Здесь использован второй закон Ньютона: F = dp/dt. Таким образом, из (16) и (17) вытекает:

Для свободной частицы w и F связаны соотношением: mw = F, где m = F/w – масса частицы. Поэтому, согласно (18), величина

играет для кристалла ту же роль, что и масса свободной частицы во втором законе Ньютона.

Величину m*, определяемую из (19), называют эффективной массой электрона. Она определяет характер его движения в кристаллической решетке. Как следует из рис. 13, зависимость E(k) существенно отличается от параболы; поэтому эффективная масса может сильно отличаться от истинной массы электрона. Вблизи дна зоны ( в окрестности точек А, А`, А`` ) кривая мало отличается от параболы и m* = const > 0. В точках перегиба, В, В`,В`` , m* = ∞. Это означает, что вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию взаимодействия электрона с решеткой, и приращения кинетической энергии и скорости электрона не происходит. В точках перегиба эффективная масса меняет знак, она становится отрицательной. Таким образом, в точках С, С`,С`` (вблизи вершины зоны) m* < 0, т.е. электрон благодаря брэгговскому отражению получает ускорение, противоположное направлению действующей силы. Проведенное рассмотрение показывает, что эффективная масса существенным образом зависит от положения электрона в зоне. Эффективная масса постоянна, если энергия электрона является квадратичной функцией волнового числа, k, что имеет место вблизи дна или вершины энергетической зоны.

3.2. Заполнение зон электронами и деление тел на металлы, диэлектрики и полупроводники.

Полное число различных значений k в зоне равно числу N атомов в кристалле. Каждому значению k соответствует два состояния, различающиеся спином электрона. Таким образом, в каждой энергетической зоне содержится в общей сложности 2N состояний. Следовательно, согласно принципу Паули, в зоне может находиться не более 2N электронов. Если, например, на каждую элементарную ячейку приходится один атом одновалентного элемента (например, атом

щелочного металла), то в энергетической зоне будет занята ровно половина возможных состояний (уровней).

При ограниченном числе электронов, содержащихся в твердом теле, заполненными при Т =0 окажутся лишь несколько наиболее низких энергетических зон, между которыми находятся запрещенные зоны. По характеру заполнения зон электронами все тела можно разделить на две большие группы.

К первой группе относятся тела, в которых над целиком заполненной зоной находится зона, заполненная лишь частично (рис. 14а). Такая зона возникает в том случае, когда атомный уровень, из которого она образуется, заполнен в атоме не полностью, как это имеет место, например, у щелочных металлов.

Частично заполненная зона может образоваться также и вследствие наложения заполненных зон на пустые или частично заполненные, как это имеет место у бериллия и других щелочно-земельных элементов (рис. 14б). Наличие зоны, заполненной лишь частично, присуще металлам.

Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами расположены пустые зоны (рис. 14, в,г). Типичным примером таких тел являются химические элементы IV группы таблицы Менделеева – углерод в модификации алмаза, кремний, германий и многие химические соединения.

Характер заполнения зон оказывает решающее влияние на электропроводность веществ. При наложении внешнего поля Ε возникает ускоренное движение электронов в направлении силы F = - eΕ, что связано с переходом на более высокие уровни энергии. Такие переходы возможны лишь в том случае, если в энергетической зоне, к которой принадлежат данные электроны, имеются незанятые состояния, т.е. если зона укомплектована не полностью. В этом случае даже слабое электрическое поле способно сообщить электронам достаточный добавочный импульс, чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни. В теле появится преимущественное движение электронов против поля, т.е. появится электрический ток. Такая ситуация характерна для

металлов, удельная электро-проводность которых составляет σ ~ 107 Ом-1

м -1.

Если верхняя из заполненных электронами зон (валентная зона) заполнена целиком, то вследствие наличия запрещенной зоны шириной Eg, внешнее поле не способно перевести электрон в вышележащую свободную зону (зону проводимости) и, следовательно, изменить характер их распределения по скоростям. Внутри же самой валентной зоны, не содержащей ни одного свободного уровня, внешнее поле может

вызвать лишь перестановку электронов местами. Поэтому в таких телах не возникает направленного движения электронов, вследствие чего они должны обладать практически нулевой электропроводностью. У хороших диэлектриков σ < 10 -11 Ом -1 м -1.

Таким образом достаточным условием появления у тел высокой проводимости является наличие в их энергетическом спектре энергетических зон, укомплектованных электронами лишь частично. Отсутствие же таких зон в спектре твердых тел второй группы делает их непроводниками. По ширине запрещенной зоны тела второй группы условно делят на диэлектрики и полупроводники.

Кдиэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую

запрещенную зону (рис. 14в). У типичных диэлектриков Еg > ~ 3 эВ (у алмаза: Еg = 5,2 эВ, у корунда (Al2 O3): Eg = 7 эВ).

Кполупроводникам относят тела, имеющие сравнительно узкую

запрещенную зону (рис. 14г). У типичных полупроводников Еg < 2эВ. Так, у германия Еg ~ 0,66 эВ, у кремния Еg ~ 1,08 эВ и т.д.

3.3 Температурная зависимость функции распределения электронов по энергетическим состояниям – функция распределения Ферми – Ди-рака.

Описанное выше заполнение электронами наиболее низколежащих энергетических уровней имеет место лишь при равной нулю абсолютной температуре. При повышении температуры кинетическая энергия электронного газа увеличивается; при этом вероятность заполнения электронами любого квантового состояния, вообще говоря, отлична от нуля. Для описания распределения электронов по различным квантовым состояниям используются методы квантовой статистики.

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (например, электронов), каждый из которых может находиться в одном из одночастичных квантовых состояний и пусть энергия i –го состояния равняется εi , причем некоторые из значений энергии могут быть вырожденными, т.е. одному и тому же значению энергии могут соответствовать несколько одночастичных состояний.

Если система находится в равновесном состоянии, то распределение частиц по состояниям характеризуется средним числом частиц, ni, находящихся в данном состоянии. В соответствии с каноническим распределением Гиббса, вероятность того, что при температуре Т в i – ом состоянии находится ni частиц, равна,

где А – нормировочный множитель, к - постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, µ − хими-ческий потенциал системы в целом. Химический потенциал численно равен работе, которую нужно совершить над системой, чтобы увеличить число частиц в системе на одну. Он определяется из условия постоянства полного числа, N, электронов в системе.

Поскольку электроны являются фермионами и подчиняются принципу Паули, то в каждом одночастичном состоянии может находиться не более одной частицы, т.е. должно быть ni = 0, 1. Средняя заселенность одночастичного состояния, очевидно, равна:

Эта формула известна как функция распределения Ферми – Дирака, 0 < f( ε )< 1.

Более строгий вывод выражений (20) и (23) приведен в Приложении.

На рисунке 15 представлена функция f(ε ) при различных значениях температуры Т. Как следует из (23), при абсолютном нуле (Т = 0) все состояния с энергией ε < µ однократно заняты, f( ε ) = 1, а состояния с ε

повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на все более высокие уровни, ε > µ . В