студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

щадь кольца, охватываемого током. Но поскольку , то

Коэффициент связи между и L называется гиромагнитным отношением. Последнее не всегда равно 2 , и поэтому соотношение между и обычно записывается в виде

где коэффициент называется -фактором; для орбитального движения электрона он равен 1. Ясно, что такая же связь справедлива для проекций:

Как уже не раз говорилось, чтобы найти выражение для операторов физических величин, надо просто заменить численные равенства операторными, т. е. для оператора магнитного момента

Отсюда сразу можно сказать, что правила квантования проекции магнитного момента электрона с заданным значением орбитального числа такие же, как и для :

Итак, проекция момента импульса электрона и связанного с ним магнитного момента определяется одним и тем же квантовым числом . Разница лишь в единицах: выражается в единицах , а — в единицах 2 0,92710 23 Дж/Тл. Эта величина называется магнетоном Бора и обозначается через Б . Таким образом, закон квантования проекции магнитного момента может быть записан в форме

Теперь становится ясным происхождение названия как магнитного квантового числа.

Квантование орбитального момента импульса, задаваемого

102 Пространственное квантование. Спин электрона [ Гл. 6

приводит к целым значениям , а, значит, к нечетным значениям числа возможных ориентаций момента в пространстве (оно равно 2 1). Если энергия зависит от ориентации момента, то в спектре как излучения, так и поглощения мы должны наблюдать расщепление основного перехода на 2 1 линий. Следовательно, появление в спектре нескольких близко расположенных по энергии линий (их называют мультиплетами) естественно связывать с таким расщеплением, т. е. рассматривать как результат существования зависимости энергии состояния от магнитного квантового числа . Однако одно из наиболее легко наблюдаемых подобных расщеплений — дуплеты в спектре щелочных металлов, и, в частности, дуплет натрия — не укладывается в эту простую схему. В самом деле, наличие двух ориентаций означает, что должно выполняться условие 2 1 2, откуда сразу следует, что 1 2; но по правилу квантования момента может быть лишь целым числом, и этот факт никак не соответствует приведенным выше аргументам. Данное противоречие естественным образом снимается, если учесть существование собственного момента импульса, или спина, электрона.

6.3.Спин электрона. Сложение моментов

В1920 г. советские физики П.Л. Капица и Н.Н. Семенов (1896–1986) опубликовали в журнале Русского физико-химиче- ского общества статью под названием «О возможности экспериментального определения магнитного момента атома», в которой было предложено пропускать молекулярный или атомный пучок через неоднородное магнитное поле. В неоднородном поле на магнитный момент действует сила, пропорциональная

( — магнитное поле, а направление перпендикулярно направлению движения пучка), и под действием этой силы происходит отклонение движущихся частиц, так что если магнитные моменты не имеют выделенной ориентации в пространстве (сейчас мы бы сказали, что имеем дело с пучком неполяризованных частиц), то на экране (фотопластинке) появляется широкая полоса. Максимальное отклонение частиц будет соответствовать величине их магнитного момента. В конце статьи указывалось, что опыты такого рода начаты. Увы, эти эксперименты так и не были сделаны — в трудное послереволюционное время нельзя было достать соответствующие материалы и оборудование. Однако приведенные в этой статье расчеты показали, что опыт такого рода вполне реален — в магнитном поле с градиентом

300 Тс/м отклонение должно составлять порядка 2 см. Совершенно не зная о работе Капицы–Семенова, именно такой эксперимент провели в 1922 г. немецкие физики О. Штерн

(1888–1969) и В. Герлах (1889–1979). Вначале эти опыты проводились с пучками атомов серебра, а затем и водорода. Схема экспериментов Штерна–Герлаха и одна из полученных ими фотографий распределения атомов после прохождения магнитного поля показаны на рис. 6.8.

Рис. 6.8

Пучок атомов из источника И формируется двумя горизонтальными щелями, проходит через отклоняющее магнитное поле и падает на фотопластинку. Магнитное поле создается электромагнитом, один полюс которого плоский, а другой сделан в виде ножа. Вблизи ножа поле имеет практически только -компонен- ту, величина которой очень сильно зависит от -координаты. Сила, действующая на магнитный момент в таком поле, равна

Полученные Штерном и Герлахом результаты обладают двумя особенностями, полностью противоречащими классическим воззрениям:

1.Нет непрерывного распределения атомов по вертикали,

анаблюдается дискретность, т. е. возможны лишь некоторые из состояний.

2.Компонент всего две.

Что можно было бы ожидать, например, в случае водорода? Если атомы водорода находятся только в -состоянии ( 0 , то никакого расщепления пучка вообще не должно быть, поскольку их магнитный момент в этом состоянии равен нулю. Если же атомы водорода находятся в -состоянии 1 , то следовало ожидать расщепления на три компоненты, соответствующие трем возможным проекциям магнитного момента на ось , т. е. состояниям со значениями магнитного квантового числа 0, 1 В то же время, эксперимент показал, что пучок расщепляется лишь на две компоненты. А это свидетельствует о наличии у атомов водорода еще какого-то момента импульса, назовем его , равного 1/2.

(1900–1988) и С. Гаудсмит (1902–1979), анализируя строение оптических спектров (мы уже говорили о трудностях интерпретации дуплетов в спектрах щелочных металлов), пришли к выводу о наличии у электрона собственного механического момента, равного 2 (соответственно магнитное квантовое число 1 2), и назвали его спином. Это название происходит от английского слова spin, означающего вращение. Уленбек и Гаудсмит исходили из грубой классической модели электрона в виде вращающегося заряженного шарика. Конечно, в квантовой механике, как мы это неоднократно подчеркивали, нельзя говорить ни о каком вращении электрона. Наличие у него собственного механического момента импульса (спина) есть чисто квантовое явление. Cобственным моментом импульса обладают так же и другие элементарные частицы, в частности — нейтрон, протон и т. д.

Еще одной неожиданностью результатов опытов Штерна и Герлаха явилось значение магнитного момента электрона, которое легко вычислить из величины расщепления. Оказалось, что проекция магнитного момента электрона на выделенную ось, если ее записать аналогично орбитальному движению (6.24),

Таким образом, проекция спинового магнитного момента электрона равна одному магнетону Бора. Для спина оказалось иным (вдвое большим!) гиромагнитное отношение, или другими словами, -фактор электрона равен 2. Однако, точные измерения последнего показали, что на самом деле это равенство — приблизительное. Современная величина -фактора равна

в1915 г., которые мы и рассмотрим (рис. 6.9).

Вэтих экспериментах образцы парамагнитных или ферромагнитных веществ в форме цилиндриков подвешивались на тонкой нити внутри соленоида. Пропускание тока сопровождалось

вращением цилиндра. Таким образом, определялась связь между механическим и магнитным моментом вещества. Вращение цилиндра при включении магнитного поля обусловлено тем,что магнитные моменты атомов ориентируются вдоль поля. Это ведет к изменению суммы их механических моментов , и по закону сохранения момента импульса цилиндр закручивается. Как было показано в более поздних работах С. Барнетта (1873–1956), Дж. Стюарта и других, для образцов из Fe, Ni, Co

т. е. вдвое больше, чем должно было быть для магнитного и механического моментов, связанных с орбитальным движением электронов (6.24). Следовательно, магнетизм у этих веществ (ферромагнетиков) имеет спиновое происхождение, т. е. имеет чисто квантовомеханическую природу.

Электрон в атоме кроме спинового может обладать также орбитальным моментом, поэтому естественно возникает вопрос о том, по какому правилу складываются моменты в квантовой механике. Угловые моменты — векторные величины, и складываться они должны по правилам сложения векторов.

Рассмотрим для простоты систему, состоящую только из двух частиц, имеющих орбитальные моменты 1 и 2. Пусть их суммарный момент равен L (рис. 6.10). Отметим, что если система состоит из многих частиц, то результирующий момент находится путем последовательного сложения двух векторов. Квантовый характер угловых моментов проявляется в квантовании как самой их абсолютной величины, так и их проекций. Для суммарного момента это означает следующее:

2 2 1 ,

, 0, 1, 2, 3, , (6.33)

0, 1, 2, ,

рат и проекцию момента на одну из координатных осей (мы выбираем ось ). Наша задача — найти связь между квантовыми числами и и квантовыми числами складывающихся векторов 1 и 1, 2 и 2. Для этого рассмотрим проекции моментов на ось (рис. 6.10).

Наибольшее возможное значение орбитального квантового числа равно наибольшему значению , т. е.

106 Пространственное квантование. Спин электрона [ Гл. 6

Значение минимально, когда проекции 1 и 2 максимальны, но имеют разные знаки. Из рис. 6.10 ясно, что

Но поскольку отрицательные значения бессмысленны, то вместо (6.35) выражение для следует писать в виде

Это совсем не значит, что соответствует антипараллельной ориентации векторов 1 и 2, а — их параллельной ориентации, поскольку ни один из этих векторов не может быть направлен строго по какой-либо оси в силу соотношения неопределенностей.

Итак, возможные значения квантового числа суммарного момента лежат в диапазоне

следовательно, может принимать 2 2 1 значений, если 1 2, и 2 1 1 значений, если 2 1.

Но этим не ограничивается полное число возможных состояний системы двух частиц с моментами 1 и 2. Дело в том, что для каждого (но разных ) имеется 2 1 различных проекций (различных ориентаций в пространстве), поэтому пол-

1 2

ное число возможных состояний системы равно 2 1 .

1 2

Это арифметическая прогрессия с разностью, равной 2, и общим числом членов

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1

2

(6.38) Это соотношение можно получить и иначе: число возможных состояний для первой частицы равно 2 1 1 , для второй —2 2 1 , а для системы двух независимых частиц число состояний просто равно произведению возможных состояний каждой

частицы, т. е. 2 1 1 2 2 1 .

Итак, квантовомеханические векторы можно складывать так- же, как обычные, но модуль любого из них равен 1 . Полученный результат называется квантовым правилом сложения угловых моментов. По этому же правилу находится суммарный момент частицы, если она участвует одновременно в двух вращениях.

Теперь можно перейти к вопросу о полных механическом и магнитном моментах электрона. В силу наличия у электрона как

6.3 ] Спин электрона. Сложение моментов 107

спинового, так и орбитального моментов, полный механический

причем принимает 2 1 значений.

Для суммарного магнитного момента ситуация резко осложняется из-за разных гиромагнитных отношений для спинового

личине вектора l, а длина вектора Рис. 6.11 вдвое больше длины s.

Поэтому вводится специальный коэффициент — так называемый фактор Ланде, который есть не что иное, как коэффициент пропорциональности между j и :

Это — то же гиромагнитное отношение, но не для частиц, а для атомных электронов. Заметим, что (6.42) — соотношение между проекцией суммарного магнитного момента сум на j и величиной вектора j, а не соотношение между этими векторами.

Конкретное выражение для фактора Ланде через значения ,и легко получить. В самом деле, с учетом того, что спиновый-фактор равен 2, из (6.39) следует:

Соответственно, проекция суммарного магнитного момента на вектор равна

108 Пространственное квантование. Спин электрона [ Гл. 6

Мы получили соотношение между проекцией магнитного момента и вектором j. Отсюда можно получить выражение для фактора Ланде:

Это — просто векторное соотношение. В операторном виде оно

Операторное равенство означает и равенство средних значений,

Первые два члена в правой части равенства (6.49) легко находятся по общему квантовомеханическому правилу для квадрата вектора (для любого вектора M имеем 2 1 ), а среднее значение третьего члена вычислим, исходя из следующих соотношений:

6.4. Тонкая структура спектра атома водорода

Как указывалось в предыдущем параграфе, наличие спина у электрона приводит к расщеплению энергий состояний с опреленным значением (т. е. момента импульса, связанного с орбитальным движением электрона) за счет спин-орбитального взаимодействия. Его происхождение качественно может быть легко

понято, если иметь в виду, что собственный магнитный момент электрона, связанный с его спином, взаимодействует с магнитным полем орбитального тока. Можно рассуждать по-иному: в системе координат электрона, движущегося в кулоновском поле ядра, возникает магнитное поле, с которым взаимодействует собственный магнитный момент электрона. Энергия такого взаимодействия зависит от ориентации магнитного момента относительно направления поля, т. е. от его проекции на это направление. А так как проекция магнитного момента (вместе с проекцией спина) может принимать два значения, то для любого мы получаем расщепление на два состояния, соответствующие двум возможным значениям квантового числа полного момента

1 2. Исключение составляет лишь состояние с 0,

для которого принимает только одно значение: 1 2. Таким образом, наличие спина у электрона приводит к возникновению поправки к полной энергии атома водорода (см. (5.44)), зависящей от квантового числа . Эта поправка невелика, она такого же порядка, что и релятивистская поправка. Последовательный квантовомеханический расчет, учитывающий оба типа поправок, дает:

2 4 0 1 137 — уже встречавшаяся нам постоянная тонкой структуры, определяющая величину расщепления уровней по квантовому числу . Само расщепление, описываемое (6.54), носит название тонкой структуры спектра атома водорода. Подчеркнем еще раз, что поправка за счет спинорбитального взаимодействия мала: как следует из (6.54), ее отношение к основному члену порядка 2, т. е. порядка 1 137 2.

Как же выглядит спектр атома водорода с учетом тонкой структуры?

Для классификации электронных состояний обычно применяют спектроскопические обозначения, записываемые в виде , где — главное квантовое число, — орбитальное квантовое число в буквенном обозначении (см. § 6.2), — квантовое число полного момента импульса или, как его часто называют, полного углового момента.

Основное состояние (главное квантовое число 1, а орбитальное 0) не расщепляется (а лишь слегка смещается вниз по энергии), поскольку принимает только одно значение, равное 1/2. Следующее состояние, для которого 2, а может принимать значения 0 и 1, расщепляется по энергии на два, так как здесь может быть равно 1/2 и 3/2. При этом значение

1 2 получается в результате сложения спина электрона как

с орбитальным моментом 0 (состояние 2 1 2), так и с 1 (состояние 2 1 2), в то время как 3 2 может получиться лишь от сложения с 1 (состояние 2 3 2). Уровень энергии, соответствующий 3, расщепляется на три соответственно трем значениям, которые может принимать квантовое число , а именно: 1/2 (состояния 3 1 2 и 3 1 2), 3/2 (3 3 2 и 3 3 2) и 5/2 (состояние 3 5 2). И так далее.

Согласно (6.54) уровни тонкой структуры атома водорода, соответствующие определенному значению главного квантового числа двукратно вырождены по (за исключением уровня с максимальным значением ). Например, состояния 2 1 2 и 2 1 2 должны иметь одинаковую энергию. На самом деле их энергии различаются: энергия состояния 2 1 2 располагается несколько выше, чем энергия 2 1 2 (хотя и ниже энергии уровня 2 3 2). Это расщепление уровней, составляющее порядка 1/10 тонкого расщепления, получило название лэмбовского сдвига по имени американского физика У. Лэмба (р. 1913), окончательно установившего в 1947 г. его существование. Причиной лэмбовского сдвига является взаимодействие электрона с флуктуационным электромагнитным полем, или, как принято говорить в квантовой электродинамике, с флуктуациями вакуума. Рассмотрение данного эффекта выходит за рамки нашего курса. Можно лишь отметить, что современная квантовая электродинамика дает превосходное количественное описание такого расщепления.

Отметим, что с учетом спина электрона появляется новая степень свободы, а следовательно, и новое квантовое число ( — проекция спина на выделенное направление), принимающее значения 1 2. Таким образом, состояние электрона в атоме водорода можно характеризовать четырьмя квантовыми числами: , , , . Однако поскольку орбитальный момент и спин складываются в полный момент (от которого зависит энергия состояния), то состояние атома водорода удобно описывать с помощью другого набора квантовых чисел, а именно: , , ,, где — квантовое число проекции полного момента импульса, пробегающее 2 1 значений ( , 1, ..., 1, ). Энергия состояния зависит от и , зависимость от появляется при учете лэмбовского сдвига. Состояния вырождены по . Физический смысл этого вырождения состоит в следующем: при отсутствии физически выделенного направления все ориентации момента импульса в пространстве равноправны.

Коротко остановимся на правилах отбора для электромагнитных переходов (т. е. переходов из одного состояния в другое с испусканием или поглощением фотона). Для систем размеров порядка атомных наиболее вероятным является дипольное элек-