Задача 3 Баланс моста синусоидального тока

Подход при анализе мостовой схемы, приведенной на рис. 2.27, такой же, как и в случае моста при постоянном токе.

Условие баланса моста

Z₁Z₄ = Z₂Z₃.

Комплексные сопротивления представляются в показательной форме:

Z₁ = Z₁e^j1, Z₂ = Z₂e^j2,

Z₃ = Z₃e^j3, Z₄ = Z₄e^j4.

Рис. 2.27

После подстановки получается:

Z₁Z₄ = Z₂Z₃, ₁ + ₄ = ₂ + ₃.

Для обеспечения баланса моста синусоидального тока должно выполняться два условия: для модулей сопротивления ветвей и для углов фазового сдвига в ветвях. В частности, из последнего условия следует, что если вторая и третья ветви состоят из активных элементов, а первая и четвертая включают реактивные, то баланс моста может быть достигнут, если в одной из двух последних ветвей будет стоять индуктивный элемент, а в другой – емкостной.

С помощью такого состава схемы моста можно определить индуктивность индуктивного элемента. Для этой цели индуктивный элемент вводится в четвертую ветвь моста, а в первую – градуированный конденсатор с изменяющейся емкостью. Сопротивления активных элементов известны. Изменением емкости конденсатора достигается баланс моста, т.е. выполнение соотношения

Градуировка конденсатора позволяет определить его сопротивление при балансе моста, что затем дает возможность рассчитать сопротивление индуктивного элемента и его индуктивность при известной частоте синусоидального тока.

Аналогичным образом может быть определена емкость конденсатора. В этом случае конденсатор с неизвестной емкостью вводится во вторую или третью ветвь моста вместо активного элемента, который вводится в четвертую ветвь.

Задача 4 Делитель напряжения в цепи синусоидального тока

Схема делителя напряжения приведена на рис. 2.28. Значения ее элементов: R₁ = R₂ = 50 Ом Х_L1 = X_L2 = 100 Ом X_C = 150 Ом

Мгновенное напряжение на входе делителя

u₁ = 100sin(ωt + 40⁰) B.

Определить мгновенное напряжение u₂ на выходе делителя.

Рис. 2.28

Амплитудное значение тока делителя:

где

Амплитудное значение напряжения на выходе делителя:

U_2m = I_mZ₂, где .

U_2m = 0,894=63,2 В.

Значения фазовых сдвигов между напряжениями и током делителя определяются из построения треугольников сопротивления Z₁ и Z₂, представленных на рис. 2.29.

Фазовый сдвиг между током делителя и напряжением на его входе (рис. 2.29,а):

φ₁ ≈ 27⁰.

Ток I отстает от напряжения U₁ по фазе на угол 27⁰. Поэтому, если начальная фаза выходного напряжения равна 40⁰, то начальная фаза тока равна 40⁰ – 27⁰ = 13⁰. Следовательно, мгновенное значение тока: i = 0,894 sin(ωt + 13⁰).

Рис. 2.29

Фазовый сдвиг между током делителя и напряжением на его выходе (рис. 2.29,б):

φ₂ = -45⁰.

Напряжение U₂ отстает от тока I по фазе на угол 45⁰. Следовательно, напряжение U₂ отстает от напряжения U₁ по фазе на угол 27⁰+45⁰ = 72⁰.

Мгновенное значение напряжения на выходе делителя:

u₂ = 63,2 sin(ωt - 32⁰) В.

2.4. Частотные свойства цепей синусоидального тока

Значения параметров электрических цепей синусоидального тока зависят от частоты. Это обусловлено зависимостью сопротивлений реактивных элементов от частоты:

X_L = L и Х_С = .

Случай последовательного соединения R, L, С:

В связи с тем, что индуктивное сопротивление увеличивается с увеличением частоты, а емкостное уменьшается, существует частота, называемая резонансной, при которой X_L = Х_С, а сопротивление цепи является чисто активным. Резонансная частота:

Реактивное сопротивление цепи на частотах, меньших резонансной имеет емкостной характер, на частотах, больших резонансной, имеет индуктивный характер, что иллюстрируется рис. 2.30.

Рис. 2.30

Зависимости Z(), I() и (), приведенные на рис. 2.31, называются частотными характеристиками. На резонансной частоте полное сопротивление цепи минимально, а ток максимален. Угол фазового сдвига на частотах, меньших резонансной, отрицательный, на частотах, больших резонансной – положительный.

Рис. 2.31

Отношение напряжения на одном из реактивных элементов цепи к входному напряжению на резонансной частоте называют добротностью. Она отражает долю энергии, которая запасается реактивным элементом.

Q= _p = _p = .

С учетом введенного параметра:

.

Поскольку

,

.

Из последнего соотношения следует, что с увеличением добротности увеличивается острота резонанса, а, следовательно, увеличивается избирательность LC-контура.

Q^’ > Q^’’.

Рис. 2.32

Случай параллельного соединения реактивных элементов

Рис. 2.33

Частотные свойства цепи рис. 2.33 определяются при анализе частотной зависимости ее реактивной проводимости.

в() = в₂() + в_с() = -

Из условия резонанса в = 0 определяется резонансная частота цепи.

;

R₁² + (_p L)² = + R₂(_p C)². R₁² - =_p² .

_p = =.

При R₁ << и R₂ <<

_p =

При резонансе проводимость цепи - чисто активная, а ее величина - минимальна. Следовательно, ток при резонансе – минимален.