NV = ρ /mэл = ρ/(m0Z) = ρNA/(µZ),

где ρ - плотность кристалла. Объем одной элементарной ячейки: Vc = 1/NV. С другой стороны, для решетки кубической сингонии Vc = a3, где а – параметр решетки. Следовательно,

a = 3√ µZ/(ρNA)

или

1.3. Геометрические элементы кристалла. Вектор обратной решетки.

Если заданы основные векторы решетки, а1, a2, а3 , то положение любого узла решетки, согласно формуле (1), определяется заданием трех целых чисел, n1, n2,n3, которые называются индексами узла и записываются в виде: [[n1,n2,n3]].

Направление в кристалле – прямая, проходящая через начало координат

иодин из узлов. Оно однозначно определяется индексами ближайшего к началу координат узла, через который проходит эта прямая, и

обозначается: [n1,n2,n3]. Плотность атомов (число узлов на единицу длины) в разных направлениях может быть различной, что и определяет анизотропию кристалла.

Любые три узла решетки, не лежащие на одной прямой, определяют кристаллическую плоскость. Эта плоскость, очевидно, содержит бесчисленное множество узлов. Уравнение любой плоскости, в том числе

икристаллической, можно записать в виде:

где r (x,y,z) – текущие координаты точки плоскости, b – постоянный вектор, перпендикулярный данной плоскости. Расстояние плоскости от начала координат: D = 1/|b|. В случае кристаллической плоскости (а только такая плоскость представляет интерес) вектор b удобно выбирать в виде разложения

по основным векторам обратной решетки bi (i = 1, 2, 3), определяемым соотношениями:

Из (7) и (3), очевидно, следует: (аibi) = 1, (i = 1, 2, 3). В частности, при α = β = γ = 90o (кубическая, тетрагональная, ромбическая системы) bi = ai- 1 и каждая пара векторов, ai и bi , направлена в одну и ту же сторону, соответственно вдоль осей x, y, z.

Координаты любого узла решетки записываются в виде:

где ni(i = 1, 2, 3) –целые числа. Подставляя (6) и (8) в (5) с учетом (7), получаем:

где h, k, l – взаимно простые (не имеющие общего делителя) целые числа, называемые индексами Миллера. Они записываются в виде (hkl) и определяют направление вектора b и, следовательно, систему перпендикулярных этому вектору и параллельных между собой плоскостей, каждая из которых характеризуется определенным значением q = 1, 2, 3,… Умножая (9) на q, получаем:

Таким образом, любая кристаллическая плоскость задается совокупностью индексов: {(hkl), q}. При q = 0 соответствующая плоскость проходит через начало координат.

Если система плоскостей параллельна какой-либо из осей координат, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Так, плоскость (110) параллельна оси z, а плоскость (100) параллельна координатной плоскости (yz). Индексы Миллера наиболее важных плоскостей в кубическом кристалле показаны на рис. 4.

Расстояние D плоскости с индексом q от начала координат согласно (6) равно:

где b0 = hb1 + kb2 + lb3, b =|b|, b0 = |b0|.

Из (11) следует, что расстояния d между соседними плоскостями ( ∆q

Кристаллические плоскости отсекают на осях координат отрезки, равные:

Очевидно, что если q/h, q/k и q/l – целые числа, то соответствующая плоскость пересекает координатные оси в узловых точках.

1.4. Дифракция волн в кристалле.

Обычно для исследования структуры кристаллов используют дифракцию волн, которые взаимодействуют с атомами. С помощью дифракции можно определить размеры элементарных ячеек и положения ядер в ячейках. При этом обычно используется дифракция рентгеновских лучей (электромагнитных волн) или нейтронов с длинами волн, λ, сравнимыми с постоянной решетки, а. Для исследования кристаллов требуется рентгеновское излучение с энергией квантов от 10 до 50 КэВ. Длина волны де-Бройля нейтронов сравнима с постоянной решетки при энергиях нейтронов порядка 0,08 эВ.

Лучи (или частицы) отражаются от кристаллических плоскостей, задаваемых индексами Миллера (hkl). Из геометрических соображений вытекают условия Вульфа – Брэгга для дифракционных максимумов n –

где n = 1,2,3,…- порядок дифракции, d = d(h,k,l) – расстояние между плоскостями, θ - угол между падающим лучом и плоскостью кристалла (Рис. 5). Условие (14) удобно записать в виде соотношения между