студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

2.3 ] Эффект Комптона 31

фотонов, рассеянных под разными углами по отношению к падающему пучку. Согласно волновой теории механизм рассеяния электромагнитного излучения состоит в раскачивании электронов полем падающей волны. Поэтому казалось естественным ожидать, что частота рассеянного излучения должна совпадать с частотой излучения падающего. Но эксперименты Комптона (как и дальнейшие эксперименты других физиков) показали, что в спектре рассеянных фотонов имеются две энергетические группы: энергия (частота) одних фотонов равна энергии падающих, т. е. происходит как бы упругое рассеяние, и, кроме того, имеются фотоны меньшей энергии — «неупруго» рассеянные фотоны, чья энергия зависит от угла рассеяния.

на различные углы относительно падающего пучка полученные

Рис. 2.2

А. Комптоном. Рентгеновское излучение, выходящее из молибденового анода трубки Т при бомбардировке электронами и имеющее непрерывный спектр, проходило через систему щелей и после фильтрации Ф становилось монохроматическим (характеристическое излучение — линия ). После рассеяния на углеродной мишени С на угол энергия фотона анализировалась в детекторе Д с помощью вращающегося монокристалла К. При

32 Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц [ Гл. 2

этом оказалось (как это качественно видно из рис. 2.2 б), что величина изменения длины волны рассеянного излучения возрастает с увеличением угла рассеяния так, что 1

и не зависит от вещества рассеивателя.

Результаты экспериментов Комптона, совершенно необъяснимые с позиций классических волновых представлений, становятся понятными, если считать, что излучение имеет чисто корпускулярную природу: каждый электрон рассеивает «целый» фотон, то есть здесь следует рассмотреть соударения фотона с электроном, подобно двум шарам в механике. Однако при этом нельзя забывать, что фотон движется со скоростью света и что в результате столкновения электрон может стать релятивистским.

Итак, пусть и — частота и импульс падающего фотона,и — частота и импульс фотона, рассеянного на угол , а электрон вещества, с которым провзаимодействовал фотон, имеет энергию , импульс . Законы сохранения легко написать, исходя из общих уравнений (2.6):

Вычтем квадраты этих выражений, разделив первое на и используя (2.2):

После сокращения одинаковых членов с обеих сторон этого равенства получаем

Итак, мы нашли выражение для частоты рассеянного фотона в зависимости от угла рассеяния. Отсюда, в частности, следует, что для фотонов большой энергии, таких что 2, и при рассеянии на угол 180Æ (обратное рассеяние), когда

2.3 ] Эффект Комптона 33

1, энергия рассеянного фотона равна половине энергии покоя электрона

Это минимально возможная энергия рассеянного фотона в рассматриваемом случае.

Соотношение (2.16) можно переписать для длин волн падающего и рассеянного квантов 2 и 2 :

Величина 2 10 10 см называется комптоновской длиной волны электрона. Эта величина определяет масштаб изменения длины волны фотона при рассеянии:

Из уравнения (2.16) следует, что, если 2 1, то изменение частоты мало, т. е. чтобы наблюдать изменение частоты рассеянного фотона, надо работать с жесткими фотонами. Сам Комптон наблюдал это явление с рентгеновскими лучами, и результаты его опытов прекрасно согласуются с приведенными формулами. Эксперимент проводился на углероде (графите). В углероде есть и слабо связанные (внешние) электроны, на которых комптоновское рассеяние идет, как на свободных, и сильно связанные (внутренние), наличие которых приводит к рассеянию фотонов на атоме как целом, в результате чего в спектре рассеяния наблюдается несмещенная компонента. Наличие смещенной по энергии и несмещенной компонент отчетливо видно в приведенных на рис. 2.2 б результатах эксперимента.

В чем же заключается значение комптон-эффекта? В рамках принятого в XIX в. представления о чисто волновой природе электромагнитного излучения объяснить комптоновское рассеяние невозможно. С «классической» точки зрения электромагнитная волна должна воздействовать сразу на все электроны мишени. При этом доля энергии и импульса волны, передаваемая одному электрону, должна быть ничтожно малой. В комптоновском рассеянии, напротив, энергия и импульс передаются отдельному электрону, причем во вполне заметных количествах. Эксперимент показывает, что законы сохранения энергии и импульса выполняются не для волны «в целом», а в одиночном, так сказать, «элементарном» акте рассеяния, именно так, как это предписывает теория «биллиардных шаров»: следы электронов

2 Основы физики. Т. II

отдачи, возникающих при рассеянии фотонов, отчетливо видны на фотографиях, сделанных с помощью камеры Вильсона еще в 20-х годах.

Не менее существенный вывод из эффекта Комптона состоит в том, что фотон не поддается расщеплению: фотон с частотой всегда имеет энергию и импульс . Этот момент следует обсудить более подробно.

Итак, можно ли фотон с частотой расщепить на две части так, чтобы сумма их энергий была , но частота каждой из них оставалась равной ? Поясним нашу задачу. Соотношение

может быть получено в рамках классической теории. Но тогда позволительно сказать, что фотон есть просто волновой пакет или, иначе, цуг волн излучения.

Примем пока эту точку зрения. Получить классический цуг волн электромагнитного излучения легко: будем включать и выключать радиопередатчик на какое-то время . Попробуем сравнить реально существующий объект (фотон) с цугом электромагнитных волн, точно следующим законам классической электродинамики. Будем изучать наш объект — цуг волн — с помощью фотоэлемента, на который подается задерживающий потенциал , а — работа выхода (схема вакуумного фотоэлемента с задерживающим потенциалом изображена на рис. 2.3).

Фотоэлемент «сработает», если энергия пакета

Выберем задерживающий потенциал таким, чтобы выполнялось неравенство 2 3 . В этом случае фотоэлемент сработает, только если вся энергия цуга передастся электрону, а если

V

лишь половина — он не сработает. Проведем теперь следующий эксперимент: расщепим свет от источника пополам с помощью полупрозрачного зеркала, как это обычно делается в оптике (рис. 2.4).

Что же произойдет при падении одного цуга на зеркало? Разделится ли он пополам (иными словами, расщепится ли фотон на два)? По классической модели цуг волн должен расщепиться надвое, и ни один из фотоэлементов не сработает. Опыт полностью

2.4 ] Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения 37

область, а пропорционален вероятности обнаружить фотон в этой области.

4. Энергия, переданная в каком-либо месте пространства фотоном, всегда равна . Тем самым

где — вероятность нахождения фотона в данной области, а

— число фотонов.

2.4.Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения

Итак, мы пришли к выводам о корпускулярных свойствах света (и вообще электромагнитного излучения). Означает ли это отказ от волновой теории света? Разумеется, нет. Мы показали только, что на самом деле природа электромагнитного излучения значительно богаче, чем просто волновая или просто корпускулярная картина. Мы пришли, в частности, к совершенно новому выводу о том, что величины, квадратично зависящие от амплитуд электромагнитного поля, должны интерпретироваться как вероятности. Введенная нами порция (квант) света, или фотон — странный, необычный объект, проявляющий, с одной стороны, свойства частицы, ибо он обладает определенной энергией и импульсом, а, с другой стороны, — волны с присущими ей интерференционными свойствами. Но не надо думать, что свет проявляет «свободу воли»: ведет себя как хочет. Современная наука позволяет точно предсказать, в каком эксперименте проявляются корпускулярные свойства света, а в каком — волновые. Грубо говоря, при больших длинах волн (радиоволны, видимый свет) на первый план выступают явления интерференции

идифракции, связанные с волновой природой излучения. Чем больше частота излучения, тем заметнее становятся явления, в которых электромагнитное излучение ведет себя не как набор волн, а как поток квантов — частиц, обладающих энергией

иимпульсом . С точки зрения классических представлений корпускулярные и волновые свойства исключают друг друга. Но это говорит лишь о том, что классические представления нуждаются в пересмотре. Однако прежде, чем приступить к изложению основ новой, квантовой теории, позволительно спросить: «А как обстоит дело с обычными частицами (электронами, протонами и т. д.)? Не обнаруживают ли они наряду со своими корпускулярными свойствами еще и волновые?» Оказывается, что да, как мы увидим это в следующей главе.

38 Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц [ Гл. 2

Задачи

1. Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолетовым светом с длиной волны 250 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик? Работа выхода электрона для цинка 3,74 эВ.

Решение. Выбитые электроны не должны уходить на , т. е.

кин ; следовательно, 1,22 В.

2. Найти импульс фотона видимого света ( 500 нм) и сравнить его с импульсом молекулы водорода при комнатной температуре. При какой длине волны импульс фотона равен импульсу молекулы водорода при этой темпера-

туре? Масса молекулы водорода 2,35 10 24 г.

Решение. Импульс фотона 1,3 10 27 кг м/с. Импульс молекулы водорода 3 5,4 10 24 кг м/с. Импульсы будут равны

при длине волны фотона 3 0,12 нм.

3. Электромагнитная волна с круговой частотой 2 1016 с 1 промоду-

лирована синусоидально по амплитуде с круговой частотой 2 1015 с 1. Найти энергию фотоэлектронов, выбиваемых этой волной из атомов с энер-

1 эВ.

4.Фотоны с длиной волны 0,14 нм испытывают комптоновское рассе-

яние на угол 60Æ к первоначальному направлению. Рассеянные фотоны попадают в рентгеновский спектрограф, работающий по методу интерференционного отражения, разработанному английским физиком Л. Брэггом (1890–1971) и русским кристаллографом В.Вульфом (1863–1925) (условие Брэгга–Вульфа). При какой минимальной толщине кристаллической пластинки спектрографа можно обнаружить изменение длины волны рассеянного излучения (комптоновское смещение) в первом порядке, если постоянная кристаллической решетки 0,1 нм?

Решение. Разрешающая способность спектрографа должна быть больше, чем 1 1 2 2 2 , где — комптоновская длина волны. Величину можно оценить по формуле , где — порядок интерференции (в нашем случае 1), — число интерферирующих лучей, равное , — толщина кристаллической пластинки. Следовательно,

2 2 2 , т. е. 2 2 2 11,4 нм.

5.Фотон с энергией 2 2 ( — масса электрона) при рассеянии на покоящемся электроне теряет половину своей энергии. Найти угол разлета

между рассеянным фотоном и электроном отдачи.

Решение. В рассматриваемом случае полная энергия фотона и электрона

пульсы падающего и рассеянного фотонов равны 2 и соответственно, то отношение импульсов падающего фотона, электрона отдачи и рассеянного

фотона составляет 2 3 1, что соответствует углу разлета, равному 90Æ.

Г л а в а 3

ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

3.1.Волны де Бройля

В1923 г. французский физик Луи де Бройль (1892–1987) опубликовал работу, посвященную исследованиям квантовой теории, которая начиналась словами: «История оптических теорий показывает, что научные взгляды долгое время колебались между механической и волновой концепцией света, однако эти две точки зрения, вероятно, менее противоречат одна другой, чем думали ранее». Рассуждения де Бройля были очень просты

икрайне революционны одновременно. Весь опыт предшествующих поколений ученых показал, что свет представляет собой электромагнитную волну, но в ряде случаев он ведет себя как поток частиц — квантов с определенной энергией и импульсом. Квант света отличается от других частиц, скажем, от электронов, лишь тем, что его масса равна нулю. Вряд ли такое различие можно считать принципиальным.

Врезультате де Бройлем было выдвинуто чрезвычайно смелое утверждение, которое можно сформулировать в нескольких словах: «Известно, что фотон не только волна, но и частица. Почему же электрону, который является частицей, да и вообще любой частице, не быть также волной?». Таким образом, электрону должна соответствовать некоторая волна, характеризуемая частотой колебаний и длиной волны . Поэтому де Бройль связал с движением всякой свободной частицы энергии и импульса плоскую волну

причем ее частота и волновое число связаны с энергией и импульсом рассматриваемой частицы соотношениями, аналогичными тем, которые имеют место для световой волны, а именно:

Соотношения (3.2), выражающие по сути дела связь между волновыми и корпускулярными свойствами свободно движущейся частицы, одинаковы в релятивистской и нерелятивистской теориях. При этом под в релятивистской теории понимается полная энергия, а в нерелятивистской — обычно только кинетическая

энергия частицы (последнее объясняется тем, что в нерелятивистской механике энергия определена с точностью до аддитивной постоянной). Таким образом, плоская волна для свободной частицы может быть записана в виде

и такую волну мы будем называть волной де Бройля. Соотношения де Бройля (3.2) представляют особенный инте-

рес в трех отношениях. Во-первых, они как бы «узаконивают» корпускулярно-волновой дуализм, так как всякому телу, движущемуся с импульсом , ставится в соответствие плоская волна длиной

(3.4)

Во-вторых, из этих соотношений видно, в каких явлениях волновые свойства существенны, а в каких нет. Для большинства макроскопических объектов импульс, как правило, очень велик по сравнению с , а длина волны де Бройля мала — много меньше размеров самого тела. Так, например, длина волны де Бройля стальной дробинки диаметра порядка 1 мм (масса порядка 0,005 г), летящей со скоростью 100 м/с, составляет

10 25 мм (!). Естественно, что здесь волновые свойства ста-

новятся незаметными. В-третьих, соотношение (3.4) позволяет дать наглядную интерпретацию условия Бора для нахождения электронных орбит в атоме . Это условие эквивалентно требованию, чтобы на длине -й орбиты уложилось ровно длин волн де Бройля. Действительно, длина -й орбиты равна 2 . Приравнивая ее величине , находим

т. е. получаем условие квантования Бора (1.6).

Что представляют собой волны де Бройля, каков их физический смысл — об этом несколько позже. А пока отметим, что предполагая существование волновых свойств у материальных частиц, де Бройль исходил, в частности, из следующих соображений. Еще в двадцатых годах ХIХ столетия ирландский физик и математик У. Гамильтон (1805–1865) обратил внимание на замечательную аналогию между геометрической оптикой и механикой: основные законы этих двух различных областей физики можно представить в математически тождественной форме. Например, рассмотрение движения материальной частицы в поле сил, описываемых потенциалом , , , можно заменить рассмотрением распространения световых лучей в оптически неоднородной среде с выбранным соответствующим образом показателем преломления , , , и наоборот. В то же время хорошо известно, что геометрическая оптика не может объяснить