студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

объем принял первоначальное значение, по-видимому, выросла и температура газа. Но это означает, что выросла его энергия. Дело в том, что при достаточно быстром перемещении поршня на обратном ходе газ совершает работу меньше той, которая была совершена над ним при прямом ходе поршня. Итак, мы совершили процесс, в результате которого объем системы равен первоначальному, а ее энергия увеличилась.

Того же результата можно добиться, вообще не совершая работы. Приведем сосуд в соприкосновение с более нагретым телом, например, поместим его в ванночку с горячей водой. Никакой макроско-

пической работы не совершается, однако давление при постоянном объеме растет, энергия газа увеличивается. В таком случае говорят, что к системе подвели некоторое количество теплоты

(можно также сказать: количество тепла или даже просто — некоторое тепло).

При теплообмене передача энергии происходит на микроскопическом уровне, при столкновениях молекул. Результат каждого отдельного столкновения предсказать невозможно. Но в среднем, с макроскопической точки зрения, при соударении энергичных молекул нагретой воды со стенками сосуда энергия переходит от воды к сосуду, при столкновениях менее энергичных молекул газа энергия (конечно, тоже только в среднем, только в макроскопическом масштабе) переходит от стенок сосуда к газу. В результате энергия обязательно перетекает от горячей воды к холодному газу.

Очень важным является случай, когда состояние системы не зависит от состояния соседних тел. В этом случае говорят, что система помещена в адиабатическую оболочку, т. е. оболочку, не допускающую теплообмена с окружающей средой (название произошло от греческого слова adiabatos — непереходимый: энергия не может «переходить» через такую оболочку). Состояние такой системы можно изменить только совершая работу. Практическим примером оболочки, являющейся хорошим приближением к адиабатической, может служить колба бытового термоса — так называемый сосуд Дьюара.

У системы, помещенной в адиабатическую оболочку, появляется интересное свойство: работа при переводе ее из некоторого состояния 1 в определенное конечное состояние 2 не зависит от пути (от способа перевода системы из одного состояния в другое). Можно двигать поршень быстрее или медленнее; можно дать газу сильно расшириться, а затем несколько сжать его; можно, наоборот, слегка сжать газ, а потом уже производить расширение. Если система находится в условиях адиабатической изоляции (только в этом случае!), и если исходные и конечные

252 Элементы термодинамики [ Гл. 2

состояния системы во всех процессах одинаковы, суммарная работа будет одна и та же.

Предположим теперь, что в результате внешнего воздействия у адиабатически изолированной системы меняются только термодинамические параметры ( , , ). Система не приходит в движение как целое, не начинает вращаться и т. п. Не изменилась кинетическая энергия движения системы как целого, ее потенциальная энергия, например, в поле тяжести, в электрическом поле или какая-либо другая макроскопически наблюдаемая энергия. Работа тем не менее совершена, система получила энергию. Видимо, изменилась некая внутренняя энергетическая характеристика системы. И изменение этой характеристики не зависит (при наличии адиабатической изоляции) от пути перехода системы из одного состояния в другое. Но это означает, что такая характеристика — внутренняя энергия системы — является функцией состояния, т. е. однозначной функцией параметров состояния системы. Если известны объем, давление, температура, однозначно известна и внутренняя энергия.

Обозначим буквой работу, совершаемую системой. Работу, совершаемую над системой внешними телами, обозначим той же

Еще раз подчеркнем, что изменение энергии равно работе только в случае адиабатической изоляции системы.

Обратимся к противоположному случаю: система не совершает работы (в том числе и отрицательной, то есть не совершается работа над системой). Состояние системы меняется при теплообмене. Если меняется состояние — меняется внутренняя энергия. Изменение энергии мы можем определить, осуществив переход из того же начального состояния в то же конечное

вусловиях адиабатической изоляции системы. Тогда естественно принять за количество теплоты, полученное системой в процессе, осуществляемом без совершения работы, изменение внутренней энергии системы.

Заметим, что теперь у нас появляется возможность ввести понятие температуры, не зависящее ни от какого-либо эмпирического параметра, как это было при введении различных эмпирических температурных шкал, в частности, идеально газовой температуры, ни от конкретной модели, как мы это делали

вслучае газокинетической температуры.

Приведем систему в контакт с некоторым телом . Пусть система при этом не совершает работы. Если ее внутренняя энергия в результате теплообмена увеличится, то это означает, что термодинамическая температура тела была вы-

ше температуры системы; если же внутренняя энергия системы уменьшится, то была выше ее температура. Если теплообмена не будет (в отсутствие адиабатической изоляции), то температуры считаем равными.

Введенное таким образом понятие температуры будет однозначным только при выполнении условия транзитивности равенства температур: если нет теплообмена при контакте тела как с телом , так и с телом , то и при контакте тел и не должно быть теплообмена между ними. Опыт показывает, что это условие всегда выполняется. Иными словами:

если температуры тел В и С порознь равны температуре тела А, то они равны между собой.

Пока мы определили термодинамическую температуру только на качественном уровне. Количественное ее определение требует привлечения основных законов термодинамики — так называемых первого и второго начал, к рассмотрению которых мы и переходим.

2.2. Первое начало термодинамики

Изменить энергию системы можно двумя принципиально различными способами:

1)совершая работу — осуществляя изменение макроскопических параметров системы, описываемое динамическими соотношениями,

2)подводя к системе тепло — при этом передача энергии происходит хаотически на микроуровне и подчиняется статистическим закономерностям; однако макроскопический результат всегда однозначно предопределен — тепло переходит от более нагретого тела к менее нагретому.

Аддитивность этих двух способов энергообмена — суть первого начала термодинамики: изменение энергии системы равно сумме работы , совершенной над системой, и подведенного к ней количества теплоты :

В термодинамике, как правило, не представляет интереса кинетическая энергия, связанная с движением системы как целого и т. п. Поэтому почти всегда в формулах фигурирует внутренняя энергия. Если мы еще заменим работу внешних сил работой системы, то получим обычный вид первого начала:

Если известны изменения температуры и объема, еще тем не менее неизвестно, какое было подведено количество теплоты и какая совершена работа. Разные величины мы получим, если

254 Элементы термодинамики [ Гл. 2

в одном процессе сначала изменилась температура, затем объем, а в другом — сначала объем, затем температура. Ни с одной из этих величин не совпадет результат, если температура и объем меняются одновременно.

Одинаковой во всех трех случаях будет только сумма подведенного тепла и совершенной внешними телами работы, т. е. изменение внутренней энергии системы.

Работа против сил внешнего давления при изменении объема на величину равна . Действительно, работа равна произведению силы на перемещение . Пусть на поршень сечения мы поместили гирю массы . Тогда сила создает давление . При перемещении на расстояние работа равна .

Если объем изменяется от значения 1 до

случае надо записать

2

1

На графике в координатах это — площадь под кривой, изображающей зависимость давления от объема.

Рассмотрим три варианта перехода системы из состояния 1 в состояние 2 (рис. 2.2). Если сначала растет объем, а затем давление, работа изображается прямоугольником 113 2, заштрихованным на рисунке; заметим, что на участке 32 работа не

состояния 1 в состояние 2 она изменяется на одну и ту же величину. В то же время работа зависит от конкретного пути изменения состояния системы, а значит, в силу первого начала на разных путях перехода к системе должны быть подведены различные количества теплоты.

Для бесконечно малого изменения параметров системы имеем

Различие в обозначениях малых величин ( , но Æ и Æ ) отражает различный их математический смысл. Величина — дифференциал функции состояния, внутренней энергии системы.

Это полный дифференциал, т. е. он может быть записан в виде суммы частных дифференциалов. Например, в переменных и можно записать

Авот о величинах Æ и Æ этого сказать нельзя. В отличие от внутренней энергии работа и количество теплоты не являются функциями состояния. Они — функции процесса. Поэтому их малые изменения нельзя считать дифференциалами.

Характеристикой интенсивности теплообмена служит теплоемкость, определяемая как количество теплоты, которое надо подвести к телу в данном процессе, чтобы его температура возросла на единицу (на один кельвин):

Используя соотношения (2.4), (2.5) и (2.6) запишем первое начало в виде

Рассмотрим несколько важных частных случаев.

1. Изохорический процесс: . Перепишем (2.7), только укажем нижним индексом величину, которая в данном процессе остается постоянной:

Само собой разумеется, что 0. И мы получаем

Изохора — единственный квазистатический процесс, в котором не совершается работа, все тепло идет на изменение внутренней энергии системы. Поэтому теплоемкость имеет особое значение, и именно ее обычно имеют в виду, когда говорят просто

о«теплоемкости вещества».

2.Изобарический процесс: .

ведливо для любого вещества. Однако стоит выделить два частных случая.

У конденсированных сред, т. е. жидкостей и твердых тел, производная обычно мала (исключение — жидкости вблизи критической температуры), поэтому и очень близки по величине, и зачастую их на практике не различают.

Другой важный случай — идеальный газ. Во-первых, его внутренняя энергия (суммарная кинетическая энергия молекул)

лоемкость моля, молярную теплоемкость, если не оговорено иное, договоримся обозначать прописной буквой ), мы получим

соотношение Роберта Майера: .

3. Политропа (для идеального газа). Любой процесс, в ходе которого теплоемкость остается постоянной, называется политропическим.

Дифференциальное уравнение политропы для моля идеального газа выглядит следующим образом:

или

Если еще не зависит от температуры, то мы после интегрирования получаем

Используя уравнение состояния, преобразуем это соотношение в стандартное уравнение политропы :

Изохора и изобара — частные случаи политропы. Еще одна важная политропа — адиабата. Это процесс в отсутствие теплообмена, в котором Æ 0, т. е. формально 0. Для показателя адиабаты принято специальное обозначение . Уравнение адиабаты идеального газа при использовании этого обозначения принимает вид

и называется уравнением адиабаты Пуассона.

Отметим еще раз, что это уравнение квазистатического адиабатического процесса. Если идеальный газ совершает процесс в условиях адиабатической изоляции, но этот процесс нельзя

2.2 ] Первое начало термодинамики 257

считать квазистатическим, пользоваться соотношением (2.13) нельзя.

Рассмотрим несколько примеров адиабатических процессов, важных как с теоретической, так и с практической точки зрения. И в качестве первого примера рассмотрим как раз необратимый процесс расширения газа в пустоту, когда уравнение адиабаты

Пуассона использовать нельзя.

Опыт Гей-Люссака–Джоуля. Разделим теплоизолированный сосуд на две части; одну заполним газом, в другой создадим

Рассмотрим энергетический баланс процесса. Сосуд по условию теплоизолирован — тепло к газу не подводится (и не отводится от него), т. е. 0. Работы газ не совершает: если оболочка жесткая, нет перемещения — нет работы: 0. Но вместе взятые эти два утверждения означают, что не изменилась внутренняя энергия газа: 0. Нетрудно сделать вывод, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема. Этот вывод хорошо согласуется с моделью упругих шариков, взаимодействующих только при непосредственном соприкосновении; но подчеркнем, что опыт Гей-Люссака–Джоуля позволяет сделать его независимо от модели, т. е. независимо от того, приняли мы какую-либо модель или нет.

Отметим, что фактически и французский физик и химик Ж. Гей-Люссак (1778–1850) в 1807 г., и повторивший в 1845 г. его опыт Джоуль соединяли два сосуда с газом, давления в которых были вполне ощутимыми, хотя и существенно различными. При этом они обнаружили, что расширяющийся газ охлаждается, а сжимающийся — нагревается. Гей-Люссак на этом и остановился. Джоуль же поместил всю систему из двух сосудов в единый термостат. Оказалось, что в конечном итоге теплоотдача от газа термостату равна нулю. Анализ этого эксперимента послужил важным подспорьем на пути к открытию закона сохранения энергии, т. е. первого начала термодинамики.

Рассмотрим несколько иной опыт.

Дросселирование. Заставим газ вытекать из сосуда, где поддерживается давление 1, в пространство, где давление равно2, например, в атмосферу, через элемент, имеющий большое гидродинамическое сопротивление. Таким элементом может слу-

9 Основы физики. Т. II

258 Элементы термодинамики [ Гл. 2

жить достаточно длинная узкая трубка, полузакрытый кран; на практике чаще всего применяется пористая пробка (рис. 2.4).

в процессе Джоуля–Томсона сохраняется, т. е. в конце процесса эта величина принимает то же значение, что и в его начале; по ходу процесса состояние каждой очередной порции газа меняется весьма сложным образом.

Так как и — функции состояния системы, то их сумма— также функция состояния; называется эта величина энтальпией. То есть можно сказать, что процесс адиабатического дросселирования — это изоэнтальпический процесс.

Вотсутствие теплоизоляции количество тепла, подведенное

кгазу в процессе дросселирования, очевидно, должно быть равно изменению его энтальпии. Для моля идеального газа получим

Таким образом, во-первых, при адиабатическом дросселировании идеального газа его температура не меняется, и во-вторых, если дросселирование не адиабатично, то подведенное к газу тепло равно

На первый взгляд опыт Джоуля–Томсона не отличается принципиально от подлинных опытов Гей-Люссака и Джоуля, соединявших сосуды с существенно различными давлениями. Однако различие есть, и оно весьма существенно. В опыте Джоуля–Томсона параметры газа в сосуде поддерживаются постоянными — для этого приходится затрачивать работу, например, перемещать поршень (чаще, конечно, работу совершает компрессор, поддерживающий постоянное давление в сосуде). В опытах же Гей-Люссака–Джоуля работа по вытеснению очередных порций газа из сосуда в сосуд совершается газом, остающимся в первом сосуде за счет его внутренней энергии, что и приводит к охлаждению. Над газом, содержащимся во втором

7 5.)

Подведем некоторые итоги.

Первое начало термодинамики можно рассматривать как определение количества теплоты. Если мы знаем, на сколько в некотором процессе изменилась внутренняя энергия системы и какая работа совершена этой системой, то, сложив эти две величины, мы вычислим подведенное к системе тепло.

Первое начало — обобщение закона сохранения энергии на случай тепловых процессов. Уже это дало нам возможность ввести важные понятия и получить ряд конкретных результатов. Но центральное место в термодинамике занимает не имеющее аналогов в других разделах физики второе начало, которому посвящен следующий параграф.

2.3. Второе начало термодинамики

Второе начало термодинамики можно сформулировать следующим образом: если при непосредственном контакте тепло переходит от тела А к телу В, то невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача энергии от В к А.

В этой формулировке слово «процесс» надо понимать весьма широко. Это может быть несколько одновременно или последовательно осуществляемых процессов, в общем, это может быть любая совокупность процессов. К участию в процедуре могут быть привлечены любые посторонние тела. Важно лишь, чтобы в конце все они вернулись в исходные состояния — именно это обстоятельство подчеркивается словами «единственный результат».

Работоспособность обычного бытового холодильника наглядно иллюстрирует эту мысль. Холодильный агрегат только тем и занимается, что отнимает тепло у относительно холодного «тела» (холодильной камеры) и передает его более теплому окружающему воздуху. Но при этом он потребляет энергию извне, из электрической сети — это и есть некий компенсирующий процесс, придающий энергопередаче насильственный, не самопроизвольный характер. Отключим холодильник от сети, и тепло потечет внутрь: самопроизвольно оно может перетекать только в этом направлении.

Именно с упором на этот аспект дела формулировал второе начало Клаузиус: «Тепло не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому». Эта формулировка на первый взгляд выглядит простой тавтологией: ведь температура («степень нагретости») — критерий направления потока