(экспоненциально) зависит от температуры. В области истощения примеси (Ts < T < Ti), что соответствует рабочей температуре многих полупроводниковых приборов, концентрация носителей остается неизменной и равной концентрации примесных атомов.(Рис. 24). В этой области температур электропроводность, как и в металлах, уменьшается с ростом температуры благодаря рассеянию на фононах. В сильно легированных полупроводниках (с высокой концентрацией носителей) в области истощения примесей значительную роль будет играть также рассеяние на атомах ионизированной примеси.

Обычно относительное количество примеси в полупроводниках составляет ~0,01%, что соответствует концентрации примеси N* ~ 1023 – 1024м –3. В сильно легированных полупроводниках относительное количество примеси ~ 0,1% и N* ~ 1024 – 1025 м – 3.

4.4.Эффект Холла.

Наличием в твердых телах свободных носителей тока обусловлено важное явление, открытое в 1879 г. американским физиком Холлом. Эффектом Холла называется явление, состоящее в том, что при пропускании тока вдоль проводящей пластинки, помещенной перпендикулярно линиям магнитного поля, в ней возникает поперечная разность потенциалов вследствие взаимодействия носителей заряда с магнитным полем.

Пусть по проводнику, имеющему форму прямоугольной пластины шириной а и толщиной b протекает электрический ток J. (Рисунок 25). В отсутствие магнитного поля разность потенциалов между боковыми поверхностями С и D равна нулю.

При наличии магнитного поля, индукция которого В перпендикулярна направлению тока и плоскости образца, между боковыми поверхностями возникает разность потенциалов Vx, называемая холловской ЭДС.

В металлах и полупроводниках n –типа основными носителями являются электроны, т.е. отрицательно заряженные частицы. Если носители заряда отрицательны, то под действием силы Лоренца, Fл = - e [v B], они отклоняются к внешней грани пластины (D), заряжая ее отрицательно. На противоположной грани накапливаются нескомпенсированные положительные заряды. Это приводит к появлению электрического поля Ex = Vx/a, направленного от С к D (рис.25а), где Vх – разность потенциалов между С и D ( ЭДС Холла).

Поле Ex действует на электроны с силой F = - e Fx, направленной против силы Лоренца. При F = Fл поперечное электрическое поле

уравновешивает силу Лоренца и дальнейшее накопление электрических зарядов на боковых гранях пластины прекращается. Из условия равновесия находим:

Где v – дрейфовая скорость электронов, связанная с плотностью тока j соотношением:

где е – заряд электрона, n – концентрация электронов в образце. Подставляя (36) в (35), получаем:

Поперечное сечение пластины S = ab. Следовательно, полный ток, протекающий через пластину, равен J = jab, и с учетом (37) получаем:

Экспериментально было установлено, что при не слишком сильных полях ЭДС Холла пропорциональна индукции поля и силе тока и обратно пропорциональна толщине пластины b:

Коэффициент пропорциональности Rx является константой, зависящей от свойств материала. Она называется постоянной Холла и в системе СИ выражается в единицах м3/ Кл. Таким образом, теоретическое выражение (38) согласуется с экспериментальным (39), если положить

Rx = 1/(en) (40)

При выводе формулы (35) предполагалось, что все носители тока обладают одной и той же дрейфовой скоростью. Такое допущение оправдано для металлов, в которых ток переносится электронами, обладающими одной и той же энергией (фермиевской), но не применимо к невырожденным полупроводникам, в которых носители, имеющие различную энергию, могут обладать различной скоростью дрейфа из-за зависимости их подвижности от времени свободного пробега. Более строгий расчет, учитывающий распределение носителей по скоростям, приводит к следующему выражению для постоянной Холла:

где постоянная А зависит от механизма рассеяния носителей. При рассеянии на тепловых колебаниях решетки А = 3π/8 = 1,17. Если основное значение имеет рассеяние на ионизированных атомах примеси,

то А = 1,95.

Если основная часть носителей тока обладает положительным зарядом (дырки в полупроводниках р – типа), то направление дрейфа носителей совпадает с направлением тока. В этом случае носители также отклоняются к внешней грани, D, которая заряжается положительно, а поле будет направлено от D к С, а не от С к D, как в случае отрицательно заряженных носителей (Рис.25а). Следовательно, по знаку ЭДС Холла можно определить знак носителей тока. Знак постоянной Холла Rx считается положительным, когда ток переносится дырками, и отрицательным, когда он переносится электронами. Таким образом, для полупроводников р – типа с концентрацией дырок, равной р:

А для полупроводников n – типа с концентрацией электронов, равной n:

Для полупроводников со смешанной проводимостью, когда концентрация электронов и дырок сравнимы друг с другом, постоянная Холла вычисляется из следующего соотношения:

где up и un – подвижности дырок и электронов. Формула (44) переходит в

(42) при p >> n и в (43) при n >> p.

Для собственных полупроводников, в которых n = p = ni (44) приобретает вид:

Измерив постоянную Холла Rx, можно определить концентрацию носителей, а по направлению ЭДС Холла определить их знак. Если известна удельная электропроводность σ, то зная постоянную Холла можно вычислить подвижность носителей:

Формулы (37) и (39) справедливы в случае магнитных полей не очень высокой напряженности. В сильных полях носители не просто отклоняются от направления своего движения, но и “закручиваются” вокруг линий магнитного поля. Критерием применимости формул (37) и (39) является требование:

где u – подвижность носителей.

4.5.Контактные явления в металлах и полупроводниках.

Работа выхода. Положительные ионы, образующие решетку кристалла, создают внутри кристалла электрическое поле с положительным потенциалом V0. Поэтому электроны в кристалле находятся в потенциальной яме глубины U0 = - eV0, выход из которой требует затраты работы. Для металлов эта работа равна высоте потенциального барьера, отсчитанной от дна зоны проводимости, и называется внешней работой выхода χ или электронным сродством (Рисунок 26), причем χ = - U0.

Выйти из кристалла могут лишь те электроны, которые обладают энергией, достаточной для преодоления барьера χ. При абсолютном нуле температуры (Т = 0) наибольшую энергию имеют электроны, расположенные на уровне Ферми. Высоту барьера, отсчитанную от уровня Ферми, εF = µ, называют термодинамической работой выхода χ0,

Величина ϕ = χ0 /e называется потенциалом выхода электронов.

Большое влияние на работу выхода оказывают мономолекулярные адсорбционные слои. Например, при покрытии вольфрама слоем цезия возникает двойной электрический слой, внешняя сторона которого заряжена положительно, поскольку атомы цезия отдают вольфраму свои валентные электроны и превращаются в положительно заряженные ионы. Поле двойного слоя помогает выходу электронов из вольфрама, поэтому в присутствии слоя цезия работа выхода электронов из вольфрама уменьшается с 4,52 до 1,36 эВ.

При Т>0 часть электронов приобретает кинетическую энергию, превышающую высоту потенциального барьера. Такие электроны

способны выходить из металла. Поэтому нагретый металл испускает электроны. Это явление получило название термоэлектронной эмиссии. Плотность тока эмиссии определяется формулой Ричардсона – Дешмена:

где А = 4πemnk2/h3 - постоянная Ричардсона. Здесь к - постоянная Больцмана, е и m - заряд и масса электрона, h – постоянная Планка. Согласно формуле (49), плотность тока эмиссии сильно зависит от температуры. Так, при повышении температуры вольфрамового катода от 1000 до 2500 К плотность тока эмиссии возрастает примерно на 16 порядков.

Внешнее ускоряющее электрическое поле вызывает не только понижение потенциального барьера, но и уменьшение его толщины, что делает барьер достаточно прозрачным для туннельного просачивание электронов и выхода их из твердого тела. Это явление получило название холодной эмиссии электронов Плотность тока холодной эмиссии резко возрастает с увеличением напряженности ускоряющего поля:

где С и α − постоянные, характеризующие потенциальный барьер. Контактная разность потенциалов. Если привести два проводника,

например, два разных металла в соприкосновение, между ними возникает разность потенциалов, которая называется контактной. Контактная разность потенциалов обусловлена тем, что при соприкосновении металлов часть электронов из одного металла переходит в другой. В изолированном состоянии электронный газ в этих проводниках характеризуется химическими потенциалами µ1 и µ2 и работами выхода χ1 и χ2 (Рисунок 27а). Если в первом металле уровень Ферми лежит выше, чем во втором, то при возникновении контакта электроны с самых высоких уровней в первом металле станут переходить на более низкие свободные уровни второго металла, пока уровни Ферми не окажутся на одной высоте (µ 1 = µ2).(Рис. 27б). При этом между проводниками установится равновесие, которому отвечает равновесная разность потенциалов между ними:

Величина ϕ12 контактной разностью потенциалов между металлами.

Согласно (51) она равна разности потенциалов выхода для второго и первого металлов. В большинстве случаев ее значение составляет ~ 1 эВ. Для электронов, переходящих в проводник с большей работой выхода, она создает потенциальный барьер высотой eϕ12. Контактная разность потенциалов возникает также на границе между металлом и полупроводником и на границе между двумя полупроводниками.

Контактные электродвижущие силы (ЭДС) не могут привести к возникновению тока в замкнутой цепи, если все ее элементы находятся при одной и той же температуре. Рассмотрим, например, цепь, состоящую из трех разных материалов. (Рисунок 28). Обозначим потенциалы выхода

Таким образом, если все спаи поддерживать при одинаковой температуре, ЭДС и, следовательно, ток в цепи возникнуть не может. Однако если контакты разнородных металлов, образующих замкнутую цепь, имеют неодинаковую температуру, то вследствие зависимости химического потенциала от температуры (формула (37) части 3) скачок потенциала при переходе из одного металла в другой для спаев, находящихся при разных температурах, будет неодинаков и сумма скачков потенциала будет отлична от нуля, т.е. в цепи возникает результирующая ЭДС, называемая термоэлектродвижущей силой и следовательно в цепи потечет электрический ток. Это явление было открыто Зеебеком в 1821 г. и получило название эффект Зеебека. Другой причиной возникновения термоЭДС является диффузия более быстрых электронов к холодному концу проводника, в результате чего вблизи холодного конца образуется избыток электронов, а вблизи горячего – их недостаток.

Во многих случаях термо-ЭДС линейно зависит от разности температур. Для разных спаев, находящихся при температурах Т2 И Т1, то