студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

может находиться в любой точке от 0 до . Это еще одна иллюстрация уже упоминавшегося критерия: классическая механика соответствует условию , т. е. при длинах волн, много меньших размеров системы, в которой движется (локализована) частица, квантовомеханические особенности частиц оказываются несущественными.

Рассмотренный нами случай потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет скорее методическое, нежели практическое значение. Реально мы имеем дело с ямами со стенками конечной высоты, и, разумеется, наиболее интересен вариант, когда потенциальная яма не одномерна, а трехмерна. Рассмотрим простой трехмерный случай, когда потенциальная яма сферически симметрична относительно некоторого силового центра. Это означает, что , где . Ограничимся нахождением только сферически симметричных решений — решений, зависящих только от , т. е. . Тогда в уравнении Шрёдингера для нашего случая

радиальная часть лапласиана, записанного в сферических координатах, имеет вид

В отличие от одномерного уравнения, здесь появился новый член 2 .

Сделаем в (5.9) замену переменных: . Тогда

Получается, что уравнение (5.9) для свелось к следующему уравнению для функции :

Это уравнение математически тождественно уравнению для одномерного движения, но с одним отличием — при 0 функция

должна не только быть конечной, но и обращаться в нуль, так как в противном случае функция обращалась бы в бесконечность при 0. Поэтому задача о движении частицы в трехмерном сферически симметричном потенциале эквивалентна

5.1 ] Частица в потенциальной яме 83

одномерной задаче с потенциалом, определяемым выражением

0при .

Нас будут интересовать состояния финитного движения, относящиеся к дискретному спектру энергий 0 0. Так как функция является ступенчатой, то для решения задачи удобно разбить область изменения , как мы это делали при решении задачи о прохождении частицы через потенциальный барьер, на два участка с постоянными значениями .

В области 0 уравнение Шрёдингера имеет вид

где индексами 1 и 2 обозначены решения внутри и вне ямы соответственно. Из граничного условия 1 0 0 следует, что0. Чтобы волновая функция оставалась всюду конечной, необходимо соблюдение условия 0. И, наконец, из условия непрерывности волновой функции и ее производной по координате в точке найдем

отвечающие собственным значениям , будут соответствовать тем точкам пересечения, для которых 1 0, то есть будут находиться в четных четвертях окружности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками).

Из графика видно, что корни уравнения (т. е. связанные состояния) существуют не всегда; штриховой линией показано предельное положение прямой, соответствующей условию1 2. Именно этим условием определяется минимальное значение энергии частицы в яме конечной глубины — ее нулевая энергия, равная величине

Стационарные уровни возникают только в том случае, если0. Поэтому уровни в потенциальной яме рассматриваемого типа возникают лишь при выполнении неравенства

В левой части последнего неравенства стоят параметры потенциальной ямы, а в правой — только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Иными словами, в таком случае, несмотря на то, что потенциал является для частицы притягивающим, связанного состояния не образуется. Подобная ситуация реально встречается. Например, силы взаимодействия между двумя нейтронами являются силами притяжения, однако ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует. Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов.

Следует отметить еще одно отличие классического и квантового поведения частицы в потенциальной яме. Согласно квантовой механике частица, находящаяся в потенциальной яме со «стенками» конечной толщины (типа кратера вулкана), в результате туннельного эффекта может покинуть последнюю, даже если ее энергия меньше высоты стенок потенциальной ямы. В этом случае говорят, что уровни энергии частицы являются квазистационарными, так как частица «живет» в таком состоянии конечное время. О подобных уровнях также говорят как о метастабильных. Все уровни частицы в потенциале со стенками конечной толщины имеют конечную ширину, т. е. энергия такого состояния точно не определена (состояние не является строго стационарным); при этом ширина состояния зависит, естественно, от его энергии и формы потенциала.

Форма потенциальной ямы и ее размеры (глубина и ширина), определяемые физической природой взаимодействия частиц,

5.2 ] Квантовый осциллятор 85

могут быть различными. Два частных случая формы потенциальных ям имеют очень большое значение в физике:

1. Кулоновская потенциальная яма ( 2 4 0 ), описывающая притяжение атомного электрона ядром с зарядом .

2. Потенциал гармонического осциллятора 2 2 , играющий важную роль в физике твердого тела, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул и являющийся одной из моделей ядерного потенциала.

Для одномерного движения справедлива так называемая осцилляционная теорема: волновая функция дискретного спектра, соответствующая 1 -му по величине собственному значению , обращается в нуль (при конечных значениях )раз. Примером может служить рассмотренная выше задача о частице в прямоугольной яме (см. рис. 5.2).

Обсуждая вопрос о поведении системы при больших квантовых числах, мы показали, что при этих условиях поведение частицы утрачивает особенности, характерные для микромира, — оно скорее напоминает ее классическое поведение. Это является частным случаем более общего принципа — принципа соответствия, выдвинутого Бором, который гласит:

«Любая новая теория, претендующая на большую´ общность, чем общепринятые теории, обязательно должна переходить в «старую» в тех условиях, в которых была построена и проверена на опыте «старая физика».

5.2. Квантовый осциллятор

Перейдем теперь к рассмотрению характерных задач квантовой механики, и прежде всего к задаче о квантовом осцилляторе. Общее для всех осцилляторов заключается в том, что их энергия складывается из двух частей. Одно слагаемое пропорционально квадрату отклонения осциллятора от положения равновесия — это потенциальная энергия. Если — величина такого отклонения, то потенциальная энергия равна

Коэффициент называется жесткостью осциллятора. Второе слагаемое — кинетическая энергия — может быть записано

где — скорость изменения величины во времени. Величину называют массой осциллятора. Как бы ни был конкретно устроен осциллятор, его угловая частота 2 и период коле-

86 Дискретность энергетических состояний [ Гл. 5

баний выражаются через жесткость и массу следующим образом:

, 2 (5.22)

Вслучае маятника можно считать, что роль жесткости играет ускорение свободного падения , а массы — длина маятника (поскольку для маятника как кинетическая, так и потенциальная энергия — обе пропорциональны реальной механической массе).

Таким образом можно рассмотреть сразу все осцилляторы независимо от их физической природы. Иначе говоря, осциллятором является частица, движущаяся в потенциале вида

где — частота классического осциллятора (на рис. 5.4 изображен потенциал гармонического осциллятора и дано схематичное изображение волновой функции стационарного состояния). В общем

Рис. 5.4 случае это задача о малых колебаниях вблизи положения устойчивого равновесия. Нам несущественно, как реализован осциллятор: представ-

ляет ли он собой груз на пружинке или колебательный контур. Согласно осцилляционной теореме, если частица движется в области размером , то на этой длине должно укладываться

целое число полуволн (т. е. должна образоваться стоячая волна):

Найдем, как зависит в нашем конкретном гармоническом потенциале характерный размер от энергии уровня . Характерная область находится из условия

5.2 ] Квантовый осциллятор 87

2

где — константа. Чтобы отыскать ее величину, воспользуемся принципом соответствия Бора, который в нашем случае означает, что при больших квантовых числах расстояние между соседними уровнями должно равняться классической частоте

Отсюда сразу следует, что 1.

Точное решение задачи о гармоническом осцилляторе приво-

Таким образом, при 0 энергия равна не нулю, а 0 2. Это связано с соотношением неопределенностей, и, как мы уже неоднократно подчеркивали, используя его, легко получить оценку нулевой энергии. Учитывая, что

и минимизируя полную энергию, находим характерную амплитуду нулевых колебаний осциллятора

Отметим, что спектр оказался эквидистантным. Кроме того, легко записать уравнение квантования энергии трехмерного осциллятора как сумму трех одномерных:

где 1 2 3 называют главным квантовым числом

осциллятора.

Мы применили к осциллятору, не интересуясь его устройством, принципы квантовой механики, установленные первоначально для некой частицы, находящейся в потенциальной яме (электрона). Естественно ожидать, что общие принципы должны быть такими же и для других частиц.

Особо следует подчеркнуть одно важное свойство квантового осциллятора. Когда энергия минимальна, классический осциллятор находится в покое в положении равновесия, между тем как квантовый в наинизшем состоянии при 0 совершает колебания — «нулевые колебания». Кинетическая и потенциальная энергии этих колебаний . Среднее значение координаты осциллятора равно нулю, а среднее значение квадрата координаты дается приведенной выше формулой. Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо проверено на опыте и чрезвычайно важно для современной физики.

Если мы рассмотрим звуковые колебания твердого тела как набор квантовых осцилляторов, то получим, что при абсолютном нуле температуры все атомы твердого тела не неподвижны, а совершают нулевые колебания. Если же рассматривать электромагнитные волны как набор осцилляторов в пустом пространстве, то мы придем к заключению, что в пустоте, даже когда в ней нет частиц или квантов, должны происходить «нулевые колебания» электромагнитного поля, и эти колебания были обнаружены экспериментально.

5.3. Заряженная частица в кулоновском поле

Перейдем к задаче о движении заряженной частицы в кулоновском потенциале (рис. 5.5). Для нас это одна из самых интересных задач, поскольку она описывает состояния электрона

в атоме.

Мы уже не раз обсуждали вопрос о том, как найти основное состояние квантовой системы: надо минимизировать, с учетом соотношения неопределенностей, полную энергию. Для электрона, находящегося в кулоновском поле ядра с зарядом , полная энергия определяется выражением

5.3 ] Заряженная частица в кулоновском поле 89

Мы получили значение боровского радиуса для электрона в поле ядра с зарядом . Такой атом называется водородоподобным. Энергию основного состояния можно найти, подставляя (5.39) в (5.37):

Аналогичным образом могут быть найдены возбужденные состояния. Волновые функции высших квантовых состояний, согласно осцилляционной теореме, имеют узлов. Поэтому характерная длина волны такого состояния будет равна 2 , что приводит к увеличению кинетической энергии этих состояний по сравнению с (5.40). Действительно, импульс электрона с длиной волны , согласно де Бройлю, может быть оценен как

Если провести минимизацию полной энергии, как это делалось выше, то мы получим для состояния с квантовым числом

что соответствует радиусу его боровской орбиты, а для энергии

Фактически, дискретные значения энергии электрона в атоме следуют из условия, что на длине орбиты, по которой движется электрон, должно укладываться целое число волн. Если радиус орбиты , то -му состоянию электрона соответствует условие

Мы предположили, что радиус орбиты имеет фиксированное значение. Согласно квантовой механике радиусы орбит «разбросаны» в окрестности классически устойчивой орбиты. В каче-

стве оценки взято значение , которое соответствует минимуму энергии .

В действительности электрон может находиться с разной вероятностью на любом расстоянии от ядра. Наше упрощение состоит в предположении, что это определенное, равное расстояние находится из условия минимальности полной энергии. Поэтому нельзя доверять числовому множителю впереди полученной формулы, хотя он случайно и оказался правильным. Однако всему остальному, а главное, зависимости от квантового числа , доверять можно.

Отметим также, что в формулу (5.44) для уровней энергии атома водорода, строго говоря, входит не масса электрона, а приведенная масса системы протон–электрон. Поэтому спектры энергии, например, обычного водорода и его тяжелого изотопа — дейтерия несколько отличаются друг от друга (так называемый

изотопический сдвиг).

Существование данного эффекта экспериментально наблюдается не только для водорода, что вполне понятно, поскольку полученное решение справедливо для любой «водородоподобной» системы — системы из двух частиц с противоположными зарядами, связанных лишь электростатическими силами. Это — однократно ионизованный гелий, двукратно ионизованный литий, Be и т. д. Сюда же относятся позитроний — система, мюонные и пионные атомы (или, как их еще называют, мезоатомы), т. е. атомы, в которых один из электронов замещен на отрицательный мюон или пион (их массы составляют соответственно 207 и 274 ). В этих и других такого рода водородоподобных системах эффект изотопического сдвига сказывается особенно заметно.

Почти водородоподобные спектры наблюдаются у щелочных металлов, в которых один слабосвязанный с атомом наружный электрон движется в поле ядра и 1 электронов, образующих замкнутую оболочку благородных газов. Различие заключается в том, что если в атоме водорода электростатическое поле является полем точечного заряда, то в щелочных металлах это не так. Формула для энергии -го уровня имеет вид

где — поправка на неточечность, зависящая от орбитального движения электрона (от типа симметрии его движения), а эф — эффективный заряд ядра, учитывающий экранирующее действие электронов замкнутой оболочки.

Одно замечание: при решении мы считали, что -функция — это функция только расстояния частицы от кулоновского центра, а не угловых переменных, т. е. искали сферически симметричные