Основные топологические понятия теории электрической цепи

Рис. 11. Пример схемы замещения электрической

цепи с одним источником электрической энергии

Ветвь – участок электрической цепи с одним и тем же током. На схеме замещения рис. 11 – пять ветвей.

Узел – место соединения трех и более ветвей. На схеме замещения рис. 11 - три узла (точки 3 и 3’ – один узел).

Контур – замкнутый участок электрической цепи, включающий несколько ветвей и узлов. Например, один из контуров схемы рис. 11 включает:

- ветвь между узлами 1 и 2 с сопротивлением R₃;

- ветвь между узлами 2 и 3^’ с сопротивлением R₄;

- участок между точками 3^’ и 3;

- ветвь между узлами 3 и 1 с источником ЭДС Е и сопротивлением R₁.

Рис. 12. Двухполюсник – часть электрической цепи с двумя выделенными разъемами (точки «а» и «в»).

Рис. 13. Четырехполюсник – часть электрической цепи с двумя парами разъемов: входные «а»-«в» и выходные разъемы «с»-«d».

1. Линейные электрические цепи постоянного тока

1.1. Уравнения Кирхгофа для цепи постоянного тока

Основой расчета электрической цепи являются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда. Его формулировка:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

(1.1)

где n – число таких ветвей. В уравнении (1.1) токи, направленные к узлу, берутся со знаком «плюс», направленные от узла – со знаком «минус».

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии. Его формулировки:

1. Алгебраическая сумма напряжений всех участков контура равна нулю:

(1.2)

где n – число таких участков; U_i – напряжение i-го участка, равное разности потенциалов между концом и началом i-го участка.

2. Алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, входящих в этот контур:

(1.3)

где n – число резистивных элементов в контуре; I_i – величина тока в резистивном элементе с сопротивлением R_i, k – число источников ЭДС в контуре,

Е_j – ЭДС j-го источника.

В уравнениях (1.2) и (1.3) слагаемые берутся со знаком «плюс», если направления напряжения, тока и ЭДС совпадают с выбранным направлением обхода контура, в противном случае слагаемые берутся со знаком «минус».

1.2. Решение классической задачи расчета электрической цепи

Задаваемыми считаются значения параметров элементов в схеме замещения электрической цепи (сопротивления резистивных элементов, ЭДС и внутреннее сопротивление источников энергии, напряжения на отдельных участках схемы). Требуется определить значения токов во всех ветвях схемы.

Для решения задачи необходимо получить систему уравнений, число которых равно числу токов в цепи, т.е. числу в ней ветвей. С использованием первого закона Кирхгофа составляется N-1 уравнений, где N – число узлов в схеме. Остальные уравнения составляются с использованием второго закона Кирхгофа. Выбираемые для этой цепи контуры должны быть независимыми, т.е. в каждый выбранный контур должна входить ветвь, которая не входила в другие контуры. Если цепь состоит из линейных элементов, получается система алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами.

Для составления системы уравнений необходимо:

- отметить стрелками выбранные направления токов в каждой ветви схемы замещения; выбор должен быть таким, чтобы токи в узлах не имели одно направление;

- выбрать направление обхода в каждом контуре, для которого составляется уравнение по второму закону Кирхгофа;

- дополнительно ввести в схему замещения резистивные элементы, отражающие внутреннее сопротивление источников ЭДС.

Если в результате решения системы уравнений ток в ветви получился со знаком «минус», необходимо изменить выбранное ранее направление тока в этой ветви на противоположное.

Пример расчета электрической цепи

постоянного тока

Задано:

R₁ = 5 Ом; R₂ = 15 Ом;

R₃ = 10 Ом; R₄ = 20 Ом;

R₅ = 5 Ом; Е₁ = 70 В;

Е₂ = 95 В; Е₃ = 15 В.

Определить: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Рис. 1.1

В ветвях схемы рис. 1 протекают 5 токов. Следовательно, для их определения необходимо иметь 5 уравнений. Поскольку в схеме три узла (1, 2 и 3), с использованием первого закона Кирхгофа составляется два уравнения (для узлов 1 и 2). С учетом выбранных направлений тока они имеют вид:

-I₁ + I₂ + I₄ = 0,

I₃ – I₄ + I₅ = 0.

Для составления трех уравнений по второму закону Кирхгофа используются три контура, обозначенные на рис. 1.1 как I, II и III. С учетом выбранных направлений токов и выбора обхода по часовой стрелке эти уравнения имеют вид:

R₁I₁ + R₂I₂ = E₁ – E₂,

-R₂I₂ + R₄I₄ + R₅I₅ = E₂,

R₃I₃ – R₅I₅ = -E₃.

Систему полученных уравнений после подстановки в них значений сопротивлений резисторов и ЭДС источников целесообразно представить в каноническом виде и решать с помощью формул Крамера.

-1 I₁ + 1I₂ + 0I₃ + 1I₄ + 0I₅ = 0

0 I₁ + 0I₂ + 1I₃ - 1I₄ + 1I₅ = 0

5 I₁ + 15I₂ + 0I₃ + 0I₄ + 0I₅ = -25

0 I₁ - 15I₂ + 0I₃ + 20I₄ + 5I₅ = 95

0 I₁ + 0I₂ + 10I₃ + 0I₄ - 5I₅ = -15

Результат расчета: I₁ = 1 А, I₂ = -2 А, I₃ = 2 А, I₄ = 3 А, I₅ = 1 А. Поскольку расчетная величина тока I₂ отрицательная, в схеме необходимо изменить направление этого тока на противоположное.

Проверка правильности расчета электрической цепи проводится с помощью уравнения баланса мощности. Поскольку мощность, вырабатываемая источниками ЭДС в цепи постоянного тока равна мощности, потребляемой ее резистивными элементами:

(1.4)

где n – число источников ЭДС в цепи, к – число резистивных элементов. Слагаемые в левой части уравнения (1.4) записываются со знаком «плюс», если направления ЭДС и тока совпадают, в противном случае соответствующее слагаемое записывается со знаком «минус».

Проверка результатов проведенного расчета

Е₁I₁ + Е₂I₂ + Е₃I₃ = R₁I₁² + R₂I₂² + R₃I₃² + R₄I₄² + R₅I₅²

701 + 952 + 152 = 51² + 152² + 102² + 203² + 51²

290 Вт = 290 Вт.