студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

дом, что этой колеблющейся и полной противоречий основы (экспериментальных результатов по спектроскопии) оказалось достаточно, чтобы позволить Бору — человеку с гениальной интуицией и тонким чутьем — найти главнейшие законы спектральных линий и электронных оболочек атомов, включая их значение для химии. Это кажется мне чудом и теперь. Это — наивысшая музыкальность в области мысли».

Вообще говоря, боровское квантование можно распространить не только на круговые орбиты. В общем случае оно имеет вид

где интеграл взят по полному периоду классического движения частицы. В старой квантовой теории данное соотношение носит название правило квантования Бора–Зоммерфельда. (Немецкий физик-теоретик А. Зоммерфельд (1868–1951) распространил квантование Бора на эллиптические обиты.)

Исходя из этого правила, можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числами . Поскольку мало (при больших ) по сравнению с самой энергией уровней, то

1

На основании соотношения (1.18) можно для -й и 1 -й орбиты записать

1 2

Итак, с учетом предыдущего соотношения, получаем

Но для классического движения производная есть скорость частицы , так что

Таким образом, расстояние между двумя соседними уровнями оказывается равным . Для целого ряда соседних уровней (разность номеров которых мала по сравнению с самими ) соответствующие частоты можно приближенно считать одинаковыми. В результате мы приходим к выводу, что в каждом

небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно через одинаковые интервалы . Такой результат, впрочем, можно было ожидать заранее, поскольку в квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между различными уровными энергии, должны быть целыми кратными классической частоты .

Для круговой орбиты условие (1.21) можно легко получить и из постулатов Бора:

Новые взгляды на поведение микрообъектов получили свое подтверждение и в последующих опытах. Одним из весьма веских доказательств дискретности энергетических уровней атомов служат результаты экспериментов немецких физиков Дж. Франка (1882–1964) и Г. Герца (1887–1975) по возбуждению и ионизации атомов электронным ударом. Схема экспериментов Франка и Герца и качественный вид полученных ими результатов по возбуждению атомов электронами изображены на рис. 1.1. В пространстве между катодом К и первой сеткой С происходит ускорение электронов; в пространстве между второй сеткой С и анодом А они замедляются; в пространстве между двумя сетками СС электроны взаимодействуют с атомами, и те электроны, которые потеряли свою энергию, не могут попасть на анод лампы. Справа показана зависимость анодного тока от приложенного ускоряющего напряжения с. Минимумы на этой кривой соответствуют энергии возбуждения атомных уровней.

Рис. 1.1

Исходя из постулатов Бора, эксперименты Франка и Герца можно интерпретировать следующим образом. Пусть атом находится в самом низком стационарном состоянии. Если энергия частицы, налетающей на такой атом, очень мала, то ее может быть недостаточно, чтобы перевести атом в более высокое стационарное состояние. (Для атома водорода, например, минимальная

Гл. 1 ] Атомные спектры и планетарная модель атома 23

энергия, при которой он «возбуждается», составляет 10,15 эВ.) В этом случае возможно лишь упругое рассеяние налетающей частицы на атоме, подобное столкновению двух бильярдных шаров. Если же энергия налетающей частицы достаточно велика, то часть ее, равная разности энергий двух стационарных состояний, может быть поглощена атомом и потрачена на его «возбуждение». Такое столкновение будет уже неупругим, однако «неупругая» потеря энергии должна быть вполне определенной.

Интересно, что сами Франк и Герц этого не понимали и в своей статье даже не упомянули о теории Бора. Правильность объяснения Бора была признана ими лишь в 1917 г. после дополнительных экспериментов.

Квантовые условия Бора являются гениальной догадкой. И хотя планетарная теория атома Бора, конечно, не была серьезной теорией, однако ее успех стал для теоретиков мощным стимулом к развитию квантовой теории атома и созданию квантовой механики.

Г л а в а 2

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ МИКРОЧАСТИЦ. ФОТОЭФФЕКТ

ИЭФФЕКТ КОМПТОНА

2.1.Корпускулы и волны

Еще со времен И. Ньютона и Х. Гюйгенса, т. е. со второй половины XVII в., представления физиков о природе света были противоречивы. Одни считали его потоком некоторых частиц — корпускул. Другие полагали, что свет представляет собой волновое явление. До начала XIX в. обе точки зрения отстаивались с переменным успехом. С помощью гипотезы о корпускулах легко было понять, почему световые лучи распространяются по прямым линиям, тогда как волновая теория позволяла объяснить явления интерференции, дифракции и поляризации света.

Важное событие произошло в 1819 г., когда французскому физику О. Френелю (1788–1827) удалось естественным образом объяснить прямолинейность световых лучей как результат сложения большого числа волновых колебаний. Затем трудами того же Френеля, французского ученого Д. Араго (1786–1853), английского ученого Т. Юнга (1773–1829), а позднее и английского физика Дж. Максвелла (1831–1879) было убедительно показано, что свет представляет собой чисто волновое явление, подобное звуку или колебаниям волн на поверхности воды.

Если на пути света поставить экран с двумя отверстиями, то они будут играть роль двух вторичных источников световых колебаний, подобно двум камням, брошенным в воду. Свет от таких источников складывается или гасится, так что на некотором отдалении от них можно наблюдать интерференционную картину. При этом существенно, что невозможно сказать, какая часть волны прошла через одно отверстие, а какая — через другое.

Широко известно и явление дифракции света. Именно за счет дифракции свет, попадая на своем пути на маленькую пылинку, образует не четкую круглую тень, а «ореол» светящихся колец. С точки зрения волновой природы света легко объяснимы явления интерференции и дифракции света. Следует подчеркнуть, что волновые явления становятся ненаблюдаемыми, когда размеры используемых в эксперименте тел или приборов велики

по сравнению с длиной волны. В таком случае волновая оптика переходит в геометрическую.

С другой стороны, есть и обычные частицы, и никакие явления типа дифракции или интерференции для них невозможны. Частицы двигаются по определенным траекториям, для нахождения которых с помощью уравнений классической механики достаточно знать все действующие на них силы, а также задать их начальные положения и скорости. Если, например, поставить на пути частиц экран с двумя отверстиями, то большая их часть застрянет в экране, а те, что пройдут сквозь него, попадут на второй экран в местах, находящихся точно позади отверстий в первом. При этом всегда можно сказать, через какое отверстие прошла та или иная частица. Ее положение и скорость строго определены в любой момент времени.

Такими были представления физиков ХIХ века. Никакой неоднозначности! Частицы — это частицы, а свет — это волны.

2.2. Фотоэффект и его закономерности

Все «неприятности» начались в конце прошлого века, когда было экспериментально установлено, что при падении видимого света на поверхность металла из последней испускаются электроны. Это явление назвали фотоэффектом. Впервые фотоэффект был обнаружен Герцем в 1887 г. при исследовании распространения электромагнитных волн от излучающего резонатора к приемнику. Он заметил, что проскакивание искры между шариками разрядника облегчается, если один из шариков осветить ультрафиолетовым светом. В 1888 г. русский физик А.Г. Столетов (1839–1896) исследовал фотоэффект более детально, фактически он независимо открыл это явление и обнаружил насыщение фототока. В том же году фотоэффект наблюдали немецкий физик В. Гальвакс (1859–1922) и итальянский физик А. Риги (1850–1921).

Начиная с 1899 г., подробные исследования данного явления проводились Ленардом. Именно он доказал, что при фотоэффекте из вещества освобождаются электроны, и установил замечательный факт: энергия такого вылетающего электрона совершенно не зависит от интенсивности падающего света и прямо пропорциональна его частоте.

Само по себе существование фотоэффекта неудивительно, поскольку известно, что свет — это электромагнитные волны; электроны под действием электрического поля световой волны ускоряются, а значит, могут вылетать из металла. Так как интенсивность света 2 — амплитуда электромагнитной волны), то естественно ожидать, что чем больше интенсивность

света, тем больше и кинетическая энергия вылетающих электронов. Но эксперимент дал совершенно другой результат.

Схема установки для изучения фотоэффекта показана на рис. 2.1 а. При освещении поверхности одного из электродов в цепи появляется ток , фиксируемый гальванометром . Этот ток прямо пропорционален интенсивности света (рис. 2.1 б), что вполне согласуется с представлениями классической физики о взаимодействии электромагнитных волн с электронами. В то же

Рис. 2.1

время оказалось, что ток, независимо от интенсивности монохроматического света, прекращается при одном и том же задерживающем напряжении 0 (рис. 2.1 в). Это значит, что максимальная кинетическая энергия электронов 0 зависит только от частоты света. На рис. 2.1 г показана зависимость задерживающего потенциала от частоты света. Как видно, энергия электронов пропорциональна не интенсивности, а частоте света. К тому же, эксперимент показал, что существует минимальная частота, ниже которой фотоэффект вообще невозможен.

В 1905 г. Эйнштейну удалось объяснить эти свойства фотоэффекта, введя предположение о том, что энергия в пучке монохроматического света состоит из порций, величина которых равна , где — частота света, а — постоянная Планка, введенная в физику еще в 1900 г. в связи с проблемой излучения черного тела. Физическая размерность величины равна время

энергия длина импульс момент импульса. Такой размерностью обладает величина, называемая действием, и потому называют элементарным квантом действия.

Итак, согласно Эйнштейну, электрон в металле, поглотив такую порцию энергии, приобретает энергию (постоянная 2 очень часто используется наряду с обычной постоянной Планка ), и, если для вырывания его из металла нужно затратить энергию (работа выхода), то кинетическая энергия вырванного электрона равна

Это и есть известное уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, оно полностью чуждо классической физике. Фактически Эйнштейн «проквантовал» электромагнитное поле. Здесь следует подчеркнуть, что до 1905 г. никто не предполагал дискретности света. Планк для объяснения свойств теплового излучения квантовал только энергию излучающих осцилляторов вещества, а не поле излучения!

Дискретные порции света были позже названы фотонами, (это слово введено в физику в 1929 г. американским физиком-хи- миком Г. Льюисом) (1875–1946). Концепция фотона была впервые поставлена на прочный логический фундамент в 1927 г. английским физиком-теоретиком П. Дираком (1902–1984), который наряду с излучающим атомом проквантовал и поле излучения.

Рассмотрим вопрос о том, почему нельзя объяснить фотоэффект с классической точки зрения. Когда излучение «сталкивается» с электроном, колеблющимся внутри атома, оно передает ему свою энергию. Если электрическое поле колеблется с частотой, которая находится в резонансе с собственной частотой такого электрона, то последний будет поглощать энергию световой волны, пока не освободится из атома. Надо постараться объяснить фотоэлектрический эффект, предполагая свойства атома такими, что электрон будет сохранять полученную от света энергию и находиться в атоме до тех пор, пока не накопит ее до величины , после чего он покинет атом. Если бы атом обладал подобными свойствами, то для света с очень маленькой интенсивностью фотоэлeктрический эффект не наблюдался бы в течение достаточно долгого времени, которое должно было пройти для накопления необходимого кванта энергии.

Соответствующие опыты проводились с металлическими пылинками и очень слабым светом. Согласно классическим представлениям в этих опытах потребовалось бы много часов для накопления энергии . Однако немедленно после освещения пылинок появлялось некоторое количество фотоэлектронов. Таким образом, конкретные попытки объяснить фотоэффект при помощи процессов непрерывного накопления энергии потерпели полную неудачу. Аналогичной была судьба и всех остальных попыток, которые когда-либо предпринимались. Волновая теория оказалась неспособной объяснить внезапную локализацию конечных порций энергии в одном электроне.

Вернемся к обсуждению свойств фотона. Из этих экспериментов следовало, что фотон несет квант энергии, т. е. что энергия электромагнитного поля квантуется, но естественно при этом задаться вопросом: что же такое фотон? Опираясь на знания, полученные из электродинамики, можно себе представить, что фотон — это пакет электромагнитного излучения частоты , распространяющийся в некотором направлении со скоростью света . Но тогда возникает следующий вопрос: чему равен импульс фотона?

Общая связь между полной энергией частицы , ее импульсом и массой известна, она определяется инвариантом — длиной четырехмерного вектора ,

Фотон всегда летит с предельной скоростью — скоростью света, и нет никакой системы координат, в которой он покоился бы. Значит, его масса равна нулю, и соответственно , что сразу следует из соотношения (2.2). Это — одно из центральных положений теории относительности. На каких экспериментальных фактах основано такое утверждение?

Если бы фотон имел массу, то прежде всего не был бы верен закон Кулона. Это видно из следующего простого рассуждения. Как показал японский физик-теоретик Х. Юкава (1907–1981), если бы переносчики электромагнитного взаимодействия — фотоны — имели конечную массу, то на расстоянии от заряда потенциал электрического поля был бы в раз меньше, чем дает закон Кулона. Измерение правильности закона Кулона в лабораторных условиях показывает, что по крайней мере больше 2 107 м.

Однако намного более точную оценку можно получить на основании того факта, что в галактиках наблюдаются магнитогидродинамические волны в заряженной плазме. Волновые процессы в плазме переносят с собой периодически изменяющееся электромагнитное поле. Существование массы у фотона привело бы к «затуханию» длинноволновых колебаний. В галактиках магнитогидродинамические процессы охватывают огромные расстояния, доходящие до десяти тысяч парсек (1 парсек = 3,26 светового года). Отсюда следует фантастическая оценка 1020 м, достаточная для того, чтобы не сомневаться в правильности гипотезы о равенстве нулю массы фотона. Ведь если массу фотона выражать в электронвольтах, то она получается меньше 10 27 эВ.

Итак, из соотношения (2.2) следует, что импульс фотона

который обладает, как любая частица, определенной энергией и импульсом, но его масса равна нулю?

Такого рода вопросы на самом деле возникают из-за нашего желания приписать микромиру те понятия, с которыми мы сталкиваемся в обыденной жизни. Как мы не раз убедимся, в микромир нельзя перенести «по аналогии» механические понятия траектории, размера и т. д. Он подчиняется своим собственным законам. Все парадоксы квантовой механики, к изучению которой мы приступаем, начиная с фотона, возникают именно из-за таких аналогий. Лишь некоторые свойства фотона напоминают свойства частицы, он совсем не похож на те частицы, с которыми мы имели дело в механике (образно говоря, это совсем не шарик на веревочке).

Если ввести волновой вектор k ( 2 ), то круговая

частота

(2.4)

и выражения для энергии и импульса фотона принимают симметричный вид

Итак, пусть квант света частоты взаимодействует с системой, обладающей энергией и импульсом p, в результате чего после взаимодействия характеристики фотона и системы становятся, и . Тогда законы сохранения энергии и импульса можно записать в очень простом виде

Эти уравнения описывают три основных процесса: поглощение, испускание и рассеяние света. Они кажутся тривиальными. Однако следует четко себе представлять, что глубокий смысл квантовой теории света состоит не столько в том, что мы представляем себе свет как газ частиц с энергией и импульсом , а в том, что обмен энергией и импульсом между микросистемами и светом происходит путем рождения одних и уничтожения других квантов. Мы впервые встретились с ситуацией, когда частицы могут исчезать и появляться, т. е. число частиц даже в замкнутой системе может не сохраняться.

Рассмотрим в заключение особенности фотоэффекта на электронах в атоме. На микроскопическом уровне мы должны считать фотоэффект таким процессом, при котором вся энергия фотона передается электрону, а электрон затем выбрасывается за пределы атома с кинетической энергией

где ион — потенциал ионизации атома. Покажем, что этот процесс невозможен на свободном (не связанном с атомом) элек-

троне, т. е. когда ион 0. Допустим обратное. Без ограничения общности будем считать, что вначале электрон покоится (так как всегда возможно перейти в систему координат, связанную с электроном). Тогда законы сохранения запишутся так:

Здесь , т. е. скорость электрона в единицах скорости света. Из уравнений (2.8) следует, что

(2.10) Это значит, что 0, а это соответствует тривиальному решению ф 0, то есть случаю отсутствия фотона.

Таким образом, для фотоэффекта весьма существенна связь электрона с атомом, которому передается часть импульса. Другими словами, двухчастичный процесс, при котором имелось две частицы, а в результате взаимодействия получилась лишь одна, невозможен. В случае фотоэффекта из металла, где имеются «свободные» электроны, импульс на себя воспринимает весь кристалл.

2.3. Эффект Комптона

Все сказанное выше скептик может квалифицировать так: «Хорошо! Все это доказывает, что, действительно, электромагнитное излучение поглощается и испускается порциями , но это вовсе не значит, что свет состоит из частиц — световых квантов, или фотонов». Чтобы окончательно отбросить подобные сомнения, обратимся к эксперименту, в котором наряду с энергией фотона отчетливо проявляется его импульс. А что, собственно, значит «проявляется импульс фотона»? И почему это нам так важно?

Дело в том, что наличие импульса у фотона означает, что его движение происходит по определенной траектории, так как импульс задает траекторию частицы.

Такими экспериментами явились опыты американского физика А. Комптона (1892–1962) в 1922 г. по изучению рассеяния рентгеновских лучей на веществе. Комптон измерял энергию