Тема III. Гидравлические сопротивления. Расчеты трубопроводов

III.1. Режимы движения вязкой жидкости. Потери напора по длине трубы

Число Рейнольдса. Опыт показывает, что при движении вязкой жидкости относительно твердой поверхности возможны две качественно отличные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы Рейнольдсом (1883).

В экспериментах Рейнольдса жидкость вытекала из бака по стеклянной трубе (рис. 8), скорость течения регулировалась краном. Чтобы наблюдать перемещение струек, в поток вводилась струйка красителя Кр.

О пыты показали, что при малых скоростях течения u струйка красителя распространяется вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними объемами жидкости. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Сила трения между слоями определяется формулой Ньютона (I.3). Такой режим течения был назван ламинарным.^*

Если скорость течения делается больше некоторой критической скорости u_кр, окрашенная струйка начинает колебаться и размываться. В поперечной эпюре скоростей появляются разрывы, скорости отдельных частиц изменяются при их перемещении; в фиксированной точке потока появляются пульсации скорости и давления. Такое течение называется турбулентным.^** При турбулентном течении обмен количеством движения-. между слоями, движущимися друг относительно друга, происходит за счет взаимного перемещения уже не отдельных молекул, как при ламинарном течении, а значительно больших по сравнению с молекулой частиц. Это приводит к возрастанию силы трения между слоями.

Рейнольдс показал, что режим движения в трубе определяется величиной безразмерного соотношения, названного впоследствии числом Рейнольдса Re:

, (III.1)

где D – диаметр трубы; ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости. Согласно опытным данным, при Re < 2300 течение всегда ламинарное; в этом случае возмущения, вносимые в поток жидкости, затухают из-за действия вязкого трения. При больших значениях числа Рейнольдса внесенные в поток возмущения приводят к потере его устойчивости, наблюдается турбулизация.

Значение Re_кp = 2300 называют поэтому критическим числом Рейнольдса.

Величину Re можно трактовать как соотношение между силой инерции, опрокидывающей частицу, и силой вязкого трения, препятствующей такому опрокидыванию. Возрастание числа Рейнольдса влечет за собой уменьшение относительного влияния на поток стабилизирующей силы трения у стенки. С достижением Re_кр это приводит к потере устойчивости потока, разрывам поперечной эпюры скорости и появлению пульсаций.

Опытные данные по потерям напора. Установка Рейнольдса (рис. 8) позволяет исследовать влияние режима течения на потери напора в трубе. В результате измерения потерь h_l, связанных с трением о стенки трубы, при разных скоростях течения было обнаружено, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны скорости в первой степени, а при турбулентном – в степени от 1,75 до 2. Для развитого турбулентного движения при больших скоростях потока характерен квадратичный закон сопротивления: h_l ~ u². Соответственно при различных режимах течения гидравлический коэффициент трения λ_тр в формуле Дарси зависит от разных факторов.

Зависимость λ_тр от числа Рейнольдса и относительной шероховатости стенок трубы была исследована экспериментально немецким ученым Никурадзе (1933). Схема опытной установки принципиально не отличалась от прибора Рейнольдса (рис. 8). По измеренным в опытах h_l и u вычислялась величина λ_тр. Шероховатость стенок создавалась наклеиванием на внутреннюю поверхность грубы калиброванного песка, причем диаметр песчинки Δ отождествлялся с высотой выступа шероховатости.

Полученная в экспериментах Никурадзе зависимость

,

где r – радиус трубы, представлена графически на рис. 9. Величины Re и λ_тр отложены по осям в логарифмическом масштабе.

А нализ графика Никурадзе показывает, что при малых числах Рейнольдса (Re < 2300, ламинарный режим) коэффициент трения не зависит от размеров бугорков шероховатости, величины λ_тр для разных, труб лежат на общей прямой АВ. Это происходит потому, что при ламинарном течении скорость у стенки равна нулю, выступы шероховатости находятся в застойной зоне (рис. 10, а).

П ри турбулентном течении также есть область сопротивления, в которой трубы различной шероховатости имеют одинаковые коэффициенты сопротивления (прямая CD на рис. 9), – область гидравлически гладкого сопротивления. В этом случае между турбулентным ядром потока, занимающим большую часть сечения трубы, и стенкой лежит тонкий ламинарный подслой. На рис. 10, б его граница показана пунктирной линией. Эпюра скоростей в ламинарном подслое переходит на его границе в эпюру осредненных скоростей турбулентного течения в ядре потока. Ламинарный подслой играет роль своего рода слоя смазки, покрывающего выступы шероховатости; проникновению в него турбулентных пульсаций препятствует близость стенки. Потери напора в трубе определяются вязким трением внутри подслоя, λ_тр зависит только от числа Рейнольдса.

С возрастанием скорости (увеличением Re) ламинарный подслой утоняется, отдельные выступы шероховатости вторгаются в турбулентное ядро потока (рис. 10, в). При этом меняется сама природа сопротивления. Если при ламинарном течении и в области гладкого сопротивления потери напора были связаны с внутренним трением в жидкости, то при выдвижении бугорков шероховатости из ламинарного подслоя поток обтекает их с образованием за тыловым склоном вихревых областей. Давление на переднем склоне бугорка оказывается больше, чем на заднем, и поток тормозится этими перепадами давления. При наличии остатков ламинарного подслоя, покрывающих мелкие выступы шероховатости, величина коэффициента трения определяется совместным влиянием числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Эта область сопротивления называется доквадратичной.

Наконец, при дальнейшем увеличении Re ламинарный подслой полностью срывается (рис. 10, г), λ_тр становится функцией только относительной высоты выступов шероховатости. Это – область квадратичного сопротивления.

Переход от одной области сопротивления к другой определяется величинами Re и . Из рис. 9 следует, например, что сопротивление становится квадратичным (λ_тр перестает зависеть от Re) примерно при Re = 100 000.

В технических условиях шероховатость труб отличается от зернистой шероховатости опытов Никурадзе более плавными очертаниями бугорков и неодинаковой их высотой. Средняя высота выступов шероховатости равна для цельнотянутых стальных труб 0,02÷0,1 мм, для бывших в употреблении, незначительно корродированных, – 0,1÷0,4 мм. Сопротивление труб с естественной шероховатостью исследовалось в специальных опытах (например, работы Ф. А. Шевелева). Сводка данных, характеризующих течение в различных областях сопротивления, приведена в табл. 3.

Таблица 3

Характеристики течения в различных областях сопротивления

Режим течения	Область сопротивления	Закон сопротивления	Пределы области	Формула для λтр
Ламинарный	–	hl ~ u	Re < 2300
Турбулентный	Гидравлическая гладкая	hl ~ u1,75		(формула Блазиуса)
	Доквадратичная	hl ~ um, m = 1,75÷2		(формула А.Д. Альтшуля)
	Квадратичная	hl ~ u2	(Re 100 000)	(формула Прандтля – Никурадзе)

Ламинарное течение в круглой трубе. Плавное изменение скоростей при ламинарном режиме и удобство задания граничных условий (нулевая скорость у стенки) позволяют исследовать ламинарные потоки аналитически. Рассмотрим, например, ламинарное течение в круглой трубе радиуса r₀ (рис. 11). Определим силы, действующие на объем жидкости в форме цилиндра радиусом г и длиной l. В направлении оси трубы на торцевые поверхности этого цилиндра действуют силы давления p₁πr² и p₂πr², на боковую поверхность – сила τ2πrl (здесь τ – касательное напряжение трения). Приравнивая эти силы, имеем

.

Поскольку в круглой трубе течение осесимметрично и скорость измеряется только по радиусу, выражение для напряжения трения (I.2а) приобретает вид:

.

Для последних выражения дают дифференциальное уравнение, описывающее поперечное распределение скоростей в трубе:

.

Интегрируя его, имеем

.

Постоянную интегрирования С определим из условия на стенке: u = 0 при r = r₀; подставляя в выражение для u, получим формулу Пуазейля (1840):

. (III.2)

Согласно формуле Пуазейля эпюра скоростей в поперечном сечении трубы имеет формулу параболы (рис. 11). Максимальная скорость наблюдается при r = 0, здесь

.

Расход в трубе можно определить интегрированием по сечению трубы элементарных расходов, которые равны произведению скорости (III.2) на площадь элементарного кольца 2πrdr:

. (III.3)

Средняя скорость в трубе

. (III.4)

Из выражения (III.4) легко определить величину гидравлического коэффициента трения λ_тр в формуле Дарси. Действительно, принимал во внимание, что

, , ,

получаем

. (III.5)

Зависимость (III.5) для коэффициента трения при ламинарном течении в круглой трубе приведена в табл. 3. Она хорошо подтверждается опытом.