студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

Г л а в а 8

АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

8.1. Спин фотона

Обсудим теперь более подробно вопрос об излучении, возникающем при переходах атома из возбужденного состояния в основное либо в одно из нижележащих возбужденных состояний. Для этого необходимо прежде всего разобрать вопрос о собственном моменте импульса фотона, т. е. его спине.

Из оптики известно, что световые волны являются поперечными и могут иметь различную поляризацию. В качестве основных поляризационных состояний обычно рассматривают две взаимно перпендикулярные линейные поляризации. В квантовой механике за исходные поляризации удобнее выбирать не линейные, а циркулярные, т. е. соответствующие вращению векторов электрического и магнитного полей световой волны по или против часовой стрелки. Вектор момента импульса электромагнитного излучения направлен при этом по направлению (у правовращающегося) или против направления (у левовращающегося) движения фотона. Переходя на язык квантовой механики, мы должны сказать, что у фотона есть спин, причем проекция спина на направление движения может принимать два значения — плюс или минус единицу. Существование только двух возможных проекций спина, казалось бы, означает, что он равен 1/2, поскольку такое значение спина обеспечивает, согласно правилам квантования, необходимое число проекций на заданную ось 2 1 2. Однако подобное заключение полностью противоречит опыту, ибо в таком случае фотоны были бы фермионами. Тогда, в частности, при испускании фотона атомом полный угловой момент последнего мог бы меняться на 1/2, чего никогда не наблюдается. Кроме того, при этом фотон подчинялся бы принципу запрета Паули и никаких электромагнитных волн быть не могло — в таком случае максимальная передаваемая передатчиком энергия была бы равна . Следовательно, спин фотона должен выражаться целым числом.

Указанные необычные свойства фотона обусловлены равенством нулю его массы. Отличие безмассовой частицы от массовой заключается в том, что для первой невозможно найти такую систему отсчета, в которой она покоится, поскольку она движется со скоростью света, т. е. нельзя определить спин как

момент импульса частицы в системе отсчета, где она покоится. Поэтому у безмассовой частицы всегда есть только выделенное направление — направление ее скорости (волнового вектора). Подчеркнем, что различие между системой отсчета и системой координат состоит в следующем: система отсчета всегда связана с материальными телами, тогда как система координат представляет собой математический образ, не связаный с какими-либо материальными телами.

Таким образом, для безмассовой частицы можно говорить лишь об аксиальной симметрии относительно этого выделенного направления; иными словами, для фотона пространство обладает аксиальной симметрией. Выражение такой симметрии — сохранение проекции момента на направление импульса, которая может быть равна только 1. Такие значения проекции момента импульса фотона на направление импульса соответствуют правовращательной и левовращательной круговой поляризации. Значение «0» исключается поперечностью электромагнитных волн, так как нулевое значение проекции момента импульса фотона на направление его движения соответствовало бы продольной поляризации световой волны.

Отсюда следует достаточно сильное утверждение: понятие о спине фотона условно (для фотона нельзя последовательно различать спин и орбитальный момент как составные части его полного момента), и смысл имеет лишь полный момент импульса 1, 2, 3, (нуль невозможен).

Прежде, чем перейти к описанию различных состояний фотона, кратко остановимся на вопросе о четности состояния. Понятие «четность состояния» связано с операцией изменения направления осей координат на обратное (так называемая пространственная инверсия). Обозначим соответствующий оператор

через . Его действие на волновую функцию состоит в замене

, , . Чтобы выяснить, каким может быть

результат действия оператора на некоторую волновую функцию , подействуем им на дважды. Тогда, по определению операции инверсии, мы должны получить ту же самую функцию (двукратное отражение осей координат ничего не меняет),

т. е. 2 . Отсюда следует, что собственными значениями

оператора являются 1: . В соответствии с этим в квантовой механике различают четные и нечетные состояния (или состояния положительной и отрицательной четности). Так например, четность состояния атома водорода равна 1 , т. е.- и -состояния являются четными, а - и -состояния — нечетными.

8.1 ] Спин фотона 123

Процесс испускания или поглощения фотонов атомами должен происходить с соблюдением законов сохранения энергии, импульса и четности системы.

Теперь вернемся к состояниям фотона. Для обозначения различных состояний с определенными моментами и четностями принята следующая терминология: фотон с моментом и четностью, равной 1 , называют 2 -польным электрическим фотоном (или -фотоном); если же у фотона с моментом четность равна 1 1, то его называют 2 -польным магнитным фотоном (или -фотоном).

Иначе говоря, если обозначать состояние фотона с моментом и четностью как , то: фотоны электрического типа — это фотоны типа 1 , 2 , 3 , 4 , ; магнитного типа — это фотоны типа 1 , 2 , 3 , 4 ,

Названия «электрического» и «магнитного» типа произошли оттого, что вектор тока является нечетной пространственной функцией (он при отражении в зеркале меняет свое направление), а круговой ток (магнитный диполь)

направление своего вращения при отражении в зеркале не меняет (рис. 8.1).

Возможна иная интерпретация квантового числа : число указы-

но вращения, т. е., образно говоря, дает изображение атома с разных сторон:

0 — сферическая симметрия,

1 — cвойство симметрии вектора (диполя),

2 — пространственная симметрия квадруполя,

3 — пространственная симметрия октуполя и т. д.

Поэтому к слову «фотон» обычно добавляют «дипольный», «квадрупольный», «октупольный» и т. д. Поскольку структуру 0-мультиполя (сферическая симметрия) имеет кулоновское поле точечного заряда, действие кулоновского поля иногда трактуют как результат обмена промежуточным виртуальным0-фотоном. Таким образом на самом деле спин фотона (вернее, его момент импульса) может быть любым, а не только равным 1.

Если размер излучающей системы равен , а — частота излучения, то электрическое поле квадруполя меньше поля диполя в раз ( — скорость света). Этот множитель можно представить в виде:

Поскольку мы рассматриваем излучение атомов, то в данном случае — размер атома, — длина волны излучения. Мощность излучения пропорциональна квадрату электромагнитного поля, а следовательно, «скорость» потери энергии возбужденным атомом при дипольном излучении в 2 2 раз больше, чем при квадрупольном, и соответственно, относительная продолжительность излучения, называемая временем жизни атома в возбужденном состоянии, будет обратно пропорциональна этой величине.

При излучении в видимом оптическом диапазоне длин волн справедлива следующая оценка:

Если обозначить время жизни атома в возбужденном состоянии через , а обратную ему величину — вероятность перехода атома

Оно легко обобщается на переходы с любой мультипольностью. Соотношения (8.3) и (8.4) означают, что практически в атомах происходят лишь электрические дипольные переходы, т. е. переходы с испусканием дипольных 1-фотонов (вернее, если возбужденное состояние может «высветиться» через различные переходы, среди которых есть и 1, то именно он будет преобладающим). Поэтому часто говорят, что спин фотона равен единице, хотя — подчеркнем еще раз — спин фотона (вернее его полный момент импульса) может быть любым. В квантовой системе гораздо меньшего размера — в ядре — мы довольно

часто наблюдаем испускание квадрупольных квантов.

8.2. Правила отбора

Теперь мы можем разобраться, какие переходы в оптике возможны, а какие невозможны, и тем самым выяснить роль правил отбора при излучении (и поглощении), упоминавшихся в гл. 6. Правилами отбора полностью определяются оптические спектры атомов, т. е. то, какие переходы из высоковозбужденного состояния возможны, а значит, какие линии мы увидим в спектре испускания нагретых газов. Поскольку при дипольном излучении

фотон уносит момент импульса, равный 1, то разность полных моментов импульсов атома в начальном и конечном состояниях должна удовлетворять соотношениям:

Отсюда следует, что проекция J на любое направление изменяется не более, чем на единицу, т. е.

Необходимо добавить, что переходы нач 0 кон 0 запрещены, поскольку в силу поперечности электромагнитных волн не может излучиться фотон с 0. В то же время переход

с 0 при нач 0 означает поворот вектора J системы на некий определенный угол.

Рассмотрим теперь, какие отсюда следуют правила отбора для векторов S и L. Изменение вектора спина S связано с переориентацией собственных магнитных моментов электронов, т. е. на классическом языке это соответствует изменению токов в системе, что связано с излучением магнитных квантов. Как мы показали, при оптических переходах с подавляющей вероятностью происходит излучение только электрических дипольных фотонов, а значит, для вектора S должно выполняться условие

Таким образом, правила отбора по J (8.5), (8.6) и S (8.7) определяют следующие правила отбора по орбитальному квантовому числу и по его проекции:

Особо отметим, что переходы с 0 невозможны для атомов, в которых испускание света связано с изменением движения всего одного электрона, в частности, для водорода и водородоподобных атомов, а также для атомов с одним электроном сверх заполненных оболочек (т. е. для атомов щелочных металлов). Этот запрет связан с законом сохранения четности волновой функции. При обсуждении эффекта Зеемана мы подробно рассмотрим, как правила отбора влияют на вероятности переходов атомов из одного состояния в другое.

Мы рассмотрели правила отбора для электромагнитных переходов из возбужденного состояния атома. Точно такие же правила отбора справедливы и при поглощении фотонов атомами.

Но в заключение еще раз подчеркнем, что все полученные правила отбора справедливы только для дипольных электромагнитных переходов. В то же время при возбуждении атомов электронами, как это имеет место в газовом разряде, при тепловом возбуждении возможны практически любые изменения полного момента и его проекции.

8.3. Эффект Зеемана

Теперь у нас полностью готова база для рассмотрения поведения атома в магнитном поле. Прежде всего обратимся к влиянию внутренних полей. Со спиновым механическим моментом электрона связан магнитный момент

Это означает, что при наличии магнитного поля произойдет взаимодействие спина с последним, и появится дополнительная «магнитная» энергия. На примере атома водорода мы видели, что существование магнитного момента электрона приводит к появлению спин-орбитального взаимодействия, в результате которого уровни с 0 расщепляются по энергии на два подуровня с 1 2 — как говорят, возникает тонкая структура уровней. Такое расщепление мал´о по сравнению с расстоянием между уровнями с разными (см. формулу (6.54)). Сразу отметим, что энергия спин-орбитального взаимодействия, а значит и величина расщепления, зависят от ; это хорошо видно из той же форму-

Спин-орбитальное взаимодействие снимает вырождение уровней по (вспомним, что в чисто кулоновском поле энергия зависит только от , 0 1, с каждым связано2 1 -кратное вырождение по , итого с учетом спина получается 2 2-кратное вырождение или 2 2-мультиплетность уровня). Мы уже упоминали хорошо известный пример снятия такого вырождения у натрия, в спектре которого наблюдается желтый

Æ

дублет с длинами волн 5890 и 5896 А.

Аналогично, взаимодействие магнитного момента ядра со спиновыми и орбитальными магнитными моментами электронов приводит к появлению сверхтонкой структуры атомных

спектров. Интервалы этого расщепления чрезвычайно малы: их масштаб на два-три порядка меньше масштаба расщепления, обусловленного тонкой структурой. Поэтому сверхтонкая структура может рассматриваться для каждой из компонент тонкой структуры в отдельности. Если спин ядра обозначить через I, а электронной оболочки — через J, то полный момент атома будет равен F=J+I, и пробегает значения

Соответственно, число компонент сверхтонкой структуры уровня с данным равно 2 1 (если ) или 2 1 (если ).

Перейдем теперь к рассмотрению поведения атома во внешнем магнитном поле — эффекту Зеемана. Это явление — расщепление спектральных линий в магнитном поле — было открыто голландским физиком П. Зееманом (1865–1943) в 1896 г. С внешним магнитным полем взаимодействуют как орбитальный, так и спиновый магнитные моменты электронов. Кроме того, нужно иметь в виду, что эти магнитные моменты взаимодействуют между собой (знакомое нам спин-орбитальное взаимодействие). В зависимости от относительной величины указанных взаимодействий различают два случая: слабого магнитного поля

исильного магнитного поля.

Впервом случае взаимодействие внешнего магнитного поля с орбитальным и спиновым магнитными моментами электронов существенно меньше спин-орбитального взаимодействия, и в результате расщепление уровней за счет внешнего магнитного поля оказывается меньшим, чем расщепление, обусловленное внутренним полем самого атома (тонкая структура). Этот случай носит название сложного эффекта Зеемана, поскольку в сильных полях структура спектра оказывается намного проще (как мы увидим чуть позже). Дополнительная энергия в магнитном поле в данном случае равна

Здесь определяет проекции вектора J на направление внешнего поля B и принимает 2 1 значений, т. е. все зависит от взаимной ориентации векторов J и B. Расщепление уровней оказывается эквидистантным, а сама величина расщепления линейно растет с полем. О таком случае говорят, что магнитное поле снимает вырождение уровней по . Поскольку внешнее расщепление меньше внутреннего (тонкой структуры), то картина слегка расщепленных спектральных уровней остается практически такой же, как и без поля.

Хотя расщепление одного уровня является эквидистантным, значения фактора Ланде , вообще говоря, различны у разных уровней, что приводит к возникновению сложного расщепления

линий перехода. При этом существенное значение имеют правила отбора для излучения. Классический пример эффекта Зеемана — поведение желтого дублета натрия в магнитном поле (сам дублет есть проявление тонкой структуры уровней). Основное состояние натрия 32 1 2, а выше расположены два возбужден-

ных состояния 32 1 2 и 32 3 2. На рис. 8.3 стрелками показаны переходы, разрешенные правилами отбора, запрещенные переходы показаны штриховыми линиями.

Рис. 8.3

В чисто кулоновском поле энергия зависит только от квантового числа и поэтому, казалось бы, не должно быть разницы в энергии уровней с разными . Однако реально это справедливо лишь для водорода и водородоподобных атомов, а в натрии внутренние электроны экранируют поле ядра, таким образом, для-электронов заряд ядра как бы меньше, чем для -электронов, и они располагаются несколько выше. Из-за спин-орбитального взаимодействия -уровень расщепляется на два (тонкая структура), и в спектре излучения появляется желтый дублет. Величина спин-орбитального расщепления у натрия равна 2

10 3 эВ, а во внешнем поле 102 Тл оно, согласно формуле (8.11), порядка

0 Б 4 10 7 9,3 10 24 106 4

10 24 Дж 6 10 6 эВ , (8.12) т. е. поля такого порядка являются слабыми.

8.3 ] Эффект Зеемана 129

а с 3 2 — самый низкий, что непосредственно следует из формулы (8.11)). Всего в слабом магнитном поле наблюдается 10 переходов. В силу правил отбора ( 0,

0, 1, 0, 1) подавлены переходы с 3 2 на уровень 1 2 и с 3 2 на 1 2.

Еще раз подчеркнем: так много линий наблюдается из-за того, что у разных уровней разная величина расщепления. Поэтому, в частности, переходы с уровня 32 1 2 на 32 1 2 между

Теперь рассмотрим простой эффект Зеемана, наблюдаемый в сильном магнитном поле. Здесь термин «сильное поле» означает, что энергия спин-орбитального взаимодействия намного меньше, чем энергия взаимодействия как спинового, так и орбитального магнитных моментов с внешним полем, т. е.

, . В случае слабого поля мы классифицировали состояния точно так же, как и без поля, а в данном случае этого делать уже нельзя. Теперь мы считаем величину практически равной нулю, т. е. пренебрегаем данным взаимодействием. Последнее означает, что оператор энергии не зависит от ориентации спинового и орбитального моментов, а следовательно, он не зависит и от суммарного вектора . Остается зависимость энергии лишь от проекций векторов L и S на вектор B, т. е. только от квантовых чисел и . Для этого случая существует жаргонное выражение: говорят, что в сильном поле «разрывается -связь».

Итак, учитывая, что 1, 2, магнитная часть энергии в сильном поле равна

Теперь уже «нет» спин-орбитального расщепления, уровень 32

5 Основы физики. Т. II

Рис. 8.4

Покажем, что в сильном поле всегда будут наблюдаться лишь 3 линии. Пусть имеется два уровня с энергиями 01 и 02, характеризующихся квантовыми числами 1, 2, 1, 2. Разность энергий этих уровней в сильном поле равна

02 Б 2 2 2 01 Б 1 2 1

(8.15) Так как по правилам отбора возможны переходы только между уровнями с 1 2 , то

Но 0, 1, а значит, в спектрах излучения в сильном поле всегда будут наблюдаться лишь три линии — одна несмещенная и две смещенные на Б . Вот почему эффект Зеемана в сильном магнитном поле называется простым.

Взаключение рассмотрим, как будет поляризован свет при простом эффекте Зеемана. Когда наблюдение ведется вдоль приложенного магнитного поля, эффект Зеемана называют продоль-

ным. При этом, поскольку 0, а 0, 1, уносимый фотоном момент равен 1 (дипольное излучение), и оказывается, что смещенные компоненты имеют круговую поляризацию (у них

1). Несмещенная компонента вообще видна не будет, так как для нее 0, а фотона с 0 не существует.

Впоперечном эффекте Зеемана (наблюдение поперек магнитного поля) несмещенная линия — это просто линейно-поляри- зованный свет, а циркулярно поляризованные смещенные линии также будут выглядить как линейно-поляризованные волны.