6. Нелинейные электрические цепи

6.1. Основные понятия

Нелинейная электрическая цепь содержит элементы, значения параметров которых (R, L, C) зависят от величины напряжения, тока или напряжения. Нелинейные элементы имеют нелинейные вольт-амперные, вебер-амперные, кулон-вольтные характеристики (рис. 6.1).

Рис. 6.1

При расчете нелинейных цепей вместо закона Ома должна использоваться нелинейная зависимость тока от напряжения и нельзя использовать принцип наложения. Вводится понятие двух сопротивлений нелинейного элемента: статического и динамического (см. рис. 6.2).

Статическое сопротивление:

Динамическое сопротивление:

Рис. 6.2

Нелинейные электрические цепи описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных с использованием законов Кирхгофа. Общие решения таких систем уравнений отсутствуют. Многие из них аналитических решений не имеют и требуют построения специальных функций или применения численных методов.

Инженерная практика требует хотя бы ориентировочных подходов к решению задач нелинейных электрических цепей, дающих качественную оценку происходящих в них процессов.

Приближенные методы расчета нелинейных электрических цепей:

- метод малого параметра или условной минианизации основан на пренебрежении относительно малыми величинами, чтобы можно было применять методы расчета линейных цепей, при котором вводятся коррективы, учитывающие нелинейность;

- метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики, при котором характеристика аппроксимируется аналитической функцией, обеспечивающей достаточное простое решение нелинейного дифференциального уравнения;

- метод кусочно-линейной аппроксимации, при которой нелинейная характеристика представляется рядом отрезков прямых;

- графический метод, при котором система нелинейных дифференциальных уравнений сводится к системе нелинейных аналитических уравнений с целью получения решения с помощью графических построений;

- метод последовательных итераций, при котором дифференциальные уравнения заменяются аналитическими, содержащими приращение исследуемой величины в соответствующем интервале времени и решаемых в цикле до получения сходимости результатов расчета.

6.2. Нелинейные цепи постоянного тока

Иллюстрации применения графического метода решения задачи анализа цепи постоянного тока.

а. Метод эквивалентных преобразований, при котором несколько элементов заменяются общим.

Припоследовательном соединении элементов используется 2-й закон Кирхгофа.

U(I) = U₁(I) + U₂(I) =

= R_экв(I)  I =

= R₁(I)  I + R₂(I)I

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Суммарная вольт-амперная характеристика получается при суммировании отдельных вольт-амперных характеристик (см. рис. 6.4).

Построение позволяет также решать обратную задачу: определение падения напряжения на одном из элементов при заданном выходном напряжении и напряжении на других элементах.

При параллельном соединении элементов используется 1-й закон Кирхгофа:

I(U) = I₁(U) + I₂(U)

Рис. 6.5

Суммирование вольт-амперных характеристик I₁(U) и I₂(U) показано на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Если электрическая цепь состоит из сопротивлений, включенных последовательно и параллельно, то проводятся поочередные построения.

Б. Метод пересечения характеристик, с помощью которого реализуется графическое решение нелинейного уравнения, записанного на основе 2-го закона Кирхгофа.

Рис. 6.7

Для схемы рис. 6.7 записывается:

Е = R₁I₁ + U₂(I) или U₂(I) = E – R₁I.

Правая часть последнего уравнения эквивалентна уравнению внешней характеристики линейного источника ЭДС с учетом внутреннего сопротивления, каким является R₁. Точка пересечения кривых зависимостей левой и правой частей этого уравнения (см. рис. 6.8) определяет ток в цепи I₀ и падение напряжения на сопротивлении R₂, т.е. U₀.

Рис. 6.8

Метод позволяет проанализировать с большой наглядностью зависимость электрического режима цепи от параметров ее элементов.

В. Метод эквивалентного двухполюсника, который позволяет свести решение к методу пересечения характеристик. Этот метод иллюстрируется для схемы рис. 6.9,а.

Рис. 6.9

Разветвленная цепь схемы рис. 6.9,а, содержащая линейные элементы, представляется в виде эквивалентного источника ЭДС, которая характеризуется параметрами E_экв и R_экв (см. рис. 6.9,б). Для определения значений этих параметров составляется система уравнений для части цепи, в которую входят линейные элементы и напряжения U_аб – падение напряжения на нелинейном элементе. Для определения величин этих элементов записывается система уравнений:

E₁ = I₁R₁ + I₃R₃ + U_ав

E₂ = -I₂R₂ + I₃R₃ + U_ав

I₃ = I₁ + I₂

После исключения I₁ и I₂ система уравнений сводится к уравнению вида

U_аб = E_экв - R_экв I₃