2.2. Общая постановка однокритериальной задачи принятия решения

Наиболее общая формулировка однокритериальной ЗПР содержит три основные части:

1. Описание пространства параметров;

2. Математическая модель критерия операции;

3. Дисциплинирующие условия ‑ ограничения на параметры.

Рассмотрим более подробно эти составляющие. Все параметры и переменные, фигурирующие в математической модели можно разделить на следующие группы:

контролируемые параметры;

неконтролируемые, но детерминированные параметры;

неконтролируемые стохастические факторы (мы не знаем точные значения, которые могут принимать эти параметры, ни мы знаем полное их статистическое описание.

неконтролируемые неопределенные параметры (модель изменения этих параметров либо неизвестна полностью либо известна недостаточно).

время.

Критерием в данной задаче является скалярная функция:

(1)

Дисциплинирующие условия являются функциями, которые имеют следующий вид:

(2)

где mчисло возможных условий.

Формулы (1) и (2) являются полным общим описанием однокритериальнойзадачи.

Динамические задачи отличаются отстатическихуровнем сложности критерия (1) и дисциплинирующих условий (2). Если для статических задач (tне входит) левые части (1) и (2) являются обычными функциями, то для динамических задач условие (1) имеет, как правило, вид функционала, а условия (2) могут быть не только конечными, но и дифференциальными или разностными.

Определение. Функционал‑ функция, зависящая от функции или нескольких функций времени и принимающее значение в области действительных чисел.

Пример функционала

.

Если задача определенная, то в основу формул (1) и (2) не входят векторы,.

С появлением вектора в левой части (1) и (2) задача выходит из области математического программирования. В этом случае применяются как методы редукции к детерминированным задачам, так и теория игр, метод минимакса.

С появлением вектора задача становитсянеопределенной. В этом случае необходимо привлекать новые группы методов: метод статистических решений, экспертные процедуры.

Все однокритериальные статические детерминированные ЗПР

делят на классические, для которых характерно требование, чтобыFиg_iбыли непрерывными имели непрерывные производные до второго порядка по всем переменным, а все ограничения имели вид равенств. Для решения таких задач применяют классические методы (метод множителей Лагранжа) с последующим решением нелинейных систем уравнений.

В противном случае задача относится к неклассическим, которые в свою очередь делятся на специальные, имеющие хорошо разработанные методы решения, учитывающие специфику решаемых задач: линейное программирование, квадратическое, выпуклое, динамическое, геометрическое, дробнолинейное (все эти методы решения называются непрямыми) и неспециальные для которых используются прямые методы решения (самые универсальные и самые трудоемкие).

Примероднокритериальной статической детерминированной ЗПР.

Пусть имеется несколько производственных объектов, этими объектами могут быть участки цеха, цеха на предприятии, предприятия в отрасли и т.д. Обозначим эти производственные объекты через A₁А₂, ...,А_n,А_r— текущий объект,r= 1,….,n.

Пусть все эти производственные объекты способны выпускать некоторые изделия, которые обозначим через B₁,В₂, ...,В_m, некоторое текущее изделиеВ_i,i= 1,…,m.

Для выпуска этих изделий необходимо иметь kресурсов (рабочие различной квалификации и профессий, инженеры, станки и т. п.). Обозначим эти производственные ресурсы черезC₁,C₂, ...,С_k, текущий ресурсC_j,j= 1,…,k.

На каждый вид выпускаемой продукции имеется директивный план, т. е. то количество изделий данного вида, не менее которого все производственные объекты должны выпустить все вместе. Обозначим директивный план выпуска изделия B_iчерезb_i.

Известны нормативы: норматив использования ресурса C_j, который необходим для выпуска одной штуки изделияB_i, обозначим черезc_ij.

Время использования каждого из ресурсов С_jесть величина ограниченная (не более 24 часов в сутки), кроме того, для каждого из производственных объектов эта величина различная (т. к. на одном предприятии, например, может быть трехсменная работа, на другом — двухсменная и т. п.). Обозначим допустимое время использования ресурсаС_j. на производственном объектеА_rчерезa_rj.

Известна также прибыль каждого производственного объекта от выпуска одного изделия каждого вида. Обозначим прибыль, которую получает объект А_r, выпуская одну штуку изделий типа черезР_ri. Требуется так распределить план выпуска всех изделий между всеми объектами, чтобы суммарная прибыль была бы максимальной.

Это словесное описание задачи (проблемы). Теперь разработаем ее математическую модель.

Обозначим через X_riплан выпуска изделий типаВ_ii= 1,…,m, который мы поручим предприятию или производственному объектуА_rr=1,…,n. Следует отметить, что каждый из производственных объектов, выпуская одну единицу изделий типаB_i, получает различную прибыль в зависимости от технологии, организации труда и т.п.

Рассмотрим объект А_r: выпуская одну единицу изделий типаB_iэто предприятие получает прибыльP_ri, но по плану, который мы ищем, он должен выпускатьX_riштук, значит, прибыль этого объекта от выпуска данного изделия составитP_riX_ri. Аналогичные рассуждения можно провести и для любого из перечисленных изделий, следовательно, суммарная прибыль объекта будет складываться от выпуска всех изделий, значит, указанную величину надо просуммировать по всем изделиям. В результате прибыль объектаА_rбудет равна:

.

Но нас интересует суммарная прибыль всех объектов, поэтому указанную величину необходимо просуммировать по всем объектам. Суммарная прибыль составит:

. (3)

Итак, задача заключается в том, чтобы найти такие X_ri, которые бы обеспечивали максимум выражения (3), но при этом наX_riнакладываются следующие ограничения:

1. искомые плана X_riне могут быть отрицательными

, (4)

2. второй вид ограничений вытекает из необходимости выполнения директивных планов. Одно предприятие выпускает X_riштук изделий тогда полный объем выпуска этих изделий получится в результате суммированияX_riпо всем предприятиям. И эта величина не может быть меньше директивного планаb_iт.е.

, (5)

3. ограничений вытекающие из ограниченности ресурсов. Выпуская 1 шт. изделий вида B_iмы занимаем ресурсС_j. в течении временис_ij., (например, 0,5 часа изготавливается конкретная деталь на конкретном станке). Но выпускать мы будемX_riштук изделий. Стало бытьс_ijX_ri— время занятости данного ресурса выпуском деталей только этого вида. Но этот же ресурс может быть занят выпуском и других изделий. Тогдаполное время занятости ресурсаС_j. Но время использования каждого из ресурсов есть величина ограниченная, поэтому

. (6)

И, окончательно, необходимо найти такие планы выпуска всех изделий на всех производственных объектах X_ri, которые бы обращали в максимум выражение (3) при соблюдении систем ограничений (46).