студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

суждался в предыдущей главе: квадрат ее модуля

представляет собой плотность вероятности найти частицу в точке , т. е. 2 есть вероятность того, что значение координаты частицы заключено между и

(мы рассматриваем для простоты одномерный случай). Для того чтобы найти среднее значение какой-либо величины, надо просуммировать все ее возможные значения, умноженные на вероятность их появления. Так как координата частицы принимает непрерывный ряд значений, то в нашем случае среднее значение координаты частицы, состояние которой описывается волновой функцией , определяется интегралом

Аналогичные выражения имеют место как для и , так и для2, 2, 2, 3 и т. д. Отсюда следует, что среднее значение произвольной функции координат , , , которая всегда может быть представлена в виде ряда по степеням , и , вычисляется по формуле

Состояние частицы характеризуется не только координатой, но и импульсом, значение которого определяет ее кинетическую энергию. Посмотрим внимательно на правую часть уравнения Шрёдингера (4.5), которую в одномерном случае можно переписать в виде

(4.9) Здесь мы символически обозначили двукратное последовательное применение операции дифференцирования с умножением на

как квадрат этой операции, которая в конце формулы (4.9) кратко обозначена как и называется оператором.

Поясним более подробно, что означает слово «оператор». Математики различают два основных способа действия на функцию, если «действие» понимать в самом широком смысле слова. В результате одного способа из функции получается также функция от той же самой переменной, но другая. Тогда говорят, что на функцию подействовали оператором. Например, функцию

умножили на число , отличное от единицы, и получили новую функцию . Это называется оператором умножения на число. От функции взяли первую производную — применили к ней оператор дифференцирования — и получили функцию .

где , а интегрирование проводится по всему пространству.

Таким образом, среднее значение импульса должно вычисляться по формуле

где знак означает векторный дифференциальный оператор, компонентами которого являются производные по трем декартовым координатам, то есть

функция оператора , обладающая собственным значением 0. Так, например, плоская волна

описывающая свободное движение частицы с импульсом вдоль оси , является собственной функцией оператора

с собственным значением .

Покажем, что, величина является для плоской волны собственным значением оператора импульса, т. е. решением уравнения

0

Для плоской волны , и это уравнение принимает вид

0 0 0

Обратимся опять к уравнению Шрёдингера (4.6). Его правая часть представляет собой оператор кинетической энергии

2 2 , действующий на волновую функцию . А поскольку полная энергия свободной нерелятивистской частицы тождественна энергии кинетической, то вполне естественно рассматривать оператор, стоящий в левой части уравнения (4.6), как оператор полной энергии частицы:

В самом деле, по крайней мере для плоской волны

,

иными словами, является собственной функцией определенного таким образом оператора энергии с соответствующим собственным значением. Отсюда, между прочим, ясно, что для состояния с определенной энергией зависимость волновой функции от времени выражается множителем, пропорциональным

. К этому вопросу мы вернемся позднее.

Теперь попытаемся разумно обобщить полученное нами уравнение (4.6), которому подчиняется волновая функция свободной частицы, на случай частицы, движущейся в силовом поле. В классической механике полная энергия такой частицы есть сумма кинетической и потенциальной энергий: . Поэтому естественным обобщением уравнения (4.14) является

добавление в правую его часть члена . Если потенциальная энергия является функцией только координат частицы (а именно такие случаи мы здесь и будем рассматривать), то, как указы-

валось выше, действие оператора на волновую функцию сводится к умножениию на , , . Таким образом, уравнение Шрёдингера для частицы в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией , , , имеет вид

В классической механике функция Гамильтона консервативной системы , равна полной ее энергии . Уравнение Шрёдингера представляет собой по сути это же утверждение для операторов, действующих в пространстве волновых функций:

. Оператор , который, как мы видели, для случая одной частицы во внешнем силовом поле равен

2

2 , , ,

в квантовой механике называют оператором Гамильтона или

гамильтонианом.

Заметим, что в приведенном здесь рассуждении можно было бы воспользоваться плоской волной вида

,

т. е. вместо оперировать с функцией . В этом случае мы

т. е. уравнение, сопряженное (4.16). Разумеется, безразлично, что искать — или , так как найдя одно, мы одновременно находим другое, и, что самое главное, физический смысл имеет лишь произведение . Если теперь выполнить несложное ма-

4.1 ] Уравнение Шрёдингера и его основные свойства 65

тематическое упражнение, а именно: умножить уравнение (4.16) слева на , а уравнение (4.17) — на , вычесть из первого второе, то после простых преобразований мы придем к соотно-

Фактически (4.18) представляет собой уравнение непрерывности для плотности вероятности

0, в котором роль плотности потока вероятности играет вектор

Теперь посмотрим, какова, согласно (4.19), будет плотность потока свободно распространяющейся частицы, описываемой, как мы уже знаем, плоской волной. Пусть частица массы , обладающая импульсом , движется вдоль оси . Ее волновая функция имеет вид

где — скорость частицы. Таким образом, в случае свободно движущейся частицы формула (4.19) находится в полном соответствии с классикой.

Сравним теперь уравнение Шрёдингера (ограничившись случаем свободных частиц) с уравнением для электромагнитных

не удовлетворяет, поскольку последнее, в отличие от (4.21), содержит лишь первую производную по времени, и поэтому его решение принципиально комплексно. Данный факт является весьма существенным для понимания смысла квантовомеханического уравнения. Хотя в дальнейшем мы и будем говорить о волнах бегущих или стоячих, о пучностях или узлах, но будем делать это исключительно для наглядности. Никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, волновая функция не описывает. Истинный смысл решения уравнения Шрёдингера — — есть плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства.

3 Основы физики. Т. II

Перечислим основные свойства волновых функций. По своему смыслу волновая функция должна быть ограниченной, непрерывной и однозначной. Из того факта, что плотность потока вероятности выражается через градиент , следует непрерывность первых производных волновой функции. Величина ( — потенциал) всегда должна быть конечной. Поэтому 0 в тех точках, где . И наконец, как уже указывалось выше, волновая функция должна быть нормированной.

Для состояния с определенной энергией зависимость вол-

Как было показано выше, для свободной частицы

, ,

Подставляя (4.22) в уравнение Шрёдингера (4.16) и сокращая временной множитель, получаем уравнение для пространственной части волновой функции (4.22)

Состояния с определенной энергией называются в квантовой механике стационарными состояниями, а уравнение (4.23) —

стационарным уравнением Шрёдингера, которое может быть записано в виде

где оператор — уже знакомый нам гамильтониан.

С математической точки зрения решение стационарного уравнения Шрёдингера представляет собой задачу на отыскание

собственных функций оператора и их собственных значений. Как известно из теории дифференциальных уравнений, конечные и однозначные во всей рассматриваемой области решения уравнения (4.24), вообще говоря, возможны лишь при определенных значениях энергии . Но «вообще говоря» не означает «всегда». На самом деле, бывает и так, что стационарное уравнение Шрёдингера (4.23), или (4.24), имеет решения, соответствующие любым значениям . Примером может служить волновая функция свободного движения (плоская волна), удовлетворяющая уравнению

при любых значениях . Такой случай носит название случая сплошного спектра. К нему относятся квантовомеханические задачи о рассеянии частиц, т. е. задачи об инфинитном движе-

68 Уравнение Шрёдингера. Туннельный эффект [ Гл. 4

Чтобы показать дискретность энергетических уровней, введем вместо энергию

Заменяя ее разрешенными значениями из (4.27), получим

раз больше. Промежуточных значений энергии быть не может. Значения энергии называют собственными значениями, а

— собственными функциями.

Если для энергии в стационарных состояниях мы имеем вполне определенные значения, то этого нельзя сказать об импульсе. Определенной является только величина 2 . Импульс не имеет определенного значения. Волновая функция частицы с точным заданным значением импульса всегда по необходимости комплексна, как это имеет место в плоской волне. Таково общее свойство квантовой механики.

На только что рассмотренном примере видно, что дискретность энергетических уровней вызвана граничными условиями. Этот пример показывает, как дискретные квантовые состояния могут быть поняты с точки зрения волновой механики. Нечто подобное должно иметь место и в атоме. Однако здесь положение оказывается существенно сложнее, чем в нашем примере, так как в атоме нет определенных границ. С другой стороны, в атоме водорода, например, электрон движется в электрическом поле

протона (заряд ); потенциальная энергия электрона в таком поле определяется формулой2 4 0 . На рис. 4.2 показана потенциальная энергия электрона в поле с кулоновским потенциалом.

Поскольку электрон притягивается ядром (и связан с ним), то его энергия должна быть отрицательной. Но его кинетическая энергия Рис. 4.2 всегда положительна. Поэтому, если мы рассматриваем движение электрона классически,

он может двигаться только в области, на границах которой его кинетическая энергия обращается в нуль (на рис. 4.2 эти границы задаются для ядра c зарядом условиями 1 0 и

2 2 4 0 ). Данное условие подобно граничным условиям, рассмотренным ранее. По существу, оно означает, что электрон не может покинуть атом, если его энергия отрицательна (связанный электрон). В волновой картине это будет означать, что амплитуда волны должна обращаться в нуль на больших расстояниях от атома. Последнее условие приводит к существованию только дискретных уровней энергии электрона в атоме, но, конечно, расстояния между энергетическими уровнями будут совершенно иными, чем в приведенном выше примере.

4.2. Движение частицы в поле «прямоугольной ступеньки»

С помощью стационарного уравнения Шрёдингера мы теперь можем приступить к решению конкретных задач. Начнем с задачи о движении частицы в ступенчатом потенциале высотой 0, т. е. решим так называемую задачу об отражении от барьера. Будем для простоты рассматривать одномерное движение в потенциале вида

Пусть полная энергия частицы 0. Согласно классической механике область 0 для нее недоступна. Будем искать решение отдельно в областях 1 и 2.

В первой области 0 уравнение Шрёдингера принимает

Таким образом, фактически имеется падающая волна (ее амплитуду мы приняли равной единице) и отраженная с амплитудой .

Во второй области ( 0):

70 Уравнение Шрёдингера. Туннельный эффект [ Гл. 4

вида 2 . Второе решение физически неприемлемо, поскольку на бесконечности волновая функция должна обращаться в нуль, как указывалось ранее. Поэтому решение уравнения (4.34) имеет вид

где — пока неизвестная постоянная.

Итак, мы получили два решения в разных областях, и нам надо согласовать их на границе, или, как говорят математики, надо сшить два решения. Выше указывалось, что волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны. Поэтому мы можем потребовать выполнения такой непрерывности в точ-

Отсюда сразу следуют соотношения для амплитуд и :

Интересно вычислить модуль отраженной волны, который определяет ее энергию (для простоты введем обозначение 2 1 ):

Итак, модуль отраженной волны равен единице. В установившемся (стационарном) состоянии вся энергия падающей волны отражается, однако «под ступенькой» существует экспоненциально затухающая волновая функция с амплитудой

Полученный результат аналогичен случаю полного внутреннего отражения в оптике.