9.2 Соотношение неопределенностей

В классической механике состояние материальной точки в каждый момент времени характеризуется ее положением и импульсом. Реальные микрочастицы нельзя характеризовать точным заданием ее координат и импульса. Причина здесь в том, что всякая микрочастица проявляет наряду с корпускулярными и волновые свойства. Нельзя сказать, что в определенной точке пространства длина волны равна , если ничего неизвестно о волновом поле в других точках пространства. С другой стороны, любые волновые образования, заключенные в ограниченной области пространства, можно представить набором монохроматических волн – волновым пакетом. Если длина волнового пакета равна х, то волновые числа k будут принимать значения в интервале k. Минимальная ширина интервала k должна удовлетворять соотношению

xk  2. (9.2.1)

Перейдем в этом соотношении от волнового числа к импульсу частицы. Поскольку , учитывая, что величина является константой, . Следовательно,

xp  2 или xp  h. (9.2.2)

Это соотношение носит название соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса частицы. В трехмерном случае соотношение неопределенности выражается тремя неравенствами

.

П роиллюстрируем изложенное ранее на примере. Пусть на плоский непрозрачный экран с отверстием падает параллельный пучок электронов. При этом будем считать, что . Тогда , то есть электрон может с равной вероятностью находиться в любой точке пучка. После прохождения экрана произойдет дифракция электронов. При этом неопределенность координаты электрона будет порядка ширины щели . Учитывая, что большая часть энергии сосредоточится в главном максимуме, можно сказать: . Тогда,

.

Так как , то . Вспоминая выражение, связывающее импульс частицы с длиной волны де Бройля , получаем

.

Сужая щель до размеров , можно сделать неопределенность координат сколь угодно малой. Однако, при таких условиях получится неоднородная волна, быстро затухающая на расстоянии ~ . В этом случае оценка p не применима. Однако, соотношение неопределенностей, как показывают более точные исследования, остается в силе.

Соотношение неопределенностей нельзя трактовать в том смысле, что частица имеет определенную координату и импульс. И мы их не можем узнать с большей точностью, чем это требует формула (9.2.2). Истинный смысл соотношения неопределенностей отражает тот факт, что в природе объективно не существует состояний частиц с точно определенными координатой и импульсом одновременно.

Наряду с отношением (9.2.2), в волновой теории выводится также соотношение

. (9.2.3)

Смысл его состоит в том, что ограниченный во времени волновой процесс не может быть монохроматическим. Если время наблюдения t мало, то частота процесса будет найдена в лучшем случае с ошибкой, подчиняющейся соотношению (9.2.3). Если частоте сопоставить энергию по формуле , то формула (9.2.3) принимает вид

или . (9.2.4)

Формулу (9.2.4) называют соотношением неопределенностей Гейзенберга для времени и энергии.