Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Технология машиностроения

Файл:

Radzevich, S.P. Monograph - 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

24.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 608 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Uд 0

Vд 1

rд(0,Vд)

Uд 0

Vд 0

Дi

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

rд(U д,1)

	Uд 1
rд(Uд,Vд)	Vд 1
rд(Uд,Vд)	rд(1,Vд)
	rд(1,Vд)
rд(U д,0)	Uд 1
rд(U д,0)	V 0
	д	Дi
		Дi
1.		2.	3.

Рис. 1.14. Примеры отсеков обрабатываемой поверхности детали: выделенный отсек параметрически

заданной поверхности Д (1); сопряженные отсеки поверхности Д (2); 3-х, 4-х и 5-и угольные отсеки поверхности Д (3).

метрии находятся как для поверхностей, заданных аналитически. Решение задачи синтеза наивыгоднейшего формообразования дискретно заданных сложных поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ в этом случае связано с решением дополнительной задачи аппроксимации формообразуемой поверхности Д , например, полиномиальными сплайнами, с широким использованием для этого методов вычисли-

тельной геометрии.

Уравнение поверхности Д(И) деталей и инструментов. Алгебраическая форма отсека поверхности Д ,

описанного бикубическим сплайном, имеет вид:

	3	3
(1.62)	rд Uд, Vд ai jUдiVдj ,
	i 0 j 0

где a i j – векторные коэффициенты.

Выпишем уравнение (62) в развернутом виде и расположим его члены в таком порядке:

a U

3V a

д д

a U

2V3

a U

2V 2

a U

2V a

(1.63)

д д

a U V

U V aa U

д д

a V

a V2

V a

03 д

02 д

01 д

Этот 16-членный полином – вектор-функция скаляров

Uд

Vд , определяет все точки, лежащие на

отсеке поверхности детали.

Алгебраической форме (63) бикубического отсека поверхности детали соответствует матричная форма

записи его уравнения:
(1.64)	rд	~	~	T
(1.64)	rд	Uд	A Vд	,
где обозначено:

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.
Расчет элементов их локальной геометрии	71
	71

a33

a32

a31

1 T

;

V 2

V 1 T

; A 23

a13

a12

a11

a 02

a 01

a 03

a30

a 20 . a10

a 00

Обратим внимание на то, что индексы векторных элементов матрицы A соответствуют индексам в

развернутом уравнении (63).

Рассмотрим случай, когда произвольный отсек сложной поверхности детали ограничен двумя парами кривых – граничными кривыми, и дискретно задан так: известны координаты rдi четырех его вершин

i 1, 2, 3, 4 , в каждой вершине определены

направления касательных

rд

к каждой из

Uд

Vд

граничных кривых и, кроме того, в каждой вершине известен вектор кручения

2rд

. Исходя из этих

Uд Vд

данных геометрическая форма бикубического отсека поверхности

Д приводится к виду:

Т.

(1.65)

М B М 1 V

где матрица коэффициентов равна:

	(1)
	r
	д
	r (4)
	r (4)
	д
e	rд
e


	U		д
					1
					1
	r	д
	r

	U д
				4
				4

(2)

rд

Vд

(3)

rд

Vд

rд

2rд

U д

U д Vд

rд

2rд

U д

U д Vд

rд

Vд

r (i)

Vд

rд

		r			д
		r

		U д
		U д
						i			(1.66)
						i
								.
			2	rд
			2

	U		д	V
i			д			д	i

Сопоставляя (65) и (64) видим, что

B M 1 A M T 1.

Для рассматриваемого случая дискретного задания поверхности Д матрица M 1 равна

	0	0	0	1
M
M	1 1	1	1	1 .	(1.67)
	0	0	1	0
		2	1
	3	2	1	0
Например (Dinauer, W.R., Daffie, N.A.,	Philpott, M.L.,			1994), если отсек поверхности Д	представлен

вектором

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

1 Т,

где параметры Uд и Vд пронормированы, т.е. изменяются от 0 до 1, то он может быть переписан в Эрмитовой форме (Mortenson, M., 1985)

h.д

x.д

h.д д

UдM h.дQ y.дMTh.дVдT

h.д

z.д

h.д д

где векторы Uд и Vд равны

U 3

U 1 ;

V V3

2 V 1 .

Матрица Эрмита1 M h.д имеет вид:

h.д

Здесь Q x.д есть матрица, определяющая

rд

– компоненты вектора положения, касательные к Uд

Vд линиям, а также векторы кручения в четырех углах отсека:

rд 0,0

rд 0,1

rд 0,0

rд 0,1

1,0

1,1

rд 1,0

r rд 1,1

rд 0,0

rд 0,1

Q x.д

2rд 0,0

2rд 0,1 .

rд 1,0

rд 1,1

2rд 1,0

2rд 1,1

По форме матрицы Q y.д и Q z.д

подобны матрице Q x.д .

В алгебраической форме (64) аналитического описания бикубического отсека сложной поверхности

переменными являются матрицы

– соответственно первый и последний сомножитель. Матрица

Uд

и Vд

A в качестве своих элементов содержит векторы a i

j , каждый из которых является величиной постоянной –

следовательно, матрицу A следует рассматривать как постоянную.

Геометрическая форма (65) бикубического отсека сложной поверхности детали содержит переменные

матрицы	~	и	~	, также являющиеся первым и последним сомножителем соответственно. Произведение
	Uд		Vд

1Эрмит, Шарль (Hermite, Charles) (24.12.1822, Дьёз, – 14.1.1901, Париж), французский математик, член Парижской АН (1856). С 1848 работал в Политехнической школе, с 1869 – профессор Парижского университета. Эрмиту принадлежат исследования по различным вопросам классического анализа, алгебры и теории чисел. Основные работы связаны с теорией эллиптических функций и ее приложениями. Эрмит изучил класс ортогональных многочленов – многочлены Эрмита. Ряд работ Эрмита посвящены теории алгебраических форм и их инвариантов. Доказал (1873) трансцендентность числа e.

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии		73
		73
матриц M B M T в (65) – величина постоянная. Это очевидно, во-первых, потому, что элементы матрицы
B в (66) – величины постоянные и матрица (67) состоит из констант. Во-вторых,	произведение
M B M T A , где A , как было отмечено, является постоянной матрицей.
Для различных способов задания бикубического отсека поверхности Д всегда имеем	произведение
нечетного количества матриц-констант, умноженного с обеих сторон на переменные матрицы	~	~
	Uд	и Vд .

Поэтому для расчета элементов локальной геометрии поверхности детали в виде отсека поверхности, описанного бикубическим сплайном, достаточно задать уравнение вида (64), с той лишь разницей, что

матрицу A будем рассматривать как произведение нечетного количества постоянных по величине матриц

Aд :

~	n		~ Т
rд Uд			Vд ,	(1.68)
		Aq

	q 1

где q – порядковый номер матрицы в произведении;

n – количество перемножаемых матриц.

Получение аппроксимационной формулы дает возможность перейти от дискретного задания к непрерывному аналитическому описанию поверхности детали уравнением, являющимся ее математической моделью.

Первые производные уравнения поверхности детали. Если дискретно заданная поверхность Д аналити-

чески описана бикубическим уравнением вида (68), то для нахождения необходимых производных уравнение

отсека этой поверхности удобно переписать в форме:

3 3

rд Uд,Vд

;

ai j U

дVд

i 0 j 0 q

33 д

q 1

(1.69)

13 д

q 1

;

03 д

q 1

a33q

a32q

a31q

a30q

q 1

a q

U д

q 1

Vд

U д

;

a13q

a12q

a11q

a10q

q 1

a q

q 1

1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

U д3

Uд2 U д

Vд3

Vд2

(1.70)

aijq

Vд

1 T.

q 1

Из (70) находим, что

(1.71)

3U д2

2Uд

aijq

Vд2

Vд

1 T ;

U д

q 1

(1.72)

rд

U д Uд

2Vд

Uд

aij

3Vд

q 1

Если матричную форму записи уравнений (71) и (72) производных развернуть и полученный результат сопоставить с уравнениями соответствующих производных, полученных путем дифференцирования уравнения (69), то будем видеть, что получен один и тот же результат.

Касательные к координатным линиям. Уравнения (71) и (72) первых производных уравнения (70)

поверхности Д И по U	, V		параметрам определяют векторы	rд и	и	rд и	, касательные к

	д и	д и		Uд и		Vд и

координатным линиям для отсека поверхности, описанного бикубическим уравнением. По аналогии с рассмотренным выше для рассмотрения дифференциально-геометрических характеристик поверхности вводятся в рассмотрение: касательные направления, касательная плоскость, нормаль к поверхности и

составляется уравнение первой основной квадратичной формы поверхности Д И .

Вторые производные уравнения поверхности Д И . Если дискретно заданная поверхность Д аналити-

чески описана бикубическим уравнением вида (68), то с учетом (71) и (72) имеем

	2r	д	6U д
		д			2 0
	U	2			2 0
	U	2
	д
	2r	д		3U д2
		д			2U д
U д Vд					2U д
U д Vд

n				V3
0	a q			V3
	ij			д
q 1
			n
1 0		aijq
	q 1

Vд2 Vд 1 T ;

3Vд2 2Vд 1 0 T ;

6Vд

2 0 0 T.

U д3

Uд2

U д

aijq

V 2

q 1

На основании этих формул, по аналогии с рассмотренным выше, для нахождения дифференциально-гео- метрических характеристик поверхности Д И вводится в рассмотрение вторая ее основная квадратичная

форма, которая используется для расчета параметров кривизны поверхности и др.

1.2.5.2. Сложные поверхности деталей и инструментов, заданные числовыми отметками.

Применяемое на практике дискретное задание рабочих поверхностей деталей и инструментов в виде матрицы преимущественно с равномерным распределением элементов (как правило, точек), позволяет при необходи-

мости определить элементы локальной геометрии поверхности Д И , непосредственно исходя из матрицы, определяющей координаты принадлежащих поверхности Д И точек. При решении этой задачи в дискрет-

ной форме появляются особенности.

Необходимые для определения коэффициентов первой Φ1.д и и второй Φ2.д и основных квадратичных форм первые и вторые производные уравнения поверхности Д И , заданной дискретно, могут быть найдены

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии

путем использования методов дифференцирования функций, заданных дискретно.

Первые производные поверхности

Д И . Касательные прямые. В окрестности текущей точки Mi, j на

поверхности детали или инструмента выбраны две пары

близлежащих к ней

точек Mi,( j 1) , Mi,( j 1) ,

M i 1 , j , и M i 1 , j

(рис. 1.15.1), расположенные в двух трансверсальных направлениях

на Д И . Через три

соседние точки Mi,( j 1)

, Mi, j

и Mi,( j 1)

одного

ряда

проходит

плоскость

i ,

уравнение которой

представимо в виде (рис. 1.15.2):

X M X

i, j

Y M Y

i, j

Xi, j 1 Xi, j

Yi, j 1 Yi, j

Zi, j 1 Zi, j

(1.73)

Xi, j 1 Xi, j

Yi, j 1 Yi, j

Zi, j 1 Zi, j

или в векторной форме:

rк.i ri, j

ri, j 1 ri, j ri, j 1 ri, j

0 .

Nд u

rд u

Nд u

rд u

Mi 1, j 1

Vд u

Mi, j 1

Д И

д u

Mi 1, j

Mi, j

Mi, j Mi, j 1

Mi 1, j 1

Mi, j 1

Mi 1, j 1

Mi, j 1

rд u

Zд u

Mi 1, j

Uд u

rд u

Nд u

Mi 1, j 1

rд u

д u

Uд u

Mi 1, j

Mi, j

Mi 1, j

Xд u

Рис. 1.15. Локальный участок дискретно заданной поверхности

Д И в окрестности точки Мi, j на ней.

Аналогичные уравнения справедливы и для поскости j ,

проходящей через другие три соседние точки

M i 1 , j , Mi, j и Mi,( j 1)

во втором ряду:

M X

Y M

M Z

i, j

X i 1 , j Xi, j

Yi 1 , j Yi, j

Z i 1 , j Zi, j 0

X i 1 , j Xi, j

Yi 1 , j Yi, j

Z i 1 , j Zi, j

и в векторной форме:

76	1. Рабочие поверхности деталей и инструментов
	r к. j ri, j ri, j 1 ri, j ri, j 1 ri, j	0 .

Система координат XiYi Zi связана с плоскостью (73) таким образом, что ее начало расположено в плоскости (73), а координатная плоскость XiYi совпадает с этой же плоскостью. Тогда в системе координат XiYi Zi уравнение окружности, проходящей через три точки Mi,( j 1) , Mi, j и Mi,( j 1) , имеет вид:

(1.74)	Xc.i		XO,i 2			Yc.i	YO.i 2		Ri2 ,
где Xc.i и Yc.i	– координаты текущей точки окружности в системе координат XiYi Zi ;
XO.i и YO.i	– координаты цетра окружности;
Ri	– радиус окружности.
Неизвестные параметры окружности XO.i ,				YO.i и Ri			находятся как решение системы уравнений:
		X	* X		O.i	2 Y* Y		2	R2 ;
			i		O.i	i	O.i			i
(1.75)		*				2	*		2	2
(1.75)	X i 1 XO.i					Yi 1 YO.i				Ri ;
						2			2
	X*i 1 XO.i					Y*i 1 YO.i Ri2 ,

где X*i 1 , Y*i 1 ;

Xi* , Yi* и X*i 1 , Y*i 1 – координаты точек Mi,( j 1) , Mi, j

и Mi,( j 1)

XiYi .

Исходя из (74) с учетом (75) уравнение касательной к окружности (74) в точке Mi, j столбцовой матрицы:

в системе координат

представимо в виде

(1.76)

1 .

Перейдя

от системы

координат

XiYi

исходной

системе

координат Xд и Yд и Zд и , в которой

поверхность

Д И задана изначально,

получим вектор

касательной

ri*

(76), записанный в исходной

системе координат Xд и Yд и Zд и :

Xi* U

д и

Xi U

д и

Yi U д и

(1.77)

Res i Д r

Y* U

д и

i д

Zi U д и

Аналогичное соотношение может быть получено и для другой плоскости (рис. 1.15.3), проходящей через три соседние точки M i 1 , j , Mi, j и Mi,( j 1) :

* V

X j V

д и

Yj Vд и

(1.78)

Res i Д r

j д

д и

Z j Vд и

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

	Расчет элементов их локальной геометрии					77
						77
Параметрами в уравнениях касательных являются U д и и				Vд и параметры. В качестве		U д и и
Vд и параметров могут быть использованы, например, углы поворота радиус-вектора окружностей в каж-
дом из плоских нормальных сечений поверхности Д И .
Касательная плоскость к поверхности		Д И в некоторой ее точке Mi, j находится как плоскость,
проходящая через эту точку и содержащая два направления (77) и (78). Поэтому ее уравнение имеет вид:
	XКП Xi, j	YКП Yi, j	ZКП Zi, j
	XКП Xi, j	YКП Yi, j	ZКП Zi, j
	li	mi	ni		0 .
	l j	m j	n j

Нормаль к поверхности Д И определяется через векторное произведение касательных. С учетом (77) и (78) в этом случае имеет место соотношение:

	i	j
Nд и	Xi	Yi
	X j	YJ

Для расчета орта нормали справедлива формула:

n д и	Nд и	Nд и

	Nд и	Xi X j 2 Yi Yj 2 Zi Z j 2
		Xi X j 2 Yi Yj 2 Zi Z j 2

Zi .

Z j

	i	j	k
	Xi	Yi	Zi
	X j	Yj	Z j	.


Xi X j	2 Yi Yj 2 Zi Z j 2

Первая основная квадратичная форма поверхности Д И определяется уравнением (23), коэффициенты первой основной квадратичной формы Φ1.д и равны соответственно (25).

С учетом (77) и (78) можно записать, что:

Eд и Xi 2		Yi 2		Zi 2 ;		(1.79)
Fд и Xi X j		Yi Yj Zi			Z j ;	(1.80)
Gд и X j	2	Yj	2	Z j	2 .	(1.81)

Тогда с учетом (79)-(81) первая основная квадратичная форма представима в виде:

Φ1.д и

dSд2 и Xi 2 Yi 2 Zi 2

dUд2 и

2 X

Y Y Z

2 Y

dV 2 .

i J

д и д и

д и

Вторые производные и вторая основная квадратичная форма поверхности Д И . Вторая основная квадратичная форма поверхности Д И определяется как (38), а ее коэффициенты равны (48)-(50) соответственно.

78 1. Рабочие поверхности деталей и инструментов

Для вычисления коэффициентов Lд и , Mд и и Nд и второй основной квадратичной формы Φ2.д и в рассматриваемом случае известны все первые производные от Xд и , Yд и и Zд и по параметрам U д и и Vд и , а также коэффициенты Eд и , Fд и и Gд и первой основной квадратичной формы Φ1.д и (см. выше). Не известными остаются входящие в формулы (48)-(50) вторые производные от Xд и , Yд и и Zд и по параметрам U д и и Vд и . Чтобы отыскать эти производные при дискретном задании поверхности Д И ,

воспользуемся подходом, используемым при выводе формул Вейтгартена (Struik, D.J., 1961).

Уравнения Вейтгартена (или Гаусса-Вейнгартена). Коэффициенты Eд и , Fд и и Gд и первой основ-

ной квадратичной формы

поверхности

Д И зависят только

от первых производных

rд и

1.д и

U д и

rд и

, а коэффициенты Lд и , Mд и и Nд и

второй основной квадратичной формы Φ2.д и зависят как от

Vд и

первых

rд и

так и от вторых производных

2rд и

Поэтому

д и

U д и

д и

Vд и

соотношения между коэффициентами первой и второй основными квадратичными формами не могут быть чисто алгебраическим (чисто алгебраические соотношения имеют место в особых случаях, для характеристики специальных поверхностей или для описания локальной топологии поверхностей в

специальных точках, таких, как омбилические). В общем случае соотношения между коэффициентами Eд и , Fд и , Gд и и Lд и , Mд и , Nд и носят дифференциальный характер и могут быть найдены так.

Введем в рассмотрение подвижный трехгран-

U д и линия

n д u

rд u

ник (рис. 1.16)

с началом в текущей точке M на

Vд и линия

поверхности

Д И ,

который образован не тремя

Vд u

взаимно перпендикулярными единичными вектора-

Д И

ми, а

тремя

линейно

независимыми векторами

rд и

д и . Векторы

rд и

Zд u

U д и

Vд и

U д и

rд u

rд и

лежат в плоскости, касательной в точке M

Vд и

Uд u

Д И ,

Yд u

к поверхности

которая в

свою

очередь

ортогональна орту нормали n д и . Этот подвижный

трехгранник зависит от двух параметров

U д и и

Xд u

Vд и .

Любой вектор может быть линейно выражен

через

составляющие

подвижного

трехгранника.

Рис. 1.16. Подвижный трехгранник, связанный с

2rд и

текущей точкой М на поверхности

Д И .

Если

выполнить это

для векторов

U д2 и

2rд и

, то получим уравнения следующего вида:

д и

Vд и

2rд и

rд и

;

U д2 и

1 U д и

2 Vд и

д и

dUд2 и

1.2. Задание рабочих поверхностей деталей и инструментов.

Расчет элементов их локальной геометрии

2r д и

rд и

r д и

;

1 U

д и

2 V

д и

2rд и

r д и

rд и

1 Uд и

2 Vд и

д и

где коэффициенты 1, , 3 должны быть определены.

Используя соотношения (25) для гауссовых коэффициентов

Eд и ,

Fд и , Gд и

и уравнение (23) для

первой основной квадратичной формы Φ1.д и , приходим к результату:

d 2rд и

L ;

d 2rд и

;

d 2r д и

dUд2 и

д и

dUд и dVд и

д и

dVд2и

д и

Cнова используя соотношения (25) для гауссовых коэффициентов Eд и , Fд и , Gд и первой основной квадратичной формы Φ1.д и и введя обозначения:

11, 1 d 2rд и drд и ; dUд2 и dUд и

находим, что

11, 1 Eд и 1 Fд и 2 ;

11, 2 d 2rд и drд и , dVд и

11, 2 Fд и 1 Gд и 2

или, решая эти уравнения относительно 1 и 2 ,

Gд и 11, 1 Fд и 11,

;

Eд и 11, 2 Fд и 11, 1

(1.82)

д и

д и д и

д и

Взятые в квадратные скобки символы 11, 1 и

11, 2 выражаются через производные от

Eд и ,

Fд и и

Gд и , поскольку

drд и

d 2rд и

dEд и

;

drд и

2rд и

dEд и

;

dUд и

dUд2 и

dUд и

dUд и dVд и

dVд и

drд и

d 2rд и

drд и

dFд и

dUд и

dVд и dUд и

dUд2 и

dVд и

dUд и

Поэтому:

11, 1

dEд и

;

11, 2

dFд и

dEд и

dUд и

2 dVд и

2 dUд и

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 608 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Технология машиностроения

#
23.02.202324.47 Mб11Radzevich, S.P. Monograph - 2001.pdf
#
23.02.20237.23 Mб4Горбацевич - Курсовое проектирование по ТМ.doc
#
23.02.2023949.47 Кб3Мешкова - Организация Технологии Отрасли.pdf
#
23.02.20234.4 Mб1Оптимизация Технологических Систем (укр).pdf
#
23.02.2023882.47 Кб3Основные Положения Теории Базирования (Лекции).pdf
#
23.02.20231.01 Mб6Основы Проектирования ТП.pdf