2.2.6. Мощность цепи синусоидального тока

Рассматривается мощность реальной индуктивной катушки, сопротивление которой, кроме индуктивной, имеет и активную составляющую (см. рис. 2.21,а). Через нее протекает ток i = I_m sin t, а напряжение, подведенное к ней

u = U_m sin (t + ).

р = ui = U_mI_m sin(t + )  sint = U_mI_m[cos - cos(2t + )] =

= UI [cos - cos(2t + )].

Рис. 2.21

Как показано на рис. 2.21,б, в интервале времени 0 < t < t₁ мгновенные значения напряжения и тока имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна. При этом, когда ток увеличивается, энергия источника запасается магнитным полем и рассеивается в активном сопротивлении. Когда же ток уменьшается, энергия, запасенная в магнитном поле, уменьшается. Она и энергия от источника расходуются в активном сопротивлении. В интервале времени t₁ < t < ток и напряжение имеют разные направления, мгновенная мощность отрицательная. Значит, одна часть энергии от катушки передается источнику, а другая расходуется в ее активном сопротивлении. Во второй половине полупериода процессы повторяются только при обратном направлении тока.

Поскольку площадь на рис. 2.21,б, соответствующая положительной мощности больше площади, соответствующей отрицательной мощности, в цепи совершается работа. Свидетельством этого является отличная от нуля мощность, усредненная за период.

Наличие сомножителя cos говорит, что активная мощность, обусловленная наличием в катушке индуктивности активной составляющей R,

P = RI².

Индуктивная компонента сопротивления катушки обусловливает реактивную мощность:

Q_L = Х_LI² = IU sin.

Рассматривается случай, когда энергия источника запасается в электрическом поле при параллельном включении резистивного и емкостного элементов (рис. 2.22,а).

Рис. 2.22

Подается напряжение u = U_m sin t, ток в цепи до разветвления

i = I_m sin (t + ),

Мгновенная мощность:

р = ui = U_mI_m sint  sin(t + ) = UI [cos - cos(2t + )].

Как показано на рис. 2.22,б, энергия запасается электрическим полем емкостного элемента, когда напряжение увеличивается и высвобождается, когда напряжение уменьшается. Энергетические процессы в рассматриваемой цепи характеризуются обменом энергией между источником и электрическим полем, который сопровождается выделением энергии в резистивном элементе. Таким образом, имеется полная аналогия с процессами, которые происходят в реальной индуктивной катушке и они определяются активной и реактивной мощностями.

P = IUcos, Q_C = IUsin.

Отличие заключается в том, что в цепи с индуктивным элементом угол  - положителен, а в цепи с емкостным элементом – отрицательный. Поэтому реактивная мощность цепи с индуктивным элементом – положительная, а с емкостным элементом – отрицательная.

Активную и реактивную мощности можно представить как составляющие полной мощности. Если использовать векторные представления, то их связь отражается треугольником мощности, вид которого для случая  > 0 и  < 0 приведен на рис. 2.23.

Рис. 2.23

Р = Scos, Q = Ssin.

После подстановки соотношений, связывающих значения активной и реактивной мощностей с величинами действующих значений тока и напряжения, получается:

S = UI.

Единицей полной мощности является вольт-ампер (ВА).

Активную, реактивную и полную мощности можно определить при использовании комплексных представлений напряжения и тока.

где - комплексно-сопряженная величина тока . Так как

и ,

Критерием правильности решения задачи расчета цепи переменного тока, как и в случае постоянного тока, является выполнение баланса мощности. Но в отличие от цепи постоянного тока, для цепей переменного тока баланс мощности должен выполняться как для активной мощности, так и для реактивной. Активная мощность источника:

P_i = P_n,

Реактивная мощность источника:

Q_i = Q_n,

где P_n и Q_n – алгебраические суммы активных и реактивных мощностей всех потребителей электрической цепи.

Реактивная мощность не совершает полезной работы. При ее передаче по проводам она обусловливает их нагрев, потери и перенапряжение.

Пример. Определить параметры индуктивной катушки по показаниям приборов схемы рис. 2.24. Ваттметр измеряет активную мощность Р = 500 Вт, I = 5 A, U = 400 B, f = 50 Гц.

Рис. 2.24

Активное сопротивление катушки:

Полное сопротивление катушки:

Индуктивное сопротивление катушки:

Индуктивность катушки: