студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

3.3 ] Соотношения неопределенностей и принцип дополнительности 51

отражает ситуацию, возникающую в таких экспериментах вследствие корпускулярно-волнового дуализма. Выше мы рассмотрели опыт по определению положения электрона с помощью рассеяния света на нем. Подчеркнем еще раз, что квант света, сталкиваясь

сэлектроном, испытывает комптоновское рассеяние, передавая при этом электрону часть своего импульса. Чем точнее определяется положение электрона, тем более коротковолновый измерительный квант мы должны использовать и тем больший импульс ему сообщается. В пределе, когда электромагнитный квант имеет бесконечно малую длину волны и бесконечно большую энергию, электрон сможет получить какой угодно импульс. Последний становится совершенно неопределенным. Таким образом, в микромире получение информации о координате частицы неизбежно связано с потерей информации о ее импульсе из-за влияния измерительного прибора, который приводит к неконтролируемому изменению этого импульса.

Обсудим с точки зрения соотношения неопределенностей приведенный выше пример с прохождением электронов через два отверстия. По интерференционной картине на фотопластинке можно найти длину волны электронов, а значит, и связанный

сней, согласно де Бройлю, импульс . При этом, однако, мы уже не можем сказать, через какое из двух отверстий прошла частица. Всякая попытка локализовать электрон — например, закрыв одно из отверстий в мысленном опыте, — немедленно приводит к ликвидации интерференционной картины и невозможности определить импульс. Таким образом, соотношение неопределенностей правильно отражает физическую ситуацию. По сути дела, оно представляет собой математическое выражение корпускулярно-волнового дуализма, а последний должен рассматриваться как экспериментальный факт.

Следует отметить, что соотношения неопределенностей часто записывают в форме, несколько отличной от (3.13) и (3.14), а именно

, , (3.15) Бессмысленно ставить вопрос, какая из записей более правильная. Дело в том, что в рассуждениях или мысленных опытах, которые используются для получения этих соотношений, неопределенности координаты и импульса вводятся обычно достаточно произвольным образом. Поэтому получаемые неравенства можно считать справедливыми лишь по порядку величины. В этой связи необходимо упомянуть строгие соотношения, полученные немецким математиком Г. Вейлем (1885–1955) для средних квадратичных отклонений координат и импульсов от их средних значений:

Соотношение, аналогичное соотношению неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса частицы, существует, как показал Бор, и для произведения неопределенности энергиии неопределенности времени взаимодействия объекта с измерительным прибором

Для пояснения последнего утверждения проведем еще один мысленный эксперимент.

Допустим, что в экране, на который падает частица, имеется отверстие, достаточно широкое, чтобы пренебречь неопределенностью поперечного импульса, возникающего при прохождении частицы через экран. Пусть отверстие закрывается заслонкой на определенное время . Поскольку момент взаимодействия частицы с краями отверстия тем самым имеет такую же неопределенность , то неопределенность координаты частицы в продольном направлении , где — скорость частицы. Предполагается, что при прохождении отверстия скорость мало изменилась. Согласно соотношению Гейзенберга неопределенность импульса частицы . Но неопределенность импульса создает неопределенность энергии

, а это и есть соотношение Бора. Соотношение неопределенностей для энергии и времени мо-

жет быть получено и другим путем. Предположим, что мы измеряем время при помощи частицы, движущейся с известной скоростью. Для этого нужно просто знать, когда частица пройдет расстояние относительно ее первоначального (точно известного) положения. Неопределенность во времени тогда дается выражением . Но для минимум неопределенности равен . Следовательно, . А поскольку

, получаем . Отметим, что соотношение неопределенностей энергия–время приводит к выводу о возможности нарушения закона сохранения энергии на величину

в течение времени .

Приведем теперь два примера, демонстрирующие некоторые физические следствия, к которым приводят соотношения неопределенностей.

Пусть частица находится в определенном состоянии, описываемом соответствующей волновой функцией. В этом состоянии интервалы возможных значений дополнительных величин (например, средние квадратичные отклонения импульса и координаты частицы от их средних значений) будут удовлетворять соотношению неопределенностей. Так, в основном состоянии атома водорода волновая функция дает интервал возможных значений координаты электрона, который связан с интервалом возможных значений импульса соотношением . Отсюда можно

3.3 ] Соотношения неопределенностей и принцип дополнительности 53

оценить радиус атома , характеризующий интервал возможных значений координаты . В основном состоянии потенциальная энергия электрона равна 2 4 0 , а кинетическая —2 2 , где по порядку величины равно возможному значению импульса . Таким образом, полная энергия электрона 2 4 0 2 2 2 , и находя ее минимум в зависимости от , получаем оценку для радиуса 4 0 2 2 и для энергии ионизации 4 4 0 2 2 атома водорода.

Рассмотрим другой пример. Атом в возбужденном состоянии имеет неопределенную энергию: эта неопределенность объясняется возможностью перехода на нижние уровни, сопровождающегося испусканием кванта света. Неопределенность энергии связана соотношением Бора со временем жизни атома по отношению к испусканию света: .

Соотношения неопределенностей — частный случай и конкретное выражение общего принципа дополнительности, сформулированного Бором в 1927 г. Именно этот принцип позволяет примирить, казалось бы, непримиримое: ведь электрон проявляет себя в разных экспериментах то как частица, то как волна. Квантовая механика осуществляет синтез этих понятий и дает возможность предсказывать исход любого опыта, в котором проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства частиц. В качестве объединяющей основы здесь выступает концепция вероятности. Причем в квантовой механике она гораздо глубже связана с фундаментальными физическими принципами, чем в классической теории (например, в кинетической теории газов). Выявлением этой взаимосвязи мы обязаны Н. Бору и В. Гейзенбергу. Следуя им, необходимо прежде всего задать себе вопрос: какой, собственно говоря, смысл мы вкладываем в слова «описание процесса в терминах частиц» или «описание процесса в терминах волн»? До сих пор о частицах и волнах говорилось как о чем-то само собой разумеющимся. Мы нисколько не сомневались в правомерности этих понятий и не задумывались над вопросом, есть ли какие-либо основания считать, что волны и частицы действительно существуют. Все это несколько напоминает ситуацию, предшествовавшую созданию специальной теории относительности: никто не сомневался в разумности и однозначности утверждения о том, что некоторые два события произошли одновременно. Не возникал вопрос, можно ли экспериментально проверить факт одновременности двух событий, происшедших в различных точках пространства, и имеет ли, вообще, смысл понятие одновременности. Но хорошо известно, что именно глубокий анализ этих вопросов привел Эйнштейна к созданию теории относительности. Точно так же для создания

квантовой теории пришлось подвергнуть критическому анализу понятия волны и частицы.

С классическим понятием частицы неразрывно связано предположение, что она обладает строго определенным импульсом и находится в строго определенной точке пространства. Однако действительно ли возможно точно измерить и положение частицы, и ее скорость в данный момент времени? Если это невозможно (а так оно и есть на самом деле) или, иначе говоря, если мы в лучшем случае можем определить одну из этих величин и если, определив ее, мы тем самым теряем право судить о значении другой, то у нас нет ни малейшего основания утверждать, что изучаемый объект является частицей в обычном смысле этого слова. Столь же мало оснований для такого утверждения и в случае, когда значения обеих величин могут быть измерены одновременно лишь с ограниченной степенью точности, и при этом речь идет не о несовершенстве измерительных приборов, а о принципиальной неточности одновременного измерения координаты и импульса исследуемого объекта.

Причина возникающей неточности в определениях заключается в том, что пытаясь объяснить то или иное явление с помощью наглядной картины, мы вынуждены оперировать словами используемого нами языка. Но наш язык — это слепок с повседневного опыта человека. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, имеющих в нем адекватный эквивалент. Так, в результате анализа движений, доступных прямому наблюдению, она научилась сводить все процессы к двум элементарным явлениям — движению частиц и распространению волн. Не существует иного способа наглядно описать движение. На самом деле, даже в области атомных масштабов, где классическая физика терпит крах, мы тем не менее вынуждены пользоваться классическими образами.

Итак, в квантовой механике все процессы можно интерпретировать либо в терминах частиц, либо в терминах волн. Но с другой стороны, нельзя доказать, что в каком-либо конкретном случае мы имеем дело с волной, а не с частицей, или наоборот. Ведь мы оказываемся не в состоянии определить одновременно именно те свойства объекта, которые в своей совокупности позволяют сделать выбор между двумя представлениями. Поэтому можно утверждать, что к волновому и корпускулярному описаниям следует относиться как к равноправным и дополняющим друг друга точкам зрения на один и тот же объективный процесс, который лишь в каких-то предельных случаях допускает адекватную наглядную интерпретацию. Граница, разделяющая две концепции (волн и частиц), определяется именно ограниченными возможностями измерения. Подчеркнем еще раз, что речь идет не о технических возможностях, а о принципиаль-

3.3 ] Соотношения неопределенностей и принцип дополнительности 55

ной ограниченности физических измерений. По своему существу, корпускулярное описание означает, что измерения имеют целью установить энергетические и импульсные соотношения для исследуемого объекта (как, например, в комптон-эффекте). Эксперименты же, в которых нас интересуют место и время каких-то событий (например, опыты по прохождению электронных пучков через тонкие пленки с последующей регистрацией отклоненных электронов) всегда можно осмыслить, опираясь на волновые представления. Таким образом, волновое и корпускулярное описания микрообъектов совместно дают полную картину их свойств. В этой двузначности поведения микрообъектов и заключается принцип дополнительности Бора — один из краеугольных камней фундамента квантовой теории.

Из принципа дополнительности вообще и из боровского толкования процесса измерения в частности следуют все непривычные особенности квантовой теории. Предсказания квантовой механики дают не однозначный ответ, а лишь вероятность того или иного результата. Как бы точно мы ни определяли состояние частицы до ее падения на экран со щелью, нельзя предсказать, в какой именно точке фотопластинки, помещенной за экраном, она окажется. Эта неоднозначность противоречит детерминированности классической физики. Успехи небесной механики XVII–XVIII вв. внушили глубокую веру в возможность однозначных предсказаний. В квантовой механике задать «координаты и скорости всех частиц» невозможно. Самое большее, что можно сделать, — задать в начальный момент волновую функцию. Волновая функция есть максимально полное допустимое описание состояния частицы. Она заменяет классическое описание, которое задается координатами и скоростями. Квантовая механика позволяет однозначно найти волновую функцию и в любой более поздний момент.

Вероятностное описание физических явлений (статистическая физика) до квантовой механики возникало в сложных системах, где малое изменение начальных условий приводит за достаточно большое время к сильному изменению состояния. Такие системы описываются строго однозначными уравнениями классической механики, и вероятность появляется при усреднении по интервалу начальных состояний.

В противоположность этому, согласно квантовой механике, вероятностное описание справедливо как для сложных, так и для простых систем и не требует никакого дополнительного усреднения начальных условий. Доквантовая физика знала только относительность, связанную с движением, — относительность скорости, относительность формы. В квантовой теории результат измерения зависит от того, как и что измерить в одной и той же системе координат.

И, наконец, как уже говорилось, невозможность одновременного определения координаты и импульса частицы не связана с несовершенством наших знаний или измерительной аппаратуры. Причина совсем иная. Сама по себе микроскопическая частица, как правило, не обладает никакой координатой или импульсом, а характеризуется величиной другого типа — волновой функцией. Только в результате физического контакта — взаимодействия частицы с макроскопическим прибором — появляется возможность говорить о ее положении или скорости. Очевидно, что точность, с какой могут быть найдены эти или другие величины, зависит от вида макроскопического прибора. Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает общие ограничения на такую точность, вытекающие из квантовой теории и лежащего в ее основе корпускулярно-волнового дуализма. При этом волновая функция характеризует вероятность любого результата эксперимента, а поскольку она описывает свойства микроскопического объекта самого по себе, одна и та же функция позволяет судить о вероятности результатов самых разных экспериментов, в которых определяются неодинаковые (в том числе и взаимно дополняющие) величины, и которые производятся с помощью разных макроскопических приборов.

В заключении этой главы мы рассмотрим вопрос о том, как же развивалась квантовая теория, и чем отличалось ее развитие от классического развития науки. Всякая теория состоит из двух моментов:

1.Устанавливается связь символов теории (величин) с физическими объектами; эта связь (соответствие) осуществляется по конкретным рецептам — время измеряется часами, координаты — линейками и т. д.

2.Строятся теоретические уравнения, то есть математический аппарат, в который входят некие символы, отождествляемые с физическими величинами ( , , , , , , ...). Это,

вчастности, уравнения Ньютона, Максвелла, Шрёдингера. Например, пусть мы имеем уравнение

2

(3.18)

2

Пока это только математика, но когда мы связываем константу с тяготением, — со временем, — с координатой, то интеграл данного уравнения , , 1, 2 0 становится физическим законом — все пары измеренных и связаны этим соотношением.

