2.5. Четырехполюсники

При расчете электрических цепей, в том числе и синусоидального тока, в ряде случаев требуется определение токов только нескольких ветвей или напряжений между некоторыми узлами. Если эти ветви можно представить как одна пара входных для участка цепи, а другую как пару для выходных, то для решения таких задач целесообразно использовать теорию четырехполюсников.

Условное обозначение четырехполюсника представлено на рис. 2.34, на котором показаны возможные направления токов. При этом:

₁^’, ₂^’.

Рис. 2.34

Четырехполюсники делятся на пассивные и активные. Активным является четырехполюсник, в состав которого входят источники энергии. Четырехполюсники могут быть симметричными и несимметричными в зависимости от того изменяются или нет токи и напряжения при перемене местами входных и выходных клемм. Четырехполюсник является обратимым, если выполняется принцип взаимности, т.е. отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какая из двух пар клемм является входной, а какая выходной. Симметричный четырехполюсник всегда обратим.

Зависимости между входными и выходными токами и напряжениями могут быть записаны в виде системы двух уравнений шести различных форм. Форма выбирается в зависимости от того, какие два из этих параметров являются задаваемыми, а какие подлежат определению. Задаваемые параметры находятся в правой части этих уравнений.

Если задаваемыми являются входное и выходное напряжения, система уравнений записывается в Y-форме:

где все коэффициенты имеют размерность проводимости.

Y

- входная проводимость четырехполюсника при коротком замыкании на выходе (клемм «2»);

₁₁ =

Y

- выходная проводимость четырехполюсника со стороны клемм «2» при коротком замыкании клемм «2» на его выходе;

₂₂ = -

- передаточная проводимость при коротком замыкании клемм «2»;

Y₂₁ = - пер

Y

- передаточная проводимость при коротком замыкании клемм «1».

₁₂ =

Для обратного четырехполюсника:

Y₂₁ = Y₁₂.

Для симметричного четырехполюсника:

Y₁₁ = Y₂₂.

Если задаваемыми являются входной и выходной ток, система уравнений записывается в Z-форме:

где все коэффициенты имеют размерность сопротивления.

Если задаваемыми являются выходные ток и напряжение, система уравнений записывается в А-форме:

где коэффициенты А₁₁ и А₂₂ не имеют размерности, А₁₂ имеет размерность сопротивления, а А₂₁ – размерность проводимости.

Если задаваемыми являются входной ток и выходное напряжение, система уравнений записывается в Н-форме:

где коэффициенты Н₁₂ и Н₂₁ не имеют размерности, Н₁₂ имеет размерность сопротивления, а Н₂₁ – размерность проводимости.

Уравнения могут быть представлены в матричном виде. Например, для уравнений в Y-форме:

где - квадратичная матрица коэффициентов.

Коэффициенты одной формы уравнений могут быть выражены через коэффициенты любой другой формы уравнений. Для примера рассматривается связь коэффициентов уравнений А-формы и коэффициентами уравнений Y-формы.

Система уравнений Y-формы после изменения направления тока I₂ имеет вид:

После разрешения относительно и:

Откуда:

А₁₁ = - А₁₂ =

А₂₁ = -А₂₂ = -.

Полученные соотношения позволяют выразить условие обратимости четырехполюсника через коэффициенты «А».

А₁₁ А₂₁ - А₁₂ А₂₁ =

Если известна величина сопротивления нагрузки на выходе четырехполюсника, с использованием уравнений А-формы можно получить соотношение, определяющее его входное сопротивление (см. рис. 2.35).

Рис. 2.35

Действительно, согласно закону Ома

Z_н =

Тогда входное сопротивление четырехполюсника:

Z_вх =

Также можно получить соотношения для коэффициентов передачи четырехполюсника по напряжению и по току. Коэффициент передачи по напряжению определяется как отношение выходного напряжения к входному.

Коэффициент передачи по току определяется как отношение выходного тока к входному:

В ряде случаев электрическую цепь, которую можно представить в виде четырехполюсника, состоящего, в свою очередь, из ряда соединенных между собой четырехполюсников с известными значениями коэффициентов их системы уравнений Тогда могут быть определены значения коэффициентов системы уравнений четырехполюсника, в состав которого они входят.

Рис. 2.36

Пусть четырехполюсник, как показано на рис. 2.36, состоит из двух включенных друг за другом (каскадно) четырехполюсников, для которых известны матрицы коэффициентов «А». С учетом обозначений на рис.2.36:

Поскольку и

Тогда матрица передачи четырехполюсника, состоящего из двух каскадно включенных четырехполюсников:

Нетрудно показать, что при каскадном соединении n-четырехполюсников:

Пусть четырехполюсник состоит из двух четырехполюсников, соединенных, как показано на рис. 2.37. Для каждого из них известны матрицы коэффициентов Z. С учетом, что при таком соединении

и ,

а также и, получается

Рис. 2.37

Таким образом, матрица четырехполюсника, состоящего из двух, включенных по схеме рис. 2.37:

= +

Пусть четырехполюсник, как показано на рис. 2.38, состоит из двух параллельно соединенных четырехполюсников, для которых известны матрицы коэффициентов Y. При таком соединении:

и .

Тогда:

Рис. 2.38

Таким образом, при параллельном соединении двух четырехполюсников:

= +

Значения коэффициентов системы уравнений четырехполюсников определяются, исходя из его схемы замещения. При этом, в общем случае используются законы Кирхгофа. В качестве примера рассматривается вывод соотношений для Z-коэффициентов четырехполюсника с Т-образной схемой замещения (рис. 2.39).

Рис. 2.39

Для расчета этой схемы система трех уравнений, записанных с использованием законов Кирхгофа, имеет вид:

.

После исключения из уравнений тока :

.

Таким образом, соотношения Z-коэффициентов Т-образной схемой замещения:

Z₁₁ = Z₁ + Z₃, Z₁₂ = Z₂₁ = Z₃, Z₂₂ = Z₂ + Z₃.