4.2. Заряд и разряд конденсатора через резистор

4.2.1. Процесс заряда

Р

U – постоянное напряжение источника.

До замыкания ключа «К» напряжение на емкости u_C = 0.

ассматривается цепь, представленная на рис. 4.1.

Рис. 4.1

После замыкания ключа в цепи протекает ток i, который согласно 2-му закону Кирхгофа:

RI + u_c = U.

Ток в конденсаторе:

.

Тогда уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе в процессе его заряда, приобретает вид:

(4.2)

Напряжение на емкости в свободном режиме:

или

Характеристическое уравнение

Результат решения характеристического уравнения:

где τ = RC,

где τ – постоянная переходного процесса, имеющая размерность времени и характеризующая длительность протекания переходного процесса. Считается, что он завершается за t = 4τ, когда изменяющееся напряжение составляет 2% от установившегося значения.

Процесс заряда конденсатора заканчивается, когда напряжение на нем достигает величины U. Т.е. в установившемся режиме u_су = U.

Таким образом, решение уравнения (4.2):

u_c = u_ссв + u_су = U + Ae^-t/τ.

Постоянная «А» определяется, исходя из 2-го закона коммутации (при t = 0, u_c = 0).

0 = U + A. A = -U.

u_c = U (1 - e^-t/τ).

Ток в цепи после замыкания ключа:

Результаты решения отражены на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Ток в цепи после замыкания мгновенно увеличивается до величины, равной Это необходимо учитывать при малых величинах сопротивления.

4.2.2. Процесс разряда

Рассматриваемая цепь представлена на рис. 4.4.

Полагается, что напряжение на конденсаторе до замыкания ключа «К»:

u_c = U.

Рис. 4.4

При замыкании ключа направление тока разряда противоположно направлению тока заряда

Согласно второму закону Кирхгофа:

u_c – R_i = 0.

Тогда уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе в процессе разряда, имеет вид:

(4.4)

Его решение

u_c = u_cсв = Ае^-t/τ

u_c (0) = U A = U u_c = Ue^-t/τ

Ток разряда

Рис. 4.5

Результаты решения отражены на рис. 4.5.

При разряде конденсатора энергия электрического поля, запасенная в нем, трансформируется в тепловую энергию в резисторе.

4.2.3. Уравнение, описывающее процессы заряда и разряда

конденсатора в общем случае

Пусть до замыкания ключа напряжение на конденсаторе, т.е. в начальный момент времени равно u_c (0).

Тогда после определении постоянной «А»:

u_c (0) = U + A. A = [u(0) – u(∞)].

где u(∞) - напряжение на конденсаторе при полном окончании переходного процесса (u(∞) = U).

Откуда по аналогии с решением уравнения (4.2):

u_c (t) = u_c(∞) - [u_c(∞) – u_c(0)]e^-t/τ. (4.5)

Проверим справедливость соотношения (4.5) для случая разряда конденсатора.

В начальный момент времени u_c (0) = U.

После окончания переходного процесса

u_c(∞) = 0

После подстановки в уравнение (4.5) получается:

u_c (t) = Ue^-t/τ,

что совпадает с ранее полученным решением уравнения (4.4).

Пример расчета. Определить продолжительность переходного процесса Т_пр в цепи с конденсатором С = 80 мкФ и резистором R = 10000 Ом.

τ = RC = 10000 · 80·10^-6 = 0,8 c.

Т_пр = 4τ = 4 · 0,8 = 3,2 с.

Пример применения.

Рис. 4.6

Источник в схемах рис. 4.6 вырабатывает прямоугольные импульсы длительностью τ. Процессы в этих цепях представляют собой последовательно чередующиеся процессы заряда и разряда конденсаторов, которые происходят на переднем и заднем фронтах импульсов соответственно. В схеме рис. 4.6,б ток при заряде и разряде конденсаторов проходит через резисторR₁. Создаваемое на нем падение напряжения является выходным. В схеме рис. 4.6,а выходным напряжением является напряжение на конденсаторе.

Схема рис. 4.6,а рассматривается для случая, когда:

τ >> T_имп.

T_имп – длительность импульса. В этом случае, как видно из рис. 4.7, процесс заряда конденсатора происходит медленно, так что в момент окончания импульса выходное напряжение достигает величины:

U_выхmax = U_вхmax (1 – e^Tимп/RC).

Рис. 4.7

После окончания импульса происходит медленный разряд конденсатора, а, следовательно, медленное уменьшение напряжения до нуля.

Схема рис. 4.6,б рассматривается в случае, когда:

τ << T_имп.

В этом случае конденсатор заряжается очень быстро, что обуславливает в начале импульса скачок тока до U_вхmax/R. Поэтому выходное напряжение представляет собой короткий импульс положительной полярности, амплитуда которого равна:

U_выхmax = i R = U_вхmax.

Это иллюстрируется рис. 4.8.

Второй импульс на выходе, аналогичный первому, но отрицательной полярности, соответствует окончанию импульса напряжения источника. Его отрицательная полярность обусловлена разрядом конденсатора.

Рис. 4.8