружил, что при температуре 4,15 К сопротивление ртути почти скачком падало до нуля, т.е. ртуть перестала оказывать сопротивление электрическому току. Это явление, названное сверхпроводимостью, было обнаружено впоследствии у ряда чистых металлов: олово, свинец, индий, алюминий, ниобий и т.д. Сверхпроводниками оказались и многие сплавы.

Температура, при которой происходит переход в сверхпроводящее состояние, называется критической температурой перехода и

обозначается Тк. График зависимости удельного сопротивления сверхпроводящего материала от абсолютной температуры представлен на рисунке 17 (кривая 2). Наиболее высокой температурой Тк из чистых металлов обладает ниобий (9,46 К), а из сплавов – Nb3Ge (23 K). В 1986 - 1987 гг. был обнаружен ряд высокотемпературных сверхпроводников с критической температурой 100 К и выше. Такая температура достигается с помощью жидкого азота. В отличие от гелия, жидкий азот получают в промышленном масштабе. Все открытые до сих пор высокотемпературные сверхпроводники принадлежат к группе металлооксидной керамики. Огромный интерес к таким сверхпроводникам обусловлен, в частности, тем, что использование сверхпроводящих линий электропередач полностью устранит потери мощности в проводах.

Сверхпроводимость не исчерпывается только обращением в нуль электрического сопротивления проводника (идеальной проводимостью). Для сверхпроводящего состояния характерно также то, что магнитное поле не проникает а толщу сверхпроводника, поскольку во внешнем магнитном поле В0 в нем возникают индукционные токи, которые по закону Ленца создают магнитную индукцию B = µH, компенсирующую внешнюю индукцию. В результате магнитная индукция внутри тела будет: B = B0 + B = 0. Линии индукции выталкиваются из тела и огибают его (Рисунок 18). В результате сверхпроводник обладает нулевой магнитной проницаемостью, (µ = 0) т.е. является идеальным диамагнетиком. Это явление получило название эффекта Мейсснера.

Достаточно сильное внешнее магнитное поле разрушает сверхпроводящее состояние. Значение магнитной индукции, при котором это происходит, называется критическим полем и обозначается Вк. Величина Вк зависит от температуры образца:

При критической температуре Вк = 0. С понижением температуры Вк возрастает, приближаясь в величине Вк0 - значению критического поля при нулевой температуре. Примерный ход этой зависимости представлен на рисунке 19. В обычных сверхпроводниках Вк0 меньше 0,1 Тл.

Состояние сверхпроводимости разрушается также магнитным полем самого тока в сверхпроводнике. Это происходит при таком значении силы тока Ik (критический ток), что магнитное поле у поверхности образца

достигает критического значения, при котором исчезает сверхпроводимость. Зависимость Ik от температуры аналогична зависимости Вк от Т (рис. 19). Сила критического тока при фиксированной температуре прямо пропорциональна диаметру провода, поскольку в обычных сверхпроводниках токи текут в тонком приповерхностном слое толщиной от 10 до 100 нм. В сверхпроводниках второго рода возникающие во внешнем магнитном поле токи текут не только по поверхности, но и в толще проводника. В результате в таких сверхпроводниках критическое поле возрастает до 20 Тл и более.

Сверхпроводимость представляет собой явление, в котором квантовомеханические эффекты проявляются в макроскопических масштабах. Теория этого явления весьма сложна и была создана только в 1957 г. американскими физиками Бардиным, Купером и Шриффером и независимо от них в 1958г. Н.Н. Боголюбовым. Возникновение этого явления обусловлено взаимодействием электронной подсистемы с кристаллической решеткой, благодаря которому на электроны в металле действуют силы взаимного притяжения, которые в сверхпроводящем состоянии превышают силы кулоновского отталкивания. Притяжение возникает вследствие деформации (поляризации) кристаллической решетки, в результате чего электрон оказывается окруженным облаком положительного заряда, к которому будет притягиваться другой электрон. В результате электроны проводимости объединяются в так называемые куперовские пары. На квантовомеханическом языке такое притяжение возникает как результат обмена квантами возбуждения решетки – фононами. При низких температурах это притяжение у веществ, являющихся сверхпроводниками, превышает кулоновское отталкивание. Наиболее эффективно образование пар происходит в тех металлах, у которых имеет место сильное взаимодействие электронов с кристаллической решеткой, приводящее в обычных условиях к относительно низкой электропроводности. И действительно, из чистых металлов лучшими сверхпроводниками оказались наиболее высокоомные

– свинец, ниобий, олово, ртуть и др. В то же время у хороших проводников (медь, серебро) сверхпроводимости не наблюдается.

Расстояние между электронами пары может достигать примерно 10-4см, т.е. на четыре порядка превышает межатомные расстояния в кристалле. Следовательно, внутри области, занимаемой любой парой, окажутся центры очень многих ( от 105 до 1011) пар, т.е. пары сильно перекрываются, что весьма существенно для стабильности состояния.

Взаимодействие, обусловленное обменом фононами, наиболее сильно проявляется у электронов, обладающих противоположными спинами и

импульсами. Поскольку полный спин пары равен нулю, то такие частицы подчиняются квантовой статистике Бозе-Эйнштейна, т.е. являются бозонами. Бозоны накапливаются в основном энергетическом состоянии, образуя “бозе-конденсат”, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние. Следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение (под действием, например, электрического поля), остаются в этом состоянии неограниченно долго. Такое согласованное движение пар и есть ток проводимости.

В куперовские пары объединяются не все электроны проводимости, поскольку в вырожденном газе фермионов взаимодействовать между собой могут лишь те частицы, вблизи уровней которых имеются свободные состояния, т.е. фермиевские электроны. При Т > 0 имеется некоторая вероятность разрушения пары. Поэтому наряду с такими парами имеются “нормальные” электроны. Чем ближе Т к Тк, тем доля нормальных электронов становится больше. При Т = Тк все электроны становятся нормальными, и сверхпроводящее состояние разрушается.

Образование куперовских пар приводит к перестройке энергетического спектра металла. Для возбуждения электронной системы, находящейся в сверхпроводящем состоянии, надо разрушить хотя бы одну пару. Для этого требуется энергия, равная энергии связи, 2∆ , электронов в паре (по ∆ на каждый электрон). Эта энергия представляет собой минимальное количество энергии, которое может воспринять система электронов сверхпроводника. Следовательно, при T < Tk в энергетическом спектре электронов образуется энергетическая щель ширины 2∆, расположенная в области уровня Ферми. Значения энергии, принадлежащие этой щели, запрещены. Существование щели было доказано экспериментально.

Благодаря наличию энергетической щели, при малых скоростях своего движения (I < Ik) электронная система не возбуждается фононами, что означает движение без трения, т.е. без электрического сопротивления. Ширина щели зависит от количества неспаренных электронов, уменьшаясь с ростом концентрации последних, а следовательно, с ростом температуры. Из теории сверхпроводимости известна формула:

При Т = Тк все куперовские пары разрушаются и вещество переходит в нормальное (несверхпроводящее) состояние. Для типичных сверхпроводников ∆ (0) ~ 10-3 эВ.

Микроскопическая теория сверхпроводимости дает: Тк ~ hω, где ω -

т.е. критическая температура уменьшается с ростом массы изотопа, что соответствует экспериментальным данным по изотопическому эффекту. Действительно, с ростом массы ионы решетки становятся менее подвижными и хуже экранируют заряд электрона.

Из теории сверхпроводимости следует также, что сила тока в сверхпроводящем кольце (или цилиндре) квантуется, т.е. принимает только дискретный ряд значений. Поскольку сверхпроводящий ток связан с магнитным полем, то его напряженность, а значит и магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом, будут квантоваться,т.е. Ф = n

где q – заряд носителя тока. Формула (61) подтверждена в 1961 г. экспериментально. Измеренное значение Ф оказалось кратным Ф0 при q, равным удвоенному заряду электрона (q = - 2e). Это служит дополнительным подтверждением теории, согласно которой носителями тока в сверхпроводнике являются куперовские пары, заряд которых равен суммарному заряду двух электронов.

Эффекты Джозефсона. В 1962 г. Джозефсон предсказал на основе теории сверхпроводимости существование двух необычных эффектов: стационарного (обнаружен экспериментально в 1963 г.) и нестационарного (1965 г.). Эти эффекты наблюдаются при протекании сверхпроводящего тока через туннельный контакт, образованный двумя сверхпроводниками, разделенными слоем диэлектрика толщиной порядка 1 нм, называемый контактом Джозефсона. При этом возникает туннелирование электронных пар через контакт. Сила тока через контакт

где I0 - максимальный ток через барьер, пропорциональный площади туннельного перехода и прозрачности барьера.

Стационарный эффект наблюдается при условии, что ток через контакт Джозефсона не превышает определенного значения, называемого критическим током контакта. При стационарном эффекте напряжение на контакте отсутствует.

Если ток на контакте превышает критическое значение, наблюдается нестационарный эффект Джозефсона. В этом случае на контакте