студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

. Такой же процесс выбывания частиц из потока будет происходить и в каждом следующем слое. Если до какого-то сечения дошло частиц, изменение их числа в очередном слое толщины равно . Если исходное число частиц в пучке равно 0, то до сечения дойдет число частиц, равное

Так как в каждом очередном слое испытывает соударения одинаковая доля оставшихся частиц, а число частиц неуклонно убывает, абсолютное количество частиц, испытавших соударение после прохождения некоторого расстояния падает с ростом по экспоненте. Среднее же расстояние, пройденное частицей до соударения, равно как раз 1 , т. е. той величине, которую мы назвали (средней) длиной свободного пробега .

Мы считали одну молекулу движущейся, а остальные, с которыми она сталкивается, неподвижными. В действительности они, конечно, тоже движутся в среднем со скоростью . Из-за этого молекула, за которой мы наблюдаем, будет испытывать столкновения несколько чаще. Частота столкновений определя-

ется относительной скоростью молекул 2 , в то время как перемещение относительно стенок сосуда — длина пробега — скоростью . Поэтому окончательно для длины свободного пробега мы должны записать следующее выражение:

Коэффициенты переноса в газах. Длина свободного пробега и тепловая скорость молекул — параметры, знание которых позволяет вычислить коэффициенты переноса в газах.

Коэффициент диффузии. Рассмотрим стационарный процесс диффузии некоторого газа в смеси. Выберем ось по направлению градиента концентрации, т. е. по направлению наибольшей

направлениям: налево — направо, вверх — вниз, к нам — от нас. За время свободного

пробега через площадку пройдут молекулы, находящиеся на расстоянии, не превышающем , и движущиеся по на-

правлению к рассматриваемой площадке. Если скорость роста концентрации равна , на расстоянии от площадки «вниз» концентрация равна . Тогда «снизу» за время

площадку пройдет 1 6 молекул. Сверху, в направлении, противоположном оси , пройдет, соответствен-

но, 2 6 молекул. Общая плотность по-

тока получается равной 1 2 3 . Сравнивая полученное выражение с формулой (1.8), получаем

Коэффициент вязкости. Если в газе существует макроскопическое движение, скорость каждой молекулы можно представить как векторную сумму скорости направленного движения и тепловой скорости . Выберем ось

действующей на единицу площади, т. е. тангенциальному напряжению. Если, например, скорость направлена по оси , мы получаем

Сравнивая полученное выражение с формулой (1.10), имеем

Коэффициент теплопроводности. Полностью аналогичные рассуждения позволяют рассчитать и коэффициент теплопроводности. Каждая молекула, приходящая из области с меньшей температурой, приносит энергию 1 . Здесь 1 — коэффициент пропорциональности между температурой и средней энергией молекулы, т. е. теплоемкость газа при постоянном объеме в расчете на одну молекулу. Соответственно молекулы, идущие из более нагретой области, несут каждая энергию1 . Плотность потока тепла равна

1.3 ] Явления переноса 243

Сравнивая с формулой (1.11), получаем коэффициент тепло-

передаче температура вещества может меняться. Могут, конеч-

некоторое количество теплоты не доходит от первого сечения до второго. Между сечениями и «оседает» некоторая энергия (она, конечно, может быть отрицательной), температура вещества изменяется. Допустим, энергию единицы массы вещества можно представить в виде , тогда энергия всего вещества между и составит и на ее изменение в течение времени потребуется количество теплоты . Это тепло обеспечивается разностью потоков . Приравнивая два выражения для и учитывая соотношение (1.11) для , получаем

Здесь — некоторая новая характеристика процесса теплопередачи — температуропроводность (или коэффициент температуропроводности).

Обратим внимание на одно важное соотношение. Если мы сравним коэффициент диффузии, коэффициент температуропроводности и кинематический коэффициент вязкости , то для газов (и только для газов!) они оказываются равными друг

Необходимо отметить, что равенство (1.19) должно выполняться в рамках модели идеального газа, молекулы которого представляют собой твердые шарики, взаимодействующие лишь при соприкосновении. Размер «шариков» — молекул — мы теперь можем вычислить, измерив коэффициент теплопроводности или коэффициент диффузии в каком-нибудь газе. Можно также рассчитать размер молекул, измерив, например, плотность сжиженного газа ж. Таблица 1.1 иллюстрирует на примере аргона расхождение значений диаметра молекулы и сечения столкновения, рассчитанных из различных исходных величин.

Таблица 1.1

Величина порядка 3–4 ˚A типична для диаметра молекулы, значит, сечение столкновения имеет величину порядка 310 19 м2. Исходя из этого, мы теперь можем рассчитать коэффициенты переноса в газах. При нормальных условиях концентрация молекул составляет 2,5 1025 м 3; соответственно длина пробега 10 7 м. Принимая значение средней тепловой скорости молекул 500 м/с, можем получить для коэффициента диффузии оценку 2 10 5 м2/с. Эти оценки согласуются с экспериментальными данными; например, в воздухе при нормальных условиях коэффициент диффузии аммиака равен 2 10 5, а водяных паров — 1,7 10 5 м2/с. Примерно такие же значения имеют коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности газов при нормальных условиях. Так, для воздуха (смесь азота и кислорода) 1,8 10 5, 1,3 10 5,

1,9 10 5 м2/с, что лишний раз подтверждает адекватность

использованной приближенной методики расчета коэффициентов

переноса.

Разреженные газы. При вычислении длины свободного пробега по формуле (1.13) учитываются только соударения между молекулами. Столкновения со стенками не принимаются в расчет. Это возможно лишь при выполнении условия ( — некоторый характерный размер сосуда).

Если формально рассчитанная величина заметно превышает , столкновения со стенками становятся превалирующими. Тогда дело практически сводится к замене в выражениях для коэффициентов переноса 1 на .

1.3 ] Явления переноса 245

С такой ситуацией мы встречаемся в сосуде Дьюара (в частности, в обычном бытовом термосе). Стенки термоса делают двойными (рис. 1.9), промежуток откачивают примерно до 10 2 Па.

При этом 1 1 м, в то время, как зазор между стенками 1 мм. В обычных условиях коэффициент теплопроводности, согласно формуле (1.16), не зависит от давления: уменьшение концентрации (плотности ) компенсируется пропорциональным ростом . Но, начиная с давления порядка 10 Па, величина 1 становится примерно равной , и реальная длина пробега перестает расти. Если давление, а значит, и концентрацию молекул, уменьшить еще в 1000 раз, теплопроводность также упадет в 1000 раз.

вать как сплошную среду. Поэтому, в частности, становятся неприменимыми представления о переносе импульса от слоя к слою газа, теряет смысл понятие вязкости. Например, нельзя использовать формулу Пуазейля (в 1840 г. французский ученый М. Пуазейль (1799–1869) экспериментально установил закономерность течения жидкости через капилляр) при расчете протекания газа по трубе, если диаметр трубы сравним с или меньше этой величины.

Когда , пропускную способность трубы надо рассчитывать иначе. В таком режиме молекулы соударяются практически только со стенками трубы, перетекание газа можно рассматривать как диффузию при значении коэффициента диффузии

3 и градиенте 2 1 , где — длина трубки, а 1 и 2 — концентрации в сосудах, соединенных трубой. Если

сечение трубы равно , для потока, используя формулу (1.9), получаем

ем формулы Кнудсена (по имени датского физика К. Кнудсена (1871–1949)) для числа молекул, переходящих из сосуда в сосуд в единицу времени

Из формул (1.21), (1.22) видно, что в молекулярном или

кнудсеновском режиме течения, т. е. при 1 , поток пропорционален 3, тогда как в вязком или пуазейлевом режиме

пропорционален 4.

О процессах переноса в жидкостях и твердых телах. Процессы переноса в конденсированных средах протекают существенно иначе, чем в газах. В газах молекулы после свободного пробега соударяются с другими молекулами и меняют величину и направление скорости. Переместившись на соответствующее расстояние (если нас интересует диффузия), перенеся на это расстояние импульс или энергию (если мы рассматриваем соответственно вязкость или теплопроводность), молекулы начинают новый цикл процесса переноса.

Вконденсированных средах молекулы непрерывно взаимодействуют с соседями, будучи в большей (в твердых телах) или меньшей (в жидкостях) степени «привязанными» к определенному положению. Это обстоятельство по-разному влияет на коэффициенты переноса.

Диффузия в жидкостях и особенно в твердых телах протекает гораздо медленнее, чем в газах.

Вконденсированном состоянии молекуле, чтобы изменить свое местоположение, необходимо обладать некоторой избыточной энергией, достаточной для разрыва связей с соседями. Обычно величина этой энергии (энергии активации) составляет от 0,1 до 1–2 эВ, в то время как тепловая энергия при комнатной

температуре Б 0,025 эВ. Количество молекул, имеющих достаточно большую энергию , пропорционально Б . При комнатной температуре таких молекул в жидкости немного,

ав твердых телах совсем мало.

Врезультате типичные значения коэффициентов диффузии в жидкостях при комнатной температуре на 4–5 порядков меньше, чем в газах при нормальных условиях, а в твердых телах еще на много порядков меньше.

Например, коэффициенты диффузии поваренной соли, хлористого калия, этилового спирта, аммиака в воде, камфары, фенола в спирте, иода в воде, спирте, уксусной кислоте все лежат

в пределах 1–2 10 9 м2/с. Диффузия более крупных органических молекул зачастую протекает еще медленнее: разновидности сахара (сахароза, фруктоза, лактоза) имеют коэффициенты диффузии в воде в пределах 3–5 10 10 м2/с.

В твердых телах при комнатной температуре диффузия во многих случаях вообще практически не происходит. Так, для диффузии цинка в медь получаем расчетное значение коэффициента диффузии порядка 10 34 м2/с, что соответствует миллионам лет для «времени проникновения» диффундирующего вещества

в «растворитель» на расстояние порядка атомных размеров. В то же время при такой большой энергии активации (разности и Б ) коэффициент диффузии резко зависит от температуры. Для той же пары цинк медь при 500 ÆC диффузия становится вполне заметной: 10 14 м2/с. При дальнейшем повышении температуры рост коэффициента диффузии продолжается, и в расплавленных металлах он обычно даже выше, чем в обычных жидкостях при комнатной температуре. Впрочем, в жидкостях он тоже растет с ростом температуры, хотя и не так быстро.

Вязкость жидкости определяется способностью движущегося в ней тела заставить молекулы жидкости изменить взаимное расположение, а значит, тоже зависит от величины энергии активации. Но эта зависимость обратная — с ростом температуры вязкость жидкости падает. При комнатной температуре динамическая вязкость жидкостей намного выше, чем у газов.

В то же время кинематическая вязкость нередко у жидкостей ниже. Сравним воздух и воду. У воздуха (при нормальных условиях) 1,3 10 5 Па с и 10 5 м2/с; у воды же 10 3 Па с, но кинематическая вязкость 10 6 м2/с. Подобные значения вязкости у керосина, спирта, а у ацетона, бензина, этилового эфира в несколько раз ниже. Зато такие вязкие жидкости как растительное масло, глицерин имеют коэффициенты в сотни и тысячи раз больше, чем вода. У таких жидкостей, конечно, кинематическая вязкость также значительно выше, чем у газов.

Теплопроводность в конденсированном состоянии благодаря непрерывному взаимодействию соседствующих молекул осуществляется быстрее, чем в газах. Соответственно, характерные значения коэффициента теплопроводности жидкостей и твердых тел в десятки и сотни раз выше, чем у газов.

Диапазон разброса значений теплопроводности у твердых тел весьма велик. Металлы, в которых перенос тепла осуществляется легкими, подвижными электронами (скорости электронов проводимости в металлах примерно в тысячу раз выше скоростей молекул газов при комнатной температуре), имеют коэффициент теплопроводности порядка 100–500 Вт/(м К) против 0,1–0,5 у жидкостей. У газов при комнатной температуре лежит в пределах 0,01–0,03 Вт/(м К), лишь у гелия и водорода достигая величин 0,15–0,18 Вт/(м К), что объясняется малой массой молекул этих газов. В то же время теплопроводность некоторых теплоизоляционных материалов приближается к теплопроводности газов. Так, у различных пенопластов она бывает равной 0,05 и даже 0,02 Вт/(м К). Это связано с их пористым строением — теплопроводность сплошных образцов соответствующих материалов, как правило, на порядок выше.

Задачи

1. Резиновый шнур при увеличении нагрузки на 10 г изотермически растягивается на 1 см. Шнур нагрели, и его длина уменьшилась на 4 см. Как надо изменить нагрузку, чтобы при новой температуре длина шнура оказалась равной исходной?

Ук а з а н и е . Воспользоваться формулой (1.4). Ответ: Увеличить нагрузку на 40 г.

2. При нагреве моля идеального газа на 1 К при постоянном объеме давление возрастает на 10 Па. Если при том же исходном состоянии нагреть газ на 1 К при постоянном давлении, объем увеличится на

1 дм3. Определить параметры исходного состояния газа.

Ук а з а н и е . Воспользоваться формулой (1.3) и уравнением состояния идеального газа.

Ответ:

3.В сосуде постоянного объема находится кислород (О2). После того, как

всосуде был осуществлен электрический разряд, половина молекул кислорода распалась на атомы, а температура газа выросла вдвое. Как изменилось давление?

Ответ: Давление выросло в 3 раза.

4.В настоящее время в околоземном пространстве находится примерно

103 рукотворных тел (спутники, обломки аварий и т. д.).

Принимая толщину «заселенного» слоя атмосферы равной 100 км, а характерный размер объектов — 1 м, оценить «время жизни» отдельного тела. Считать, что тела «вымирают» только в результате взаимных столкновений, т. е. торможение в атмосфере не учитывать.

Оценить также время между столкновениями любых двух рукотворных тел — насколько часто вообще должны происходить столкновения в околоземном пространстве.

Решение. Средняя высота, на которой летают тела, и толщина слоя гораздо меньше радиуса Земли ( З 6400 км). Поэтому объем слоя можно

считать равным 4 З2 . Принимая сечение 2, получаем «длину свободного пробега» 1 2 .

Относительные скорости тел по порядку величины равны первой космической скорости 8 км/с. Время «свободного пробега» — время жизни

отдельного тела — равно 1 2 2 2 105 лет.

З

Столкновения во всем заселенном слое придется ждать в 2 раз меньшее время, т. е. 200 лет.

5.В цилиндрическом сосуде находится идеальный газ при температуре 0

идавлении 0. Боковые стенки сосуда — теплоизолирующие. Крышку сосуда нагревают до температуры 4 0, а температура днища поддерживается равной 0. Определить установившееся давление в сосуде. Объем сосуда остается постоянным.

Решение. Рассчитаем профиль температуры в сосуде. Так как боковые стенки не пропускают тепло, через любое сечение сосуда проходит один и

формулы (1.16), коэффициент теплопроводности пропорционален средней тепловой скорости молекул или . Значит, ( —

некоторая константа) или 3 2 1 , где 1 и — новые константы.

Подставляя значения 0 0 и 4 0 ( — длина сосуда), получаем 0 1 7 2 3.

1.4 ] Задачи 249

Пусть сечение сосуда равно . Масса газа, приходящаяся на элемент длины , равна . Из уравнения (1.1) , и тогда .

Полная масса газа в сосуде запишется в виде

Из начальных условий масса равна 0 . Отсюда 7 0 3. 6. При нагреве азота N2 практически все молекулы диссоциировали на

атомы, и в результате коэффициент самодиффузии вырос в 3 раза. Как изменился коэффициент теплопроводности ?

Ук а з а н и е . Молярная теплоемкость при постоянном объеме равна для двухатомного газа 5 2, для одноатомного 1 3 2.

Ответ: 1 1 1 1 3 3 5 2 3,6.

7. При нагреве азота N2 от температуры до температуры 1 4 практически все молекулы диссоциировали на атомы, а коэффициент теплопроводности вырос втрое.

Как отличается сечение столкновения атомов азота от сечения столкнове-

Г л а в а 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Взаимодействие тел приводит к изменению их состояния. В механике в основном рассматриваются такие воздействия на тела, которые приводят к изменению состояния движения этих тел как целого: силы вызывают ускорения, моменты сил приводят тела во вращение. Анализ изменения внутреннего состояния тел носит, как правило, вспомогательный характер: знание деформаций, например, позволяет определить силы и моменты.

Термодинамика в этом смысле противоположна механике: отвлекаясь в большинстве случаев от движения тела как целого, она сосредотачивает внимание на происходящих при взаимодействии изменениях внутреннего состояния тела, состояния термодинамической системы.

Совершая работу над поршнем насоса, мы не сдвигаем велосипед, а повышаем давление и температуру воздуха внутри камеры велосипедного колеса (заодно меняется и масса содержащегося в камере воздуха).

Конечно, изменение внутреннего состояния тел может вызвать и механическое движение. Нагревая газ в сосуде под поршнем, мы заставим поршень сдвигаться. Солнечное излучение не приводит непосредственно в движение воздух. Оно нагревает поверхность Земли, от нее нагревается воздух, но именно это вызывает движение воздушных масс: от легкого ветерка до могучих ураганов.

Таких примеров можно привести много, и все они показывают, что обмен энергией с другими телами является важнейшей характеристикой взаимодействия системы со средой. Поэтому изучение термодинамики мы начнем с обзора механизмов передачи энергии и анализа влияния энергообмена на состояние тела.

2.1. Работа. Тепло. Внутренняя энергия

Как известно из механики, чтобы изменить энергию тела, надо совершить над ним работу. Проделаем несложный опыт. Подключим манометр к сосуду, в котором под поршнем находится газ (рис. 2.1).

Сожмем газ, а затем быстро вернем поршень в исходное положение. Мы увидим, что давление в сосуде выросло. Так как