Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3530

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

6.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2(1

t 2 )

1 2t t 2

(1 x) 1 x x2

t 1

(t 2

1)2

t 2

2 arctg(t

2 arctg

1 x

2 x 1

(t 1)2

Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.

Интеграл

вида

R(sin x, cos x)dx,

где

рациональная функция от

sin x

и от

cos x.

Покажем, что

интеграл

рационализируется

подстановкой

t tg

x .

Действительно,

sin x

2 tg( x / 2)

tg2 (x / 2)

1 t 2

cos x

1 tg2

(x / 2) 1 t 2

;

2arctgt,

2dt

так

1 tg2

(x / 2) 1 t 2

1 t 2

что

R(sin x, cos x) dx

t 2

2dt

R (t) dt,

1 t 2

t 2

1 t 2

где R1(t) рациональная функция от t.

Пример 5. Вычислить	dx
		.
	1 sin x
Решение. Применяя подстановку t tg			x	, получаем

	2

sin x

2arctgt,

2dt

t 2

1 t 2

Таким образом,

t)2

sin x

tg(x / 2)

4. Интеграл

вида

R(e x ) dt. Покажем,

что

данный

интеграл

рационализируется

подстановкой

ex .

В самом

деле, так

как x lnt

, то

R(e x )dx

R(t)

где R(t) рациональная функция от t.

Пример 6.

Вычислить

e x

dx.

e x

Решение.

Полагаем

t ex ,

отсюда

Следовательно,

e x

t 1 dt

2t (t 1)

e x

t 1 t

(t 1)t

t 1

2 ln(1 t) ln t

2 ln(1 e x ) x C.

В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что операция интегрирования сложнее операции дифференцирования. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.

Отметим также, что если дифференцирование не выводит из класса элементарных функций, то при интