1.3. Примеры расчета электрической цепи постоянного тока

Второй закон Кирхгофа применим в том случае, когда часть контура проходит по стрелке, указывающей положительное направление напряжения между двумя точками схемы (от точки с положительным потенциалом к точке с отрицательным потенциалом). Тогда уравнение по этому закону Кирхгофа используется в виде:

(1.5)

где р – число участков контура со стрелками, указывающими направление напряжения.

Данный случай иллюстрируется решением следующей задачи. Определить величины тока I₃ и напряжения между точками d и в в приведенной на рис. 1.2 схеме при замкнутом выключателе К.

Параметры элементов схемы:

Е₁ = 100 В, Е₂ = 50 В,

U₁ = 120 В, U₂ = 80 B,

r₀₁ = r₀₂ = 1 Ом,

R₁ = 9 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 15 Ом.

Значения токов:

I₁ = 2 A, I₂ = 1 A.

Рис. 1.2

Согласно уравнению (1.5) для внешнего контура авcd (с учетом выбранных направлений тока и обхода):

Е₁ – Е₂ = I₁(R₁ + 2 r₀₁) – I₂(R₂ + 2 r₀₂) + I₃R₃ - U₁ + U₂.

Откуда следует: I₃ = 5 А.

Согласно уравнению (1.5) для контура вcd:

– Е₂ = -I₂(R₂ + r₀₂) + U₂ + U_dв.

Откуда напряжение U_dв = -125 В.

Знак минус указывает, что выбранное направление стрелки U_dв должно быть изменено на противоположное, т.е. потенциал точки «в» больше потенциала точки «d».

Уравнение (1.5) можно использовать для получения формулы обобщенного закона Ома (для участка цепи с ЭДС). Согласно второму закону Кирхгофа для контура, представленного на рис. 1.3

Е₁ – Е₂ = R I - U_ав,

откуда

Рис. 1.3

1.4. Эквивалентное преобразование пассивных участков электрической цепи

Последовательным называется соединение, при котором в каждом из элементов протекает один и тот же ток. При таком соединении n пассивных элементов можно заменить на один им эквивалентный (см. рис. 1.4). Через эквивалентный элемент и через последовательное соединение n-элементов при одинаковом приложенном напряжении протекает одинаковый ток.

Согласно второму закону Кирхгофа:

U = I R_экв

Рис. 1.4

Последовательное соединение приемников используется, когда напряжение, на которое они рассчитаны, меньше напряжения источника энергии. Недостатком такого соединения является то, что напряжение на каждом из приемников зависит от сопротивления других.

Параллельным называется соединение, при котором все пассивные элементы присоединяются к одной паре узлов, т.е. к каждому из них приложено одно и то же напряжение. Параллельные соединения n-элементов можно заменить одним эквивалентным (см. рис. 1.5).

Согласно первому закону Кирхгофа:

Рис. 1.5

При параллельном соединении двух резистивных элементов с сопротивлениями R₁ и R₂:

Величина эквивалентного сопротивления меньше сопротивления резистивного элемента, имеющего наименьшую величину этого параметра. Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение во всех приемниках. Оно является делителем тока. При двух параллельно включенных элементах:

Д

Если R_нR₂, можно считать ток, протекающий через резисторы R₁ и R₂, один и тот же. Тогда:

U₁ = I (R₁ + R₂), U₂ = I R₂,

елителем напряжения является последовательное включение двух резисторов:

Рис. 1.6

Схемы регулирования напряжения и тока с помощью реостата

а б

Рис. 1.7. Реостат используется как делитель напряжения (а).

Реостат используется как делитель тока (б)

Полученные выше соотношения можно использовать для оценки величин сопротивления амперметра и вольтметра. Действительно, при измерении параметров электрической цепи должно быть минимальным изменение режима цепи, обусловленное введением в ее состав измерительных приборов. Поскольку амперметр включается последовательно с элементами ветви, ток, который измеряется, сопротивление прибора должно быть много меньше суммарного сопротивления элементов ветви. Поскольку вольтметр включается параллельно элементу, напряжение которого измеряется, сопротивление прибора должно быть много больше сопротивления этого элемента.

На базе полученных выше соотношений можно записать условие баланса моста постоянного тока, схема которого приведена на рис. 1.8.

При балансе моста потенциалы в точках «в» и «d» схемы одинаковы. Ток I₁ протекает по резисторам R₁ и R₃, ток I₂ – по резисторам R₂ и R₄. Напряжения на резисторах R₁ и R₂ одинаковы.

I₁ R₁ = I₂ R₂.

Также одинаковы напряжения на резисторах R₃ и R₄

I₁ R₃ = I₂ R₄.

Рис. 1.8

Почленное деление этих соотношений дает:

или

С помощью мостовой схемы проводят измерения сопротивления резистора.

Резистор R₁ представляет собой каллиброванный реостат, а отношение сопротивлений резисторов R₃ и R₄ известны. R₂ – резистор, сопротивление которого подлежит измерению. Регулировкой сопротивления резистора R₁ добиваются баланса моста. По величине сопротивления резистора R₁, при котором устанавливается баланс, определяется величина сопротивления резистора R₂.

Рис. 1.9

Эквивалентное преобразование «треугольника» в «звезду» (см. рис.1.10).

Рис. 1.10

Эти схемы являются эквивалентными, если величины токов, втекающие в точки «а», «в», «с» каждой схемы, будут одни и те же. Если это условие эквивалентности схем выполняется, то при обрыве провода, подходящего, например, к точке «а», напряжение между точками «в» и «с» в обеих схемах будут одинаковы, т.е.:

При обрыве провода в точке «в»:

При обрыве провода в точке «с»:

Откуда:

При расчете цепи с одним источником энергии в ряде случаев нет необходимости составлять систему уравнений по законам Кирхгофа и решать ее, а можно использовать метод эквивалентных преобразований. Суть такого подхода рассматривается на примере схемы рис. 1.11,а.

Рис. 1.11

R₁ = 8 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 1 Ом;

R₄ = 4 Ом; R₅ = 12 Ом; Е = 100 В.

Необходимо отдельные участки цепи с последовательным и параллельным элементами заменить одним эквивалентным элементом.

Так, параллельно соединенные резисторы R₄ и R₅ заменяют на эквивалентный резистор R₄₅ (см. рис. 1.11,б), величина которого

В точках «ав» преобразованной схемы рис. 1.11,б соединяются две параллельные ветви, одна из которых содержит резистор R₂, а другая – два резистора R₃ и R₄₅, выполненные последовательно. Поэтому сопротивление между этими точками:

По включенным последовательно резисторам R₁ и R_ав схемы рис. 1.11,в протекает ток I₁:

Напряжение между точками «ав»:

U_ав = Е – IR₁ = 20 В.

Поэтому токи в ветвях схемы рис. 1.11,б:

I₃ = I – I₂ = 5 A.

Резисторы R₄ и R₅ схемы рис. 1.11,а – делители тока I₃. Следовательно: