1.4. Методы расчета электрических цепей с несколькими источниками энергии

Из множества методов расчета электрических цепей с несколькими источниками энергии ниже рассматривается два: метод наложения и метод узловых потенциалов.

Основой метода наложения является принцип суперпозиции, отражающий независимость действия возбуждающих сил в линейных системах. В соответствии с этим принципом, если в системе действуют несколько возбуждающих сил, то каждая из них действует независимо от других и сумма результатов каждой из этих сил дает суммарный эффект.

Использование метода наложения позволяет расчет цепи с несколькими источниками энергии свести к расчету нескольких цепей с одним источником, которые будем называть частными. Число частных схем равно числу источников в исходной цепи. При этом в каждой частной схеме необходимо учитывать наличие внутренних сопротивлений всех источников исходной цепи.

Наличие одного источника энергии в частной схеме позволяет определить направление парциальных токов, протекающих в ветвях каждой такой схемы, а затем рассчитать их величины с использованием формулы преобразования цепи. При алгебраическом суммировании парциальных токов всех частных схем определяются токи в ветвях исходной цепи с несколькими источниками энергии.

Применение метода наложения иллюстрируется на конкретном примере цепи (рис. 1.12,а), в которой три источника ЭДС и пять ветвей.

Рис. 1.12

Исходные данные:

R₁ = 5 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 10 Ом; R₄ = 20 Ом; R₅ = 5 Ом; Е₁ = 70 В;

Е₂ = 95 В; Е₃ = 15 В.

В составленных трех частных схемах указаны направления парциальных токов (рис. 1.12, б,в.г). Результаты проведенного расчета этих токов следующие:

I₁^’ = 4,96 A; I₂^’ = 3,02 A;

I₃^’ = 0,65 A; I₄^’ = 1,94 A; I₅^’ = 1,29 A;

I₁^’’ = 4,09 A; I₂^’’ = 4,97 A;

I₃^’’ = 0,29 A; I₄^’’ = 0,88 A; I₅^’’ = 0,59 A;

I₁^’’’ = 0,14 A; I₂^’’’ = 0,04 A;

I₃^’’’ = 1,06 A; I₄^’’’ = 0,18 A; I₅^’’’ = 0,88 A.

С учетом направления парциальных токов значения токов в исходной цепи равны:

I₁ = I₁^’- I₁^’’+ I₁^’’’ = 1,01 A

I₂ = -I₂^’’+ I₂^’’+ I₂^’’’ = 1,99 A

I₃ = I₃^’+ I₃^’’+ I₃^’’’ = 2 A

I₄ = I₄^’+ I₄^’’+ I₄^’’’ = 3 A

I₅ = I₅^’+ I₅^’’- I₅^’’’ = 1 A.

Непосредственное применение метода наложения при расчете электрической цепи с большим числом источников энергии вряд ли целесообразно. Но в ряде случаев его использование весьма эффективно. Например, в случае, когда известно состояние цепи и требуется определение значений токов при изменении ЭДС одного из источников. Для решения такой задачи следует лишь определить парциальные токи при действии источника с ЭДС, величина которого равна

Е = Е^’ – Е,

где Е^’ и Е – значения ЭДС после и до изменения, а затем токи, как алгебраические суммы токов в ветвях до изменения ЭДС источника и при ЭДС источника равной Е.

Метод узловых потенциалов используется в том случае, если в электрической цепи имеется ряд узлов, связанных между собой параллельными ветвями, состоящими из активных и пассивных элементов. На базе схемы такой цепи с тремя узлами (рис. 1.13) иллюстрируется применение этого метода.

Для расчета рассматриваемой схемы вводятся разности потенциалов ₁ и ₂ между узлами «1» и «3», а также между узлами «2» и «3», соответственно. Заземление узла «3» не изменяет условия протекания токов в цепи, поскольку они зависят от разности потенциалов ₁ и ₂.

Рис. 1.13

Согласно первому закону Кирхгофа для узлов «1» и «2»:

I₁ = I₄ - I₅ – I₆ = 0,

I₂ – I₃ + I₅ + I₆ = 0.

Токи определяются по второму закону Кирхгофа для контуров, каждый из которых состоит из ветви протекания соответствующего тока и стрелки разности потенциалов между узлами (с помощью обобщенного закона Ома).

I₆ = (₁ - ₂) g₆ I₁ = (-₁ + E₁) g₁ I₄ = -₁ g₄

I₅ = (₁ - ₂ + E₅) g₅ I₂ = (-₂ + E₂) g₂ I₃ = (₂ + E₃) g₃

g₁, g₂, g₃, g₄, g₅ и g₆ – проводимости соответствующих сопротивлений схемы.

После подстановки получается:

₁ (g₁ + g₄ + g₅ + g₆) -₂ (g₅ + g₆) = Е₁ g₁ – Е₅ g₅

₂ (g₂ + g₃ + g₅ + g₆) -₁ (g₅ + g₆) = Е₂ g₂ + Е₅ g₅ – Е₃ g₃

или

g₁₁ ₁ - g₁₂ ₂ = ,

-g₂₁ ₁ – g₂₂ ₂ = ,

где g₁₁ – сумма проводимостей в ветвях, подключаемых к узлу «1»; g₂₂ – сумма проводимостей, подключаемых к узлу «2». g₁₂ = g₂₁ - сумма проводимостей в ветвях, соединяющих эти узлы.

Правая часть этих уравнений равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенных к соответствующему узлу. Произведение Еg записывается со знаком «плюс», если ЭДС направлена к узлу, и со знаком «минус», если ЭДС направлена от узла.

Полученная система уравнений позволяет определить значения узловых потенциалов ₁ и ₂, которые затем используются для расчета токов.

Если схема имеет в своем составе N узлов, для ее расчета записывается N-1 уравнений вида:

где g_рр (с двумя одинаковыми индексами) – суммарная проводимость ветвей, присоединенных к узлу «р»; g_jр = g_рj (с двумя различными индексами) – сумма проводимости ветвей между узлами «р» и «j». Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, присоединенных к узлу «р».

Для расчета цепи, имеющей два узла (рис. 1.14), используется формула, определяющая межузловой потенциал, обозначаемый как U_ав. Она получается с учетом того, что _р = U_ав, а другие _j = 0.

U_ав = .

Произведение Е_j g_j берется со знаком «плюс», если направления ЭДС и межузлового потенциала противоположны, и со знаком «минус», если направления совпадают.

Рис. 1.14

Пример: Е₁ = 100 В; Е₂ = 50 В; g₁ = 0,1 См; g₂ = 0,05 См; g₃ = 0,1 См.

I₁ = (Е₁ - U_ав) g₁ = 7 А. I₂ = (Е₂ + U_ав) g₂ = 4 А.

I₃ = U_ав g₃ = 3 А.