В классической физике установление связи математических величин с реальными вещами, как правило, предшествовало уравнениям, т. е. установлению законов, причем последнее составляло главную задачу, ибо содержание величин заранее пред-

ставлялось ясным, независимо от законов. Иначе говоря, мы просто свыклись с такими величинами, как длина, время, и т. д., и для них искали уравнения.

Современная теоретическая физика исторически пошла по другому пути. Теперь прежде всего пытаются угадать закон, т. е. подмечая в физических явлениях, часто качественно, характерные особенности, ищут математический аппарат, который отражал бы эти особенности. Так поступал австрийский физиктеоретик Э. Шрёдингер (1887–1961) в поисках математических уравнений, которым была бы присуща дискретность решений.

Вообще говоря, такой путь ничуть не хуже первого. В любом случае — до или после нахождения уравнений — необходимо установление связи «чисел с природой». В отношении микромира, к сожалению, ситуация далеко не так проста. Для классики координата — это число на том делении масштабной линейки, с которым в данный момент совпадает рассматриваемая точка. Тем самым установлен рецепт перехода от символа к реальным объектам, этот рецепт мы и называем измерением. Назвав в микромире координатой, мы не установили связь с природой, а лишь провели аналогию, сославшись на макромир. Такое же положение и с импульсом. Мы взяли прежнее слово, что создает видимость содержания. Всякое измерение изменяет и , и в этом вся сложность.

Соотношение неопределенностей нас потому и смущает, что мы называем и координатой и импульсом, и думаем, что речь идет о соответствующих классических величинах.

Задачи

1. Оценить минимальное расстояние , которое можно разрешить в электронном микроскопе при ускоряющем напряжении 100 кВ и числовой апертуре 0,1.

Указание. Числовой апертурой объектива называется величина , где — абсолютный показатель преломления среды, находящейся между предметом и объективом, а 2 — апертурный угол, то есть угол, под которым диаметр входного зрачка виден из точки пересечения главной оптической оси прибора с плоскостью предмета.

Решение. Как известно из оптики, предельное расстояние, разрешаемое в оптическом микроскопе 0,61 . В случае электронного микроскопа в качестве «освещения» используется пучок ускоренных электронов, и таким образом, в формулу для в качестве следует подставить дебройлевскую

длину волны электрона, т. е. 0,61 0,61 2 , где и — масса и заряд электрона соответственно. В результате 0,03 нм. В оптическом микроскопе такое расстояние 0,1 мкм.

2. С помощью соотношения неопределенностей оценить размеры и энергию атома водорода в основном состоянии.

Решение. Полная энергия электрона в атоме водорода 2 2

2 4 0 . Поскольку неопределенность положения электрона порядка размеров атома (т. е. ), а (так как в основном состоянии кинети-

58 Волны де Бройля. Соотношения неопределенностей [ Гл. 3

ческая энергия минимальна), то , и 2 2 2 2 4 0 . В основном состоянии энергия минимальна, т. е. 0. Отсюда получаем,

что для этого состояния

что по абсолютной величине совпадает с постоянной Ридберга (1.17).

3. Оценить минимальный размер пятна, создаваемого на детекторе пучком атомов серебра, испускаемых печью с температурой 1200 Æ . Расстояние от выходной щели печи до детектора 1 м.

Решение. Диаметр пятна складывается из ширины выходной щели и уширения пучка за счет его непараллельности. Последняя определяется как

, где — импульс атома, — его поперечная составляющая. Согласно соотношению неопределенностей , и таким образом,

. Отсюда видно, как размер пятна зависит от ширины щели. Его минимальное значение определяется из условия

0 , откуда немедленно следует, что ширина щели, при которой пятно минимально,

,

где 3 — импульс атома серебра, — его масса. В результате получаем

сигнала от длины волны ). Теперь при помощи закона дисперсии и выражения для плоской волны запишем уравнение для волновой функции свободной частицы массы . В общем случае связь между энергией и импульсом для таких частиц имеет вид

А поскольку для волн де Бройля и , то разделив (4.1) на 2, получаем

Если же ограничиться нерелятивистским случаем ( 2), то тогда

2 1 2 2 2 ,

2

откуда получается закон дисперсии для нерелятивистских частиц:

общности, можно отбросить несущественную константу 0 и переписать закон дисперсии как

Пусть — плоская волна де Бройля, т. е.

с учетом (4.4) легко получить

Это и есть уравнение Шрёдингера для свободной частицы. Его можно переписать в более компактном виде: