2.4 Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма. Согласно принципу Ферма время, которое требуется свету для прохождения вдоль луча, отличается только на величины второго порядка малости от времени, которое требовалось бы свету для прохождения вдоль любого соседнего пути. Другими словами, действительный путь распространения света между двумя точками пространства есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время, по сравнению с другим мыслимым путем, между этими же точками.

Время прохождения светом пути l, заполненного средой с показателем преломления n, пропорционально оптическому пути

L = ln.

Если среда неоднородна, то

, (2.4.1)

а в случае с непрерывно меняющимся показателем преломления

. (2.4.2)

Поскольку , то можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю первая вариация интеграла (2.4.2). Действительно,

.

Тогда

или .

В однородной среде принцип Ферма приводит к закону прямолинейного распространения света, так как прямая есть кратчайшее расстояние между точками.

Принцип Ферма можно проиллюстрировать на простом примере. Рассмотрим, как за кратчайшее время свет может дойти от точки А до точки Б, отразившись от плоского зеркала. При перемещении точки отражения В ближе к А отрезок АВ уменьшается, но отрезок ВБ увеличивается и наоборот. Воспользуемся простым геометрическим приемом. Построим вспомогательную точку Б, лежащую на перпендикуляре к плоскости зеркала и проходящем через точку Г, причем . Если среда однородна, то свет в отсутствии зеркала будет двигаться по прямой АБ. Но длинна отрезков ВБ и ВБ одинакова. Кроме того, из построения видно, что и , а, следовательно . Таким образом, принцип Ферма приводит к закону отражения.

В случае перехода светового луча через границу раздела двух различных прозрачных сред, принцип Ферма приводит к закону преломления. Докажем это утверждение. Пусть свет из точки А приходит в точку Б, преломляясь на плоской границе S. Любой путь, лежащий вне плоскости АВБ, будет пройден светом за большее время. Действительно, либо AГ = AВ, а БГ > БВ, либо AГ > AВ, а ГБ = БВ.

Исследуем, как изменяется время прохождения пути в зависимости от положения точки В. Время распространения света по пути AВБ есть

,

где V₁ и V₂ – скорости распространения света до границы раздела и после нее. Из точек A и Б опустим перпендикуляры AА' и ББ' на плоскость S. Введем обозначения ВA' = x, AА' = h₁, ББ' = h₂ и А'Б' = р. Тогда

.

Условие минимума по принципу Ферма имеет вид .

Следовательно:

.

Из треугольников AВA' и БВБ' видно, что

; .

Откуда

или . (2.4.3)

2.5 Преломление света на сферических поверхностях

Д ля практических целей наиболее важным примером преломления световых лучей на границе раздела двух сред является преломление на границе, представляющей часть сферы. Поверхность S является частью сферы радиуса R. Слева от поверхности S находится оптически однородная среда с показателем преломления n₁, а справа – с показателем преломления n₂.

Рассмотрим лучи, исходящие из точки A под углом  к линии соединяющей точку А и центр сферической поверхности O. Будем считать, что этот угол настолько мал, что AВAM. Все лучи, преломившись на границе раздела, соединятся в точке Б. Учитывая предыдущее предположение, можно считать, что БМБB.

Из треугольников AAВ и AAO видно, что AA = AВsin  = = AOsin . Откуда получаем

.

Из треугольников ББВ и ББO имеем ББ = БBsin  = БOsin . То есть

.

Таким образом,

.

Учитывая вышеизложенное предположение, обозначим AВ  AM = – a, БB  БM = b, БO = MO = R. Знак "–" показывает, что начало координат помещено в точку M. Тогда AO = – a + R, БO = b – R.

или . (2.5.1)

Преобразуем выражение (2.5.1) к виду

.

Разделив правую и левую части равенства на R, получаем

. (2.5.2)

Из формулы (2.5.2) видно, что величину b можно найти, если известны величины n₁, n₂, R и a. Если первые три параметра заданы, то b однозначно определяется величиной a и не зависит от . Таким образом, все лучи, выходящие из точки A под малыми углами , придут в точку B, которая является ее изображением. Используя закон обратимости световых лучей, легко показать, что при преломлении на вогнутой поверхности формула (2.5.2) будет иметь тот же вид, но величину R необходимо взять со знаком "–" . Точно так же можно рассмотреть различные варианты, когда a и b будут иметь разные и одинаковые знаки. В рассмотренном случае a отрицательно, а b положительно. В этом случае изображение называют действительным. Подобная ситуация будет, если R < 0 и b < 0, а a > 0. Если же a и b имеют одинаковый знак, то изображение называется мнимым.