4.3. Переходные процессы в индуктивной катушке с источником постоянного напряжения
4.3.1. Замыкание ключа
Рассматривается схема рис. 4.9, где индуктивная катушка представляется в виде последовательно включенных L и R-элементов.
Рис. 4.9
Согласно 2-му закону Кирхгофа:
uL + uR = U.
В свободном режиме величина тока определяется уравнением
Его решение
iсв = Аe-t/τ,
где
–
постоянная переходного процесса.
В установившемся
режиме величина тока iу
= I
=
.
Следовательно, ток переходного процесса при замыкании ключа в схеме рис. 4.9:
i
=
+ Аe-t/τ
.
Согласно первому закону коммутации ток в нулевой момент времени после замыкания ключа К:
i(0) = 0,
что дает возможность определить постоянную А.
+ A = 0
A = -
Таким образом, ток в схеме рис. 4.9 после замыкания ключа К
i
=
(1
- e-t/τ)
Падение напряжения на элементах схемы рис. 4.9:
uR = Ri = U (1 - e-t/τ).
На рис. 4.10 представлены временные зависимости тока и падения напряжения на элементах схемы рис. 4.9 после замыкания ключа К.
Рис. 4.10
Как видно, чем меньше R, тем больше значение предельного тока, что объясняется большим уровнем энергии, накапливаемой в катушке.
В первый момент после замыкания ключа на индуктивном элементе скачком возникает напряжение величиной U, после чего происходит его уменьшение по экспоненте.
4.3.2. Размыкание ключа
Рассматривается схема рис. 4.11, где индуктивная катушка представлена в виде последовательно включенных L и Rк-элементов. При коммутации ключом К отключается источник напряжения U и подключается резистор R.
Рис. 4.11
При подключении резистора R в соответствии со 2-м законом Кирхгофа величина тока в контуре, в котором элементы L и Rк и R включены последовательно.
Откуда величина тока
i
= Ае-t/τ
= А
.
Если считать, что до коммутации ток i = I0, то постоянная А
А = I0.
Таким образом, временная зависимость тока в цепи рис. 4.11 после переключения ключа К определяется как:
i
=
I0
.
В момент коммутации ток величиной U/Rк, ранее протекавший через катушку индуктивности, будет протекать через резистор R. Поэтому напряжение, приложенное к этому резистору:
UR
= R
I0
= U
.
Откуда следует, что при отсутствии резистора R в цепи рис. 4.11 (т.е. R = ) отключение катушки будет сопровождаться возникновением дуги между контактами ключа. Чем меньше R, тем меньше напряжение между контактами при отключении катушки от источника напряжения U, а, следовательно, и на катушке.
4.4. Операторный метод
4.4.1. Основы применения операторного метода
Идея метода заключается в том, что из области функций действительного переменного «t» решение уравнения, отражающего величины тока или напряжения, переводится в область комплексного переменного p = c + j, где вместо интегро-дифференциальных уравнений используются алгебраические уравнения. Идея реализуется, если функция f(t), называемая оригиналом, является однозначной, удовлетворяющей условию Дирихле и равна «0» при t < 0. Кроме того, при t > 0 функция f(t) не должна возрастать быстрее показательной функции ept. Тогда этой функции сопоставляется функция F(p), которая называется изображением.
Для перевода функции f(t) в ее изображение используется преобразование Лапласа:
Таким образом, система интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений. Полученный результат решения с функцией F(p) затем переводится обратно в область функции f(t) с помощью обратного преобразования Лапласа. При этом необходимость вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям отпадает, т.к. все начальные условия учитываются при переводе интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений.
Обозначения: прямое преобразование Лапласа
{f(t)},
обратное преобразование Лапласа
{f(t)}.
Изображение функций
а) постоянная «А»:
б) показательная функция eαt:
Если α = jω,
Пример: изображение комплекса переменного тока
в) первая производная:
(при интегрировании по частям: e-pt = u, d[f(t)] = dU
)
Пример: изображение напряжения на индуктивности:
.
.
.
Если при t = 0 i(0) = 0, то
г) изображение интеграла:
(при интегрировании
по частям
).
При подстановке верхнего предела в первом слагаемом получается нуль, поскольку увеличение функции f(t) при увеличении t происходит медленнее, чем ept.
Пример: изображение напряжения на конденсаторе:
Обратное преобразование.
Если изображение имеет вид рациональной дроби
при m
< n
и F1(p) и F2(p) не имеют общих корней, а an и вm – действительные числа, то оригинал:
где pк – корни характеристического уравнения F2(p) = 0,
Если в изображении
знаменатель дроби имеет один нулевой
корень, т.е.
,
то оригинал:
