Radzevich, S.P. Monograph - 2001

Нормаль к поверхности Д(И). В теории формообразования поверхностей при механической обработке деталей принято, что нормаль к поверхности Д И в каждой точке поверхности направлена от тела детали

или от исходного инструментального тела (ИИТ), т.е. от тела, ограниченного исходной инструментальной поверхностью. Это следует иметь в виду при выборе направлений осей локальной системы координат с тем, чтобы обеспечить правильное направление нормали.

Нормаль к поверхности Д И в текущей точке M ее гладкого регулярного участка – это вектор Nд и ,

проходящий через точку M перпендикулярно к касательной плоскости в этой же точке (см. рис. 1.5). Вектор нормали Nд и рассчитывается по уравнению:

где симметричная матрица

является первой основной фундаментальной матрицей или метрическим тензором поверхности Д И .

Коэффициенты первой основной квадратичной формы (первой основной дифференциальной формы Гаусса1) определяются по формулам:

1Гаусс, Карл Фридрих (Gauss , Karl Friedrich ) (30.4.1777, Брауншвейг, – 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внесший фундаментальный вклад также в астрономию и в геодезию. Родился в семье водопроводчика. В 1794-95 открыл и в 1821-23 разработал основной математический метод обработки неравноценных наблюдательных данных (метод наименьших квадратов). Его геометрические исследования связаны с практикой геодезии. Изучение формы земной поверхности потребовало углубленного общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Гауссом в этой области идеи получили выражение в сочинении “Общие изыскания о кривых поверхностях” (1828) [Gauss, K.-F., Disquisitions Generales Circa Superficies Curvas, Gottingen, 1828. (English translation: General

Investigation of Curved Surfaces, by J.C.Morehead & A.M.Hiltebeitel, Princeton, 1902; reprinted with introduction by Courant, Raven Press, Hewlett, New York, 1965, 119p.).]. Руководящая мысль этого сочинения состоит в том, что при изучении поверхности как бесконечно тонкой гибкой пленки основное значение имеет не уравнение поверхности в декартовых координатах, а дифференциальная квадратичная форма, через которую выражается квадрат элемента длины и инвариантами которой являются все собственные свойства поверхности – прежде всего ее кривизна в каждой точке. Другими словами, Гаусс предложил рассматривать те свойства поверхности (т.н. внутренние), которые не зависят от изгибаний поверхности, не изменяющих длин линий на ней. Созданная таким образом внутренняя геометрия поверхностей в дальнейшем послужила образцом для создания n-мерной римановой геометрии.

Очевидно, что коэффициенты Eд и и Gд и всегда положительны ( Eд и 0 , Gд и 0 ), а коэффициент Fд и может принимать и нулевое значение Fд и 0 . Поэтому первая основная квадратичная форма поверхности Д И является положительно определенной – она принимает только неотрицательные значения ( Φ1.д и 0 ), а в нуль обращается только в случае, когда U д и Vд и 0 . Это очевидно также из того, что

квадратный корень из первой основной квадратичной формы представляет собой дифференциал дуги кривой на поверхности Д И , длина которого может принимать только неотрицательные значения.

Приведенные соотношения для определения первой основной квадратичной формы поверхности Д И и ее гауссовых коэффициентов Eд и , Fд и и Gд и чрезвычайно полезны при решении задачи синтеза

наивыгоднейшего формообразования поверхности детали на металлорежущем станке.

Если две поверхности Д и И имеют одинаковые первые основные квадратичные формы, т.е. Φ1.д Φ1.и , то одну из них можно наложить на другую. Для этого достаточно, чтобы выполнялись соотношения Eд Eи, Fд Fи и Gд Gи (Норден, А.П., 1948, с. 174-175) – иными словами, наложимые одна на другую поверхности Д и И допускают такую параметризацию, при которой в точках этих

поверхностей с одинаковыми криволинейными координатами соответствующие коэффициенты их первых основных квадратичных форм равны. Примерами поверхностей, разворачивающихся одна на другую, служат цилиндр и плоскость, катеноид и геликоид и др.

Свойство поверхностей Д и И быть наложенными одна на другую имеет важные технологические

приложения. Вопрос о разворачиваемости одной поверхности на другую важен при решении задачи профилирования фасонных прижимных кулаков для ленточного шлифования сложных поверхностей деталей, например, для шлифования рабочих поверхностей турбинных лопаток и т.п. деталей. Поскольку шлифовальная лента изготавливается из тканного материала и может быть развернута на плоскость, то и фасонная рабочая поверхность прижимного кулака должна быть разворачивающейся на плоскость. Для этого достаточно, чтобы в каждой точке поверхности И прижимного кулака выполнялось условие

EиGи Fи2 0 . В противном случае абразивная лента неизбежно будет растягиваться неравномерно и,

дифференцирования соответствующих уравнений (2) и (3) для первых производных: