3.10. Основные понятия лекции №3

1. Все методы многокритериального выбора делятся на две группы:

• оптимизация по равноважным(независимым) критериям;

• оптимизация по разноважным(взаимозависимым) критериям;

2. Первый этап принятия решений в многокритериальных задачах – это разбиение области допустимых значений на область согласия и область компромиссов (область Парето).

3. Предпочтение одной альтернативе перед другой отдается только в том случае, если первая по всем критериям не хуже второй и хотя бы по одному из них лучше. Вторая их них считается доминируемойи подлежит исключению. Если предпочтение хотя бы одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаютсянесравнимымиилинедоминируемыми и образуют область Парето.

4. Из области Парето наилучшая альтернатива выделяется в соответствии с заданной «схемой компромисса». Основные «схемы компромисса»:

• поиск альтернативы с заданными свойствами;

• принцип справедливой уступки;

• приоритет важнейшего критерия;

• свертка критериев.

Литература

1. Меньков А.В., Острейковский В. А. Теоретические основы автоматизированного управления: Учебник для вузов М.: ОНИКС , 2005 . - 640с.

2. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. –М.: Физматлит, 2002.

Лекция 4. Задачи Принятия решений в условиях неопределнности

Рассматривается постановка ЗПР в условиях неопределенности. Основные понятия теории нечетких множеств. Описываются возможные способы использования теории нечетких множеств в задачах с неопределенными условиями. Приводятся примеры решения ЗПР в условиях неопределенности.

4.1. Схема оптимизационного исследования в условиях неопределенности

При проектировании различных технических объектов, проведении экономических исследований и расчетов, при управлении техническими и экономическими системами возникает проблема поиска наилучших в некотором смысле, т.е. оптимальных решений.

Многообразие, а часто и противоречивость различных требований к проектируемой системе или оптимизируемому объекту, неполнота информации, неточность используемых моделей неизбежно приводят к тому, что реальные задачи оптимизации приходится решать в условиях неопределенности.

При этом наиболее часто применяют два подхода.

1. В процессе принятия решения неопределенная ситуация тем или иным способом сводится к некоторой детерминированной, после чего можно однозначно выбрать окончательно, наиболее предпочтительное решение.

2. Эксперту (лицу, принимающему решение) предлагается множество неулучшаемых решений, из которого на основе своего опыта и профессиональных знаний он выбирает единственное.

В обоих случаях решение задачи можно найти, опираясь на численные методы и соответствующие программы для ЭВМ, что требует от специалистов как знаний в области математических моделей и методов оптимизации в условиях неопределенности, так и подготовки в области программного обеспечения задач моделирования и оптимизации.

В процессе оптимизационного исследования необходимо ответить на вопросы:

• каким требованиям должна удовлетворять исследуемая система;

• что оптимизировать;

• как математически сформулировать и решить задачу оптимизации с применением ЭВМ.

Формулирование и формализация задач оптимизации – довольно сложная и трудоемкая процедура, в реальных условиях осуществляемая, как правило, группой исследователей, в которую обычно входят эксперты, хорошо знающие исследуемый объект или систему, и математики, специализирующиеся в области исследования операций и вычислительных методов оптимизации.

В процедуре оптимизационного исследования можно условно выделить ряд этапов (рис. 9).

Обозначения к рис.9:

–независимые переменные;

–показатели;

y(x,z)– критерий оптимизации, в который входят неопределенные факторыz.

f(x)иg_j(x)– модели критерия и ограничений без неопределенных факторовz.

Рис. 9 Схема оптимизационного исследования

Рассмотрим кратко каждый из этапов.

1. Качественное описание задачи. На первом этапе задача оптимизации формулируется исследователем в наиболее общей, часто вербальной форме. При этом должны быть отобраны наиболее существенные переменные и показатели, достаточно полно характеризующие систему. Из-за многочисленности и разнообразия на этапе качественного описания обычно не удается формализовать задачу.

Для последующей математической постановки задачи показатели системы и переменные целесообразно разбить на три группы:

• независимые переменные , совокупность которых в количественном виде описывает результат решения задачи, т.е. искомый вариант проекта, плана или управляющего воздействия (целесообразно сначала определить именно эти переменные, ибо они задают форму представления конечного результата решения задачи оптимизации);

• критерий – основной показатель системы, подлежащий минимизации или максимизации в процессе поиска наилучшего решения (в многокритериальных задачах таких показателей может быть несколько);

• показатели , которые описывают различные стороны функционирования данного объекта и должны удовлетворять определенным ограничениям – требованиям, например вида

,

где ‑ заданные числа, определяющие допустимый диапазон вариации соответствующего показателя.

В простейших случаях определение переменных не вызывает затруднений.

Пример. Необходимо спроектировать прямоугольный короб максимального объема с заданной боковой поверхностью. Очевидно, что в этой задаче три независимые переменные– длина, ширина и высота короба, критерий оптимизацииy(x)– объем короба и имеется ограничение на боковую поверхность коробаv(x)в виде условия.

На практике определение переменных является далеко не тривиальной задачей.

2. Построение моделей объекта оптимизации. Очевидно, чтобы решить задачу, надо найти связь критерияyи показателейс независимыми переменнымив виде некоторых математических зависимостей,. Каких-либо единых рекомендаций по построению моделей дать невозможно, так как в каждом конкретном случае имеет место достаточно специфическая ситуация.

При нахождении математических зависимостей и связей между переменными необходимо использовать любую доступную информацию об объекте, имеющуюся, например, в виде фундаментальных физических законов, уравнений материального и энергетического баланса, феноменологических моделей.

При оптимизации действующих производственных объектов и технологических процессов широко используются так называемые модели «вход-выход», основанные на применении методов идентификации объектов по результатам экспериментов и испытаний.

Большое распространение в практике прикладных исследований получили экспериментально-статистические модели: регрессионные, факторные и корреляционные.

Независимо от способа получения моделей ,, все они являются лишь приближенным, упрощенным описанием исследуемой системы, так как на практике их приходится строить в условиях неопределенности и неполноты информации.

Неточность модели объекта в реальных условиях обусловлена целым рядом причин. Наиболее распространены следующие:

• показатели системы практически всегда зависят от большого числа различных факторов, причем часть из них может быть даже неизвестна исследователю. При построении модели обычно ограничиваются отбором наиболее существенных переменных, неизбежно не учитывая какие-то из них, что приводит к огрублению модели;

• при линеаризации характеристик и использовании разложений в ряды возникают методические погрешности;

• наличие ошибок измерений, искажающих результаты наблюдений, неизбежно приводит к неточности моделей «вход-выход», построенных по данным эксперимента.

Приведенные случаи не исчерпывают всех возможных причин неопределенности. Из-за искажения моделей вследствие неопределенных факторов исследователь вместо истинной зависимости показателей системы от независимых переменных получает обычно приближенное описание системы.

Для описания факторов неопределенности могут быть использованы различные модели.

Рис. 10. Формы описания неопределенности

Обозначения к рис. 10:

–плотность вероятности случайного фактора z;

‑статистическая оценка плотности вероятности;

–интервал возможных значений неопределенного фактора z;

–функция принадлежности фактора zнечеткому множествуA.

Стохастическое описаниеиспользуется, когда факторам неопределенностиможно приписать вероятностный случайный характер. Случайные факторыzполностью стохастически описаны, если задана их плотность вероятности. Наиболее исследован в литературе случай нормального (гауссова) распределения

,

которое полностью определяется вектором математического ожидания M(z)и ковариационной матрицейD(z).

Учитывая, что плотность вероятности является исчерпывающей характеристикой случайных величин, некоторые специалисты рассматривают такую ситуацию как детерминированную.

Статистическое описание. Эту форму применяют, когда модель объекта определяется по результатам выборочных экспериментов в условиях случайных помех и ошибок. Указанная форма тесно связана с предыдущей, но принципиально отличается от нее тем, что в условиях ограниченного эксперимента удается получить лишь выборочные оценки параметров плотности распределения или ее моментов. Следовательно, при статистическом описании факторов неопределенности вместо истинных моментовM(z)иD(z)получают лишь оценки, точность которых определяется планом эксперимента, числом опытов, дисперсией помехи, методом оценивания и т.п. Достоверность статистических выводов на основе полученных оценок существенно зависит от вида постулируемых законов распределения и довольно чувствительна к нарушению исходных допущений. Указанные обстоятельства приводят к ситуации статистической неопределенности при решении задач оптимизации.

Интервальное описание. Такое представление факторов неопределенности в последнее время привлекает все большее внимание исследователей как наименее ограничительное и отвечающее широкому классу практических задач. Во многих прикладных задачах часто нет оснований или недостаточно информации для того, чтобы рассматривать факторы неопределенности как случайные (например, когда нельзя предположить (даже гипотетически) возможность многократного проведения эксперимента на исследуемом объекте при неизменном действии неучтенных и неуправляемых факторов). Это приводит к необходимости учета неопределенности нестатистической (или в общем случае неизвестной) природы, когда относительно факторовzничего неизвестно, кроме их свойства быть ограниченными. В таких условиях наиболее общей и наиболее естественной моделью описания факторов является их представление в интервальной форме, когда задают диапазон возможных значений переменных или зависимостей, например в виде

,

где ‑ нижняя и верхняя границы неопределенногоj-го фактора (параметра). Приведенное неравенство означает, чтоz_jможет принимать любое значение из интервалаи ему нельзя приписать никакой вероятностной меры.

Нечеткое (размытое) описание. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели и требованиях к системе задается экспертом на естественном языке, а, следовательно, в достаточно «нечетких», с позиции математиков терминах типа «много больше десяти», «много меньше нуля», «около 100», «приблизительно между тремя и пятью» и т.п. Во всех этих случаях задается не точное значение параметра, а некоторое множество возможных его значений, характеризующихся той или иной степенью «уверенности» эксперта. Для описания факторов в данной ситуации используют теорию нечетких множеств, основной характеристикой которой является функция принадлежностипараметраz, удовлетворяющая условию

,

где А– известное множество.

Многообразие факторов неопределенности в реальных условиях приводит к тому, что построенные модели объекта или системы не являются детерминированными (точно известными) математическими зависимостями. Они включают неопределенные параметры z_j, описанные в той или иной форме, т.е. в результате идентификации исследователь имеет уравнения вида,, которые являются исходными при постановке задачи оптимизации.

3. Математическая постановка задачи. Итак, большинство практических задач оптимизации являются, по сути, задачами в условиях неопределенности.

Хотя на первый взгляд кажется, что наличие совокупности моделей и требований к оптимизируемой системе, полученных на первом и втором этапах оптимизационного исследования, позволяет математически строго записать задачу поиска оптимального решения (плана проекта) как условно-экстремальную задачу

(13)

при условиях

Несмотря на то, что критерий и ограничения– известные функции, задачу в виде (13) из-за того, что в эти уравнениях содержатся неопределенные параметрыz, нельзя решить на ЭВМ.

Для выхода из этой ситуации необходимо построить математическую модель задачи оптимизации, исключающую факторы неопределенности (путем их усреднения или расчета на гарантированный результат) по крайней мере, позволяющую корректно с математической точки зрения сравнивать между собой различные решения в условиях неопределенности. В обоих подходах в процессе принятия решения тем или иным способом сводят неопределенную ситуацию к некоторой детерминированной, при которой можно однозначно выбрать окончательное, наиболее предпочтительное решение.

При первом подходе, используя зависимости и, строят эквивалентные в некотором смысле модель критерия задачи и модель ограничений в виде функцийи, уже не зависящих от неопределенного фактораz.

В итоге приходят к детерминированному эквиваленту исходной задачи оптимизации (13) в условиях неопределенности:

(14)

при условиях

Задача (14) является детерминированной задачей математического программирования и может быть решена на ЭВМ с применением имеющихся пакетов прикладных программ.

В результате будет найдено оптимальное (в смысле постановки (14)) решение исходной задачи в условиях неопределенности.

При втором подходе математическая модель ограничений описывается также, как в постановке (14), однако модель критерия задается не функцией , а бинарными отношениями предпочтения () и неразличимости () допустимых решенийx_iиx_j.

При этом результат задачи представляется не единственным вектором (проектом, планом или управлением), а множеством X⁰эквивалентных векторов, которые «остаются после отбраковки» всех заведомо непригодных решений.

Выбор единственного решения из множеств X⁰проводится экспертом с учетом дополнительных требований и условий.

Учитывая, что для задачи (13) возможны различные математические постановки, она может быть названа порождающей задачей оптимизации.