4.6 Дифракция от двух параллельных щелей

Распределение интенсивности света при дифракции на щели зависит от направления дифрагирующих лучей. Это означает, что перемещение щели параллельно самой себе не изменит дифракционной картины, а приведет лишь к ее смещению. Следовательно, можно предположить, что если преграда содержит две параллельные щели одинаковой ширины, то картины, создаваемые каждой целью в отдельности, будут одинаковы, а общая картина будет получена простым наложением дифракционных картин. Однако дело обстоит несколько сложнее. Здесь необходимо учитывать взаимную интерференцию волн, идущих от обеих щелей.

Н аправим параллельный пучок света на непрозрачный экран с двумя идентичными щелями шириной b, отстоящими друг от друга на расстоянии a. Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна щель не распространяет свет, будут наблюдаться минимумы с нулевыми значениями интенсивности. Они наблюдаются в направлениях, соответствующих условию

. (4.6.1)

Что касается максимумов, то они наблюдаются не везде, где наблюдались для одной щели. Вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях эти лучи будут взаимно уничтожаться. Таким образом, дифракционная картина от двух щелей содержит добавочные минимумы. Положение добавочных минимумов определяется из условия интерференции от соответствующих участков щелей. Как нетрудно догадаться, эти точки находятся на расстоянии . Тогда, для добавочных минимумов получим

. (4.6.2)

Действие одной щели усиливается другой, если разность хода между соответствующими участками щелей составляет целое число полуволн. Такие максимумы называют главными. Они возникают в направлениях, соответствующих условию

. (4.6.3)

На рисунке (стр. 71) приведен пример распределения интенсивности света от двух щелей (сплошная линия) в сравнении интенсивности дифракции на щели (пунктирная кривая). В этом примере расстояние между щелями a принято равным ширине щелей b, а интенсивность максимумов от одной щели для наглядности увеличена в два раза.

4.7 Дифракционная решетка

Д ифракционной решеткой называют совокупность узких параллельных щелей, находящихся на небольшом расстоянии друг от друга. На практике дифракционные решетки представляют собой стеклянную или металлическую поверхность, на которую наносят множество равноотстоящих штрихов. Пространство между штрихами играет роль щели, а сами штрихи – непрозрачного экрана. Дифракционная решетка характеризуется шириной щели b, шириной штриха a, периодом решетки d = a + b и количеством щелей N.

Из условий минимумов и максимумов для двух щелей видно, что между двумя соседними главными максимумами возникает один добавочный минимум. Проводя подобные рассуждения, несложно убедится, что для трех щелей добавочных минимумов будет два, для четырех – три и т.д. В общем случае для N щелей добавочных минимумов будет N – 1. Разность хода между вторичными волнами, исходящими из соседних щелей решетки, равна dsin , а разность фаз . Здесь  является углом дифракции. Обозначим через E₁ поле в точке наблюдения, создаваемое крайней щелью , где .

Д ля получения полного поля E_P от всех щелей в некоторой точке P экрана воспользуемся методом векторных диаграмм. Результирующую амплитуду можно выразить через амплитуду E₁ и вспомогательный параметр R – радиус окружности, на которой лежат начала и концы векторов E₁, E₂, … E_N. Из рисунка видно,

;

.

Поделив одно уравнение на второе, получим

. (4.7.1)

Тогда интенсивность света в точке P равна

, (4.7.2)

где , а I₀ – интенсивность света, излучаемого одной щелью в направлении  = 0.

Рассмотрим зависимость от угла дифракции. При разности хода лучей из двух эквивалентных точек соседних щелей, равной целому числу длин волн, происходит взаимное усиление световых волн. Полученные таким образом главные максимумы наблюдаются при выполнении условия

. (4.7.3)

Количество главных максимумов равно 2m + 1, где m легко найти из условия sin 1, т.е. m  d/.

Из математики известно, что . Следовательно, для m-го главного максимума может быть получено следующее выражение

. (4.7.4)

Условие (4.7.3) эквивалентно условию . Между двумя главными максимумами возникает N – 1 минимум, для которого справедливо , то есть при , или

. (4.7.5)

Из формулы (4.7.4) видно, что интенсивность в главных максимумах в N ² раз превосходит интенсивность от одной щели. Условие (4.7.3) определяет направления, в которых излучения от всех щелей решетки приходят в точку наблюдения в одинаковых фазах. В таких направлениях при отдельных значениях m, могут и не возникнуть максимумы. Это будет, когда I₁ = 0. Например, если a = b, все главные максимумы четных порядков не появятся. На рисунке изображены графики зависимости интенсивности для четырех параллельных щелей. Верхний график, обусловленный множителем из формулы (4.7.2), характеризует интерференцию четырех пучков. Средний график, обусловленный множителем , характеризует распределение интенсивности для дифракции одной щели. И, наконец, н ижний график определяет интенсивность, обусловленную обоими множителями.

Если волна падает на решетку под углом , то положение главных дифракционных максимумов определяется условием

, (4.7.6)

а дифракционных минимумов –

. (4.7.7)

По формулам (4.7.3) и (4.7.6) можно вычислить длину волны падающего света. Для этого необходимо знать лишь положение главных максимумов. Поэтому дифракционная решетка может служить прибором для измерения именно длины волны, а не частоты колебаний.