2.2.3. Цепь с с-элементом

Необходимо определить ток, протекающий через С-элемент при подведении к нему переменного напряжения.

u = U_m sin (t + _i).

Протекающий через С-элемент ток смещения обусловлен изменением заряда на его обмотках Q.

При синусоидальном напряжении ток емкостного элемента также синусоидальный, с той же частотой . Ток опережает напряжение на четверть периода

_i = _u + .

Рис. 2.10

Амплитудные значения тока и напряжения связаны законом Ома:

U_m = I_m,

где Х_С = 1/С – емкостное сопротивление.

Переход к комплексной форме дает:

Комплексное сопротивление емкостного элемента является мнимым отрицательным числом с модулем, равным Х_С. По фазе напряжение отстает от тока на . На векторной диаграмме это отражено тем, что вектор напряжения по часовой стрелке сдвинут относительно вектора тока на угол 90⁰ (см. рис. 2.11).

Мгновенная мощность емкостного элемента:

р = ui = U_mI_m sint  cost =

=sin2t = IUsin2t.

Рис. 2.11

Как и в случае индуктивного элемента, для емкостного элемента активная мощность Р равна нулю.

Рис. 2.12

Емкостной элемент потребляет энергию от источника, но в отличие от индуктивного элемента, в нем энергия запасается в электрическом поле. В первой четверти периода происходит потребление энергии, поскольку направления тока и напряжения одинаковы, а напряжение увеличивается, что отражено на рис. 2.12. В этой четверти полупериода мгновенная мощность – положительная. Во второй четверти запасенная энергия отдается емкостным элементом, поскольку направления тока и напряжения противоположны, а напряжение уменьшается. Мгновенная мощность отрицательная. Во второй половине периода процессы повторяются, но при отрицательных напряжениях.

Следовательно, и в цепи с емкостным элементом работа не совершается, а происходит периодический обмен энергией между источником и электрическим полем в этом элементе. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью емкостного элемента:

Q_С = UI = X_СI².

2.2.4. Последовательные соединения rlc–элементов в цепи синусоидального тока

Необходимо определить напряжение в цепи, в которой последовательно соединены R, L и С-элементы (см. рис. 2.13), при протекании в ней тока.

i = I_m sin (t + _i).

Рис. 2.13

Уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжения записывается в виде:

u = u_R + u_L + u_C.

С учетом соотношений, определяющих падение напряжений на элементах цепи, это уравнение переписывается как:

При синусоидальном токе в цепи уравнение по второму закону Кирхгофа может быть записано в комплексном виде:

Такая запись уравнения позволяет провести анализ цепи, результаты которого для большей наглядности можно представить на векторной диаграмме.

Согласно закону Ома в комплексной форме падение напряжения на каждом элементе:

Тогда

= (R + jX_L – jX_C) I = Z,

где Z – эквивалентное комплексное сопротивление цепи из последовательно соединенных R,L,C-элементов.

Z = R + j(X_L – X_C).

Как видно, комплексное сопротивление имеет действительную и мнимую части.

Z = R + jX, Х = X_L – X_C.

На комплексной плоскости комплексное сопротивление цепи из последовательно соединенных R,L,C-элементов представляется треугольником сопротивлений, показанном на рис. 2.14. Откуда

tg  = ,R = Z cos, X = Z sin.

При представлении закона Ома в комплексной форме, если

и

Рис. 2.14

,

_u - _i =  = arctg ,

 - фазовый сдвиг между напряжением и током, который отражается на векторных диаграммах, приведенных на рис. 2.15.

Рис. 2.15

Из анализа векторных диаграмм, построенных для трех случаев, следует:

- если U_L > U_C, т.е. Х_L > Х_C, фазовый сдвиг положителен, направление по фазе опережает ток, цепь имеет активно-индуктивный характер;

- если U_L < U_C, т.е. Х_L < Х_C, фазовый сдвиг отрицателен, направление по фазе отстает от тока, цепь имеет активно-емкостной характер;

- если U_L = U_C, т.е. Х_L = Х_C, реактивное сопротивление цепи равно нулю, напряжение по фазе совпадает с током. Такой режим цепи называется резонансом напряжения. Для него справедливо соотношение:

При резонансе падения напряжения на индуктивном и емкостном элементах компенсируют друг друга. Поэтому напряжение на выходе цепи напряжение равно напряжению на резистивном элементе.

При последовательном соединении R,L,C-элементов могут создаваться условия, когда на реактивных элементах напряжение может существенно превышать напряжение на входе цепи.

Пример. Определить показания вольтметра, измеряющего напряжение на емкости в цепи, схема которой приведена на рис. 2.16 . Вольтметр фиксирует действующие значения напряжения.

U = 220 B, f = 50 Гц, L = 67 mГн,

С = 106 mкФ, R = 20 Ом.

Рис. 2.16

Сопротивления реактивных элементов:

X_L = L = 2fL = 23,14506710^-3 = 21 Ом

Модуль сопротивления цепи:

Ток в цепи:

Напряжение на емкости:

U_C = IX_C = 1030 = 300 B.

Из векторных диаграмм рис. 2.15 следует, что

где и- активная и реактивная составляющие напряжения. Сформированный векторамитреугольник называется треугольником напряжений. Он идентичен треугольнику сопротивлений.