2 Геометрическая оптика

В конце XVII века на основе многовекового опыта и развития представлений о свете Ньютон выдвинул теорию истечения световых частиц (корпускул), которые летят прямолинейно и подчиняются законам классической механики. По этой теории отражение света уподоблялось отражению упругих шариков при ударе о плоскость, что приводило к известному из школьного курса физики закону отражения: "угол падения равен углу отражения". Закон преломления света на границе двух сред объяснялся притяжением световых частиц преломляющей средой, вследствие чего изменяется траектория движения и скорость. Расчеты приводили к выводу, что скорость световых частиц в среде больше их скорости в вакууме. Однако, этот вывод Ньютона в дальнейшем был экспериментально опровергнут.

Современник Ньютона Х. Гюйгенс предложил другую теорию света – волновую. Впоследствии волновая теория получила свое обоснование как в экспериментах, так и в рамках теоретических представлений об электромагнитной теории света – уравнений Максвелла и следующих из них свойствах электромагнитных волн. Она позволила изучить и объяснить такие оптические явления, как интерференция, дифракция, поляризация.

Позднее в рамках квантовомеханических представлений удалось показать (теоретически и экспериментально), что свет имеет двойственную природу. С одной стороны он проявляет волновые свойства, а с другой – свойства частиц.

Оптика, как раздел физики, рассматривает совокупность явлений, связанных с волновой природой света – физическая оптика, корпускулярной – корпускулярная оптика, а также явлений, в которых не учитывается природа света – геометрическая (лучевая) оптика.

2.1 Законы геометрической оптики

Диапазон видимого для человеческого глаза электромагнитного излучения заключен в пределах 400750 нм. Так как длины волн видимого света достаточно малы, то при изучении некоторых оптических явлений можно рассматривать их, отвлекаясь от волновой или корпускулярной природы света. Первые оптические исследования проводились в этой области геометрической оптики. На опыте были установлены четыре основные закона геометрической оптики:

• закон прямолинейного распространения;

• закон независимости световых пучков;

• закон отражения;

• закон преломления на границе раздела двух прозрачных сред.

Рассмотрим подробнее названные выше законы.

Закон прямолинейного распространения света. В однородной среде свет распространяется по прямым линиям. Опытным доказательством этого закона могут служить наблюдения за резкими тенями от предметов. Однако этот закон теряет силу при прохождении света через малые отверстия.

Закон независимости световых пучков. Световой поток можно разбить на пучки. Эти пучки не зависимы друг от друга, то есть эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно другие пучки. Если пучки пересекаются, то они не возмущают друг друга. Этот закон справедлив для пучков с небольшой интенсивностью.

На основе законов прямолинейного распространения и независимости световых пучков сложилось представление о световых лучах. С точки зрения математики луч – это прямая линия, вдоль которой распространяется свет. В таком понимании световой луч является математической абстракцией. Реально же существуют световые пучки, которые имеют поперечное сечение хотя и малых, но все же конечных размеров. Поэтому под световым лучом понимают достаточно узкий световой пучок, который еще может существовать отдельно от других пучков.

З акон отражения света. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к поверхности раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Угол между нормалью и падающим лучом ₁ равен углу между нормалью и отраженным лучом ₂

₁ = ₂ . (2.1.1)

З акон преломления света. Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности, восстановленной в точке падения луча. Угол падения  и преломления  связаны между собой формулой

. (2.1.2)

Константа в формуле (2.1.2) зависит от оптических свойств соприкасающихся сред.

2.2 Вывод законов преломления и отражения

Законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред могут быть получены из уравнений Максвелла. Пусть на плоскую границу раздела двух однородных незаряженных диэлектриков падает монохроматическая волна. Здесь она разделяется на две волны: отраженную и преломленную. Будем обозначать величины, относящиеся к падающей волне, индексом "пад", отраженной – "отр", а преломленной – "пр". Для каждой из трех можно записать волновые уравнения вида (1.3.6). Из курса электромагнетизма известно, что в отсутствии поверхностных зарядов и токов на границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие векторов и должны быть равны. Следовательно

(2.2.1)

Чтобы граничные условия выполнялись в любой момент времени, коэффициенты при t в показателях экспонент для всех трех волн должны быть одинаковы. Поэтому частоты отраженной и преломленной волн равны частоте падающей волны ^пад = ^отр = ^пр = , т.е.

Данное условие должно выполняться в любой точке на границе раздела. Это возможно лишь в том случае, если фазы колебаний падающей преломленной и отраженной волн совпадают, что эквивалентно условию

. (2.2.2)

Здесь индекс "" указывает на тангенциальные компоненты волновых векторов. Введем систему координат таким образом, чтобы плоскость xy совпадала с границей раздела сред, тогда в проекциях на координатные оси условие (2.2.2) запишется следующим образом:

. (2.2.3)

Условие (2.2.3) должно выполняться как для точек с x = 0, т.е.

, (2.2.4)

так для точек с y = 0, т.е.

. (2.2.5)

И з (2.2.4) и (2.2.5) следует, что волновые векторы отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения, т. е. в плоскости, проведенной через волновой вектор падающей волны и нормаль к границе раздела.

Для вывода формул (2.1.1) и (2.1.2) удобно сориентировать систему координат так, чтобы плоскость xz совпадала с плоскостью падения, а начало координат находилось в точеке падения луча на границу раздела сред. Тогда y-компоненты волновых векторов обращаются в нуль, а x-компоненты равны

; ; . (2.2.6)

Из определения волнового вектора (формула (1.4.2)) следует, что

.

А поскольку скорость распространения падающей и отраженной волн одинакова, то или . Остается доказать выражение (2.1.2). Для этого достаточно предположить, что среды являются однородными, т.е. скорости распространения света в них постоянны. Тогда из соотношения (2.2.4) с учетом условия (2.2.6) получаем

или . (2.2.7)