студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

10.2 ] Модели ядра 151

то числа протонов и нейтронов в ядре должны быть одинаковы, что и наблюдается экспериментально. По мере увеличения в силу роста кулоновского отталкивания протонов глубина их

потенциальной ямы уменьшается, а значит в ядре будет больше нейтронов.

Это свойство ядерной материи наглядно описывается следующей аналогией. Представим, что нейтроны и протоны подобно обычным жидкостям заполняют два сосуда, соединенные между собой снизу трубкой. Жидкости в этих сосудах всегда находятся на одном уровне. Как только один из сосудов поднимается, что соответствует изменению глубины потенциальной ямы, так жидкость из него сразу же переливается в другой, обеспечивая минимум энергии.

И, наконец, в энергии ядра следует учесть так называемый эффект спаривания. Эксперименты свидетельствуют о наличии дополнительного взаимодействия притяжения, заставляющего два одинаковых нуклона спариваться между собой, образуя состояния с нулевым спиновым моментом импульса, т. е. состояния, в которых их спины антипараллельны. С подобной спиновой зависимостью потенциала взаимодействия мы уже встречались при обсуждении молекулы водорода. Указанное обстоятельство приводит к тому, что наиболее устойчивы четно-четные ядра (ядра с четным числом протонов и четным числом нейтронов), затем идут четно-нечетные и, наконец, нечетно-нечетные. Причем масса ядер при последовательном изменении заряда на единицу меняется не плавно, а скачкообразно. Любой непарный нуклон всегда имеет меньшую энергию связи. Данный экспериментальный факт учитывается слагаемым сп, таким, что

Значения констант, входящих в формулу (10.19), можно найти, подгоняя ее под экспериментальные данные. Были получены следующие значения коэффициентов (в МэВ):

14,03, 13,03, 0,5835, 77,25, Æ 34,57 (10.20)

Полуэмпирическая формула (10.19) называется формулой Вайцзеккера. Ее можно использовать для исследования свойств

стабильности неизвестных искусственных элементов и выяснения характера их распадов.

Следует отметить, что значения констант (10.20) увязаны между собой процедурой нахождения оптимального описания экспериментальных данных и зависят от этой процедуры. Поэтому в литературе можно встретить значения, немного отличающиеся от приведенных здесь. К тому же некоторые авторы используют иные зависимости последнего члена в (10.19) от ,

например, 1 3.

Оболочечная модель ядра. Капельная модель не может объяснить особую устойчивость ядер, имеющих некоторые определенные числа нейтронов и протонов. Например, обнаружилось, что такие элементы, как цирконий (50 нейтронов), олово (50 протонов), барий (82 нейтрона), свинец (82 протона и 126 нейтронов) встречаются на Земле чаще, чем соседние с ними элементы периодической системы. Четыре известных радиоактивных семейства заканчиваются стабильными изотопами, содержащими либо 82 протона, либо 126 нейтронов, либо 82 протона и 126 нейтронов. О большой стабильности ядер 4He (два протона и два нейтрона) и 16O (восемь протонов и восемь нейтронов) можно судить по их большей энергии связи по сравнению с соответствующими энергиями соседних изотопов (см. рис. 10.1). Кроме приведенных, существуют и другие факты, указывающие на то, что ядра, у которых количество нейтронов или протонов совпадает с числами 2, 8, 20, 28, 82, 126, обладают особыми свойствами. Эти числа, как уже говорилось, назвали магическими, поскольку было неясно, что они отражают.

Тот факт, что в рамках капельной модели невозможно объяснить особые свойства ядер, содержащих магические числа нуклонов, вполне понятен. В самом деле, если ядро можно рассматривать как жидкую каплю, то его свойства не должны существенно изменяться при добавлении нескольких нуклонов.

Повышенная стабильность ядер с магическими числами нуклонов очень похожа на свойства электронной системы в атомах. Однако задача о структуре энергетических уровней ядра отличается от аналогичной задачи о сложном атоме прежде всего тем, что в атоме имеется центральное тело — ядро, и достаточно хорошим приближением является задача о движении электрона в заданном потенциале. Для ядра сведение задачи многих тел к одночастичной представляется на первый взгляд безнадежным делом, поскольку взаимодействие между нуклонами весьма велико, и отсутствие центрального тела не позволяет решать ее по аналогии с атомом.

Однако квантовые свойства нуклонов накладывают свои особенности на их движение. Впервые на это указали американ-

ский физик-теоретик М. Гепперт-Майер (1906–1972) и И. Енсен

в1949 г. В основном состоянии ядра нейтроны и протоны заполняют самые нижние энергетические состояния. Если внести

всистему добавочный нуклон, то он может занять только вышележащий незанятый уровень. Двигаясь в поле ядра, добавочный нуклон, конечно, будет сталкиваться с остальными нуклонами ядра. Однако в большинстве своем такие столкновения не могут привести к изменению состояния ядра, т. е. к передаче импульса, поскольку изменить состояние нуклона можно, только сообщив ему энергию, достаточную для перехода вверх на одно из незанятых состояний. Поэтому в процессе движения в ядре нуклон практически не меняет своей энергии. Таким образом, движение каждого нуклона в ядре можно рассматривать как движение

вусредненном поле, образованном другими нуклонами, а это означает, что задача о спектре состояний нуклонов в ядре может быть сведена к одночастичной задаче.

Естественно предположить, что усредненное нуклонное поле является центральным, а вследствие короткодействующего характера ядерных сил форма этого потенциала должна быть похожа на форму распределения плотности нуклонов в ядре. Хорошим приближением реалистичного ядерного потенциала является потенциал гармонического осциллятора вида

На рис. 10.5 показаны реалистичный потенциал, воспроизводящий ход распределения плотности нуклонов в ядре, и его аппроксимация; для сравнения приведено распределение плотности числа нуклонов .

Энергия трехмерного гармонического осциллятора равна

купность близлежащих уровней можно рассматривать как нуклонные «оболочки». В случае трехмерного осциллятора группы уровней с разными как раз и соответствуют разным оболочкам. Такие уровни сильно вырождены, поскольку одно и то же значение энергии (соответствующее одному и тому же значению) можно получить, беря различные комбинации чисел 1, 2,3. Кратность вырождения -го уровня равна числу способов, которыми может быть представлено в виде суммы трех целых (включая значение 0) положительных чисел. Другими словами, это — число способов, которыми одинаковых шаров могут

154 Атомное ядро [ Гл. 10

Отсюда сразу следует, что магическими должны быть числа 2, 8, 20, 40, 70 и т. д. Но, кроме первых трех, в экспериментальных результатах они не встречаются. Правильное «магическое» заполнение оболочек получается, если допустить, что в ядрах существует достаточно сильное спин-орбитальное взаимодействие, сосредоточенное в основном вблизи поверхности ядра, поэтому оно более существенно именно для тяжелых ядер, для которых и получается неверная последовательность магических чисел

в простой модели трехмерного осциллятора.

Возбужденные состояния ядер. В результате различных ядерных реакций и ядерных превращений нуклоны могут занимать и энергетически более высоко расположенные состояния. Совокупность уровней возбуждения образует спектр возбуждений атомного ядра. Уровни возбуждения бывают одночастичными (они хорошо описываются оболочечной моделью ядра), двух-, трехчастичными (и т. д.) и коллективными — вращательными, соответствующими вращению ядра как целого (это возможно, конечно, только у несферических ядер), или колебательными, соответствующими колебаниям ядерной плотности или поверхности ядра. Значительное число уровней имеет сложную смешанную природу. Наиболее полное теоретическое описание свойств

коллективного движения нуклонов на параметры одночастичного потенциала.

ложительной четности 2 , 4 , 6 . Отметим, что энергия вращательных уровней (по крайней мере, самых первых) на порядок меньше энергии возбуждения одночастичных, масштаб которой порядка нескольких МэВ.

У ядра есть еще одна своеобразная коллективная степень свободы, а именно, колебания всей массы нейтронов относительно всех протонов (дипольные колебания ядра). Поскольку в процессе таких колебаний происходит частичное разделение всех протонов по отношению к нейтронам, они появляются при намного большей энергии, чем колебания поверхности ядра,

которые затрагивают лишь несколько поверхностных нуклонов. Характерная энергия таких колебаний, названных гигантским резонансом, лежит в диапазоне 15–20 МэВ. Зависимость частоты гигантского резонанса от легко оценить. Для любого осциллятора резонансная частота 0 определяется жесткостью и колеблющейся массой ( 0 ). В рассматриваемом нами механизме дипольных колебаний роль упругой возвращающей силы играет взаимодействие «сдвинутых» нуклонов с ядром. На рис. 10.7 дано схематическое изображение дипольных колебаний ядра, соответствующих гигантскому резонансу.

Эта зависимость неплохо согласуется с экспериментальными данными.

При энергии возбуждения 5–6 МэВ число уровней в ядрах (особенно в средних и тяжелых) очень велико, а следовательно, мало расстояние между ними. Установить в таких условиях характеристики каждого отдельного уровня и практически невозможно, и ненужно. Целесообразно ввести понятие плотности уровней с данными квантовыми характеристиками, т. е. число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. Именно эта величина обычно входит в формулы, описывающие различные ядерные процессы при сравнительно больших энергиях возбуждения.

Зависимость плотности уровней от энергии описывается с помощью статистической модели ядра, которая рассматривает возбуждение как нагрев нуклонного ферми-газа, связывая энергию возбуждения с температурой нагрева ядра. Эта модель основана на применении термодинамических понятий и закономерностей, которые подробно рассматриваются в следующей части.

Температуру ядра можно определить из средней энергии его возбуждения точно так же, как это делается в термодинамике:

где суммирование производится по всем уровням с энергией с учетом их вырождения ( — статистический вес -го уровня). Функция — зависимость энергии ядра от температуры, при0 должна иметь, согласно третьему началу термодинамики,

156 Атомное ядро [ Гл. 10

нулевую производную (теплоемкость):

0

Поэтому разложение в ряд при малых должно начинаться с квадратичного члена. Следовательно, при малых температурах можно пренебречь членами более высокого порядка и

считать, что

(10.27)

Энтропия системы в термодинамике вводится через соотношение

Вто же время по статистическому смыслу энтропия связана

сплотностью состояний системы:

Константы (параметр плот-

ных представлений или найти на основе экспериментальных данных. Для нас существенно то, что плотность уровней растет с энергией экспоненциально.

В отличие от основного состояния возбужденные состояния атомных ядер имеют конечное время жизни и в результате переходят в основное (или ниже расположенное) состояние нуклонной системы путем испускания ка- ких-либо частиц. Согласно со-

отношению неопределенностей это приводит к существованию

Чем выше энергия возбуждения ядра, тем больше возможностей появляется для снятия этого возбуждения, а, значит, тем меньше и больше . При высоких энергиях возбуждения уровни сближаются настолько, что начинают перекрываться, т. е. расстояние между уровнями , и спектр становится непрерывным. На основании формулы (10.31) легко получить соотношение между плотностями уровней при разных энергиях:

Параметр плотности уровней для средних ядер приблизительно равен 10. Поэтому, например, если при нулевой температуре (невозбужденное ядро) расстояние между уровнями составляет 100 кэВ, то при энергии 8 МэВ, в соответствие с формулой (10.33), оно падает примерно в 108 раз, т. е. до значения

порядка 10 3 эВ.

Схематически спектр возбужденных состояний ядра и то, как он отражается в сечениях ядерных реакций показаны на рис. 10.8. Как следует из экспериментов, дискретный характер спектра уровней существует и при энергии ядра, превышающей энергию присоединения нуклона (энергию связи). Это является на первый взгляд странным результатом, поскольку в атомной физике аналогичной области возбуждений (выше энергии ионизации) соответствует непрерывный энергетический спектр. Все дело в том, что в силу короткодействия ядерных сил ядерный потенциал скорее похож на прямоугольную яму, и поэтому при приближении энергии к нулю ядерным силам соответствует конечное число связанных уровней (напомним, что в прямоугольной яме энергия уровня 2, тогда как в кулоновском поле она пропорциональна 1 2).

10.3. Естественная и искусственная радиоактивность

Явление радиоактивности состоит в самопроизвольном распаде ядер с испусканием одной или нескольких частиц. Ядра, подверженные такому распаду, называются радиоактивными. Очевидно, что необходимым, но не всегда достаточным условием радиоактивного распада является его энергетическая выгодность — масса радиоактивного ядра должна превышать сумму масс ядра-осколка и частиц, вылетающих при распаде (совершенно очевидно, что аналогичное неравенство должно выполняться, если в нем массы ядер заменить на массы соответствующих атомов, именно такие неравенства обычно и используют при рассмотрении радиоактивных распадов). В природе существует большое число естественно-радиоактивных ядер, т. е. ядер, не успевших распасться с момента их образования до настоящего

158 Атомное ядро [ Гл. 10

времени и образующихся в результате их распада (как например, радон), а также непрерывно образующихся под действием космических лучей. В то же время радиоактивные ядра могут быть получены искусственным путем — бомбардировкой стабильных ядер частицами. Никакой физической границы между естественной и искусственной радиоактивностью нет.

Впервые радиоактивность была обнаружена в 1896 г. французским физиком А.А. Беккерелем (1852–1908). Незадолго до этого были открыты рентгеновские лучи, и Беккерель изучал связь флюоресценции с рентгеновским излучением. Способные флюоресцировать соли урана помещались на фотопластинку, завернутую в черную бумагу, и ставились на солнечный свет. Считалось, что под действием солнечных лучей уран флюоресцирует, и, если в состав спектра флюоресценции входят рентгеновские лучи, то, проходя через черную бумагу, они будут вызывать почернение пластинки. Несколько дней не было солнца, и подготовленные пластинки с ураном пролежали в черном ящике. Тем не менее после проявления было обнаружено сильное почернение пластинок. Таким образом выяснилось, что соли урана сами испускают какие-то лучи.

Очень скоро к исследованию этого явления подключились другие ученые. В 1898 г. французский физик П. Кюри (1859– 1906) совместно с М. Склодовской-Кюри (1867–1934) открыли новые радиоактивные элементы — полоний и радий. Используя разработанный ими метод обогащения, они смогли в 1902 г. путем кропотливой работы по переработке больших количеств урановой смолки получить несколько дециграммов чистой соли радия. В 1903 г. за исследования явления радиоактивности супруги Кюри совместно с А.А. Беккерелем были удостоены Нобелевской премии по физике. Сам термин «радиоактивность» был

введен в науку М. Склодовской-Кюри.

Законы радиоактивного распада. Радиоактивный распад характеризуется временем протекания, сортом испускаемых частиц, их энергией, а при вылете нескольких частиц — угловой корреляцией, т. е. относительным углом между направлениями их вылета. Исходное радиоактивное ядро называется материнским или родительским, а продукт его распада — дочерним.

Поскольку процесс распада происходит самопроизвольно (спонтанно), то изменение числа ядер из-за распада за произвольный промежуток времени определяется только количеством радиоактивных ядер в момент и пропорционально промежутку времени :

где — постоянная, характеризующая скорость распада. Интегрируя (10.34) и считая, что при 0 количество ядер равно

т. е. число ядер убывает по экспоненциальному закону. Величина , определяющая в (10.35) скорость убывания ко-

личества радиоактивных ядер, называется постоянной распада. Она имеет размерность [c 1] и, как будет показано чуть дальше, характеризует вероятность распада одного атома в одну секунду. Для характеристики радиоактивных элементов вводится также понятие периода полураспада 1 2. Под ним понимается время, в течение которого распадается половина исходного числа атомов.

Впервые закон радиоактивного распада (10.35) был установлен в 1903 г. П. Кюри. Он же ввел понятие периода полураспада и показал его независимость от внешних условий. Исходя из этого, П. Кюри предложил использовать период полураспада как эталон времени для определения абсолютного возраста земных пород.

Рассчитаем теперь среднее время жизни радиоактивного ядра. Подставляя условие 1 2 0 2 в уравнение (10.35),

При экспоненциальном законе радиоактивного распада в любой момент времени имеется отличная от нуля вероятность найти еще нераспавшиеся ядра. Время жизни таких ядер превышает . Вместе с тем, другие, распавшиеся к этому времени ядра прожили разное время, меньшее . Среднее время жизни для данного радиоактивного изотопа определяется обычно следующим обра-

Следовательно, среднее время жизни радиоактивного ядра равно обратной величине от постоянной распада . За время первоначальное число ядер уменьшается в раз.

Величина называется активностью данного препарата, она определяет число распадов в секунду. Активность является характеристикой определенного количества распадающегося вещества, а не отдельного ядра. Единицей ак-

160 Атомное ядро [ Гл. 10

тивности является беккерель: 1 беккерель (Бк) равен 1 распаду в секунду. Часто на практике используют и внесистемную, ранее применявшуюся, единицу активности — кюри: 1 кюри (Ки) равно числу распадов ядер, содержащихся в 1 г радия за 1 с

(3,7 1010 распадов в секунду).

Виды радиоактивного распада. К числу радиоактивных процессов относятся - и -распады (в том числе и захват электрона с атомной оболочки), -излучение, деление ядер, а также испускание запаздывающих нейтронов и протонов. Два последних процесса относятся к каскадному двухступенчатому типу, так как испускание запаздывающих нейтронов (протонов) происходит после предварительного испускания ядром электрона (позитрона). Поэтому испускание запаздывает на время, характеризующее предшествующий -распад. Рассмотрим перечислен-

ные нами процессы.

Альфа-распад. Спонтанному -распаду подвержены только тяжелые ядра с 83 и небольшая группа ядер редких земель в области 140–160 (как например, некоторые изотопы Sm, Hf, Nd, Eu, Gd, Tb, Dy). При -распаде исходное материнское ядро испускает ядро гелия ( -частицу) и превращается в дочернее ядро, числа протонов и нейтронов у которого уменьшаются на две единицы каждое. Период полураспада -активных ядер изменяется в чрезвычайно широких пределах. Так, например,

вылетающих -частиц значительно меньше — от 4 до 9 МэВ, причем чем меньше их энергия, тем больше период полураспада. Функциональная связь между энергией -частицы и периодом полураспада радиоактивного ядра 1 2 хорошо описывается

полученной на основе экспериментальных данных Гейгером и Нэттолом в 1911 г. Теоретическое обоснование закон Гейге- ра–Нэттола получил лишь после создания квантовой механики в 1928 г. в работах Г. Гамова (1904–1968) и, независимо, Р. Гёрни (1899–1953) и Э. Кондона (1902–1974), которые показали, что вероятность вылета -частицы из ядра определяется вероятностью ее проникновения через кулоновский барьер. Экспоненциальный характер этого процесса возникает вследствие экспоненциального затухания волновой функции в области под барьером, где потенциальная энергия больше энергии частицы.

Четыре элементарные частицы, из которых состоит -частица (два протона и два нейтрона), участвуют в сложном движении нуклонов в ядре, и нет никакого способа отличить их от других