7.4 Формула Планка

В 1900 году Макс Планк (1858-1947) получил формулу для функции равновесного излучения, хорошо согласующуюся с опытом при всех частотах. Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, а только вполне определенные значения _n, отделенные друг от друга конечным интервалом. Переход осциллятора из одного состояния в другое сопровождается поглощением или излучением конечной порции энергии – кванта. Вероятность P_n того, что осциллятор имеет энергию _n, в соответствии с распределением Больцмана, пропорциональна . Однако, поскольку энергия принимает не любое значение, то при вычислении средних значений энергии осциллятора интегралы необходимо заменить суммами

. (7.4.1)

Для определения среднего значения необходимо определить все _n. Планк предположил, что энергия _n в состоянии с номером n составляет целое кратное наименьшей порции энергии ₀

_n = ₀n , (7.4.2)

где n = 1, 2, 3,  после математических преобразований выражения (7.4.1) с учетом условия (7.4.2), получим

.

Подставляя полученное значение средней энергии осциллятора в формулу (7.3.7), получим

.

Чтобы это соотношение не противоречило формуле Вина (7.3.2), необходимо принять или , где ħ – постоянная, названная постоянной Планка. В результате, выражение для спектральной плотности равновесного излучения примет вид

. (7.4.3)

Формула (7.4.3) получила название формулы Планка. Сам Планк пользовался не постоянной ħ, а постоянной .

Формула Планка хорошо согласуется с экспериментом при всех частотах и температурах. Для малых частот и высоких температур . Тогда экспоненту в формуле Планка можно разложить в ряд

,

после чего она принимает вид формулы Рэлея-Джинса

.

В другом предельном случае (при ) экспонента в знаменателе много больше единицы. Следовательно, формула Планка принимает вид

.

Такой вид был предложен Вином. Кроме того, из этого соотношения легко получить явный вид функции , входящей в формулу (7.3.2)

.

Между этими предельными случаями лежит область, в которой находится максимум кривой спектрального распределения.

8 Корпускулярные свойства света

8.1 Фотон

В природе существуют процессы, которые волновая оптика объяснить не может. При рассмотрении излучения черного тела Планку достаточно было предположить, что излучение происходит порциями (квантами). Однако, возникает вопрос: если излучение световых волн квантовано, то как же происходит поглощение и распространение света? Альберт Эйнштейн (1879-1955) предположил, что свет не только излучается, но и распространяется порциями. Причем каждая порция (квант) ведет себя как дискретная частица. Такие частицы были названы фотонами.

Непосредственное подтверждение гипотезы Эйнштейна дал опыт Вальтера Боте (1891–1957). Тонкая фольга помещалась между двумя регистрирующими устройствами. Фольга облучалась слабым пучком рентгеновских лучей. От регистрирующих устройств импульс передавался на особый механизм, делавший отметки на движущейся ленте. Если бы энергия распространялась по всем направлениям равномерно, то оба счетчика срабатывали бы одновременно. Однако, отметки на ленте были не одна против другой, а располагались беспорядочно.

В основе квантовой теории света лежит формула, связывающая энергию фотона и частоту колебаний световой волны

. (8.1.1)

Эта формула, с учетом соотношения между энергией и массой , позволяет определить массу фотона

. (8.1.2)

Принято говорить, что фотон не имеет массы покоя, а обладает только массой движения. Такое понимание массы фотона, вообще говоря, лишено всякого смысла, поскольку фотонов без поступательного движения вообще не существует. Наличие у фотона массы позволяет сделать предположение о том, что фотон можно, как и другие частицы, характеризовать импульсом. В соответствии с общими представлениями об импульсе можно записать

, (8.1.3)

где – скорость фотона. Учитывая модуль скорости света , получим следующее выражение для модуля импульса фотона

. (8.1.4)

Используя выражение для волнового вектора , выражение для импульса фотона принимает вид

. (8.1.5)

Все приведенные величины связаны с волновыми характеристиками излучения – частотой, длиной волны и волновым вектором. Поэтому возникает естественный вопрос: существует ли величина, характеризующая фотон и не зависящая от волновых характеристик. Такой величиной является собственный момент импульса или спин. Он находится из сравнения момента вращения, создаваемого световой волной, с суммарным моментом количества движения фотонов, содержащихся в световом потоке. Единичная площадка поверхности тела получит от волны за одну секунду энергию, равную модулю вектора Умова-Пойтинга . Тогда,

.

С другой стороны, , где N – количество фотонов в потоке. Следовательно,

.

Суммарный момент количества движения потока фотонов складывается из спинов всех фотонов, то есть L = Nl, где l – спин одного фотона. Таким образом

. (8.1.6)

Остается выяснить, имеет ли фотон заряд. В этом легко убедиться. Рассматривая свет как поток заряженных частиц и используя закон сохранения заряда, мы приходим к выводу, что любая поверхность зарядилась бы в результате падения на него света. Однако, опыт убеждает нас в обратном. Опыт также показывает, что фотоны не имеют электрического дипольного момента, магнитного момента, а время жизни фотона без взаимодействия с веществом следует считать бесконечным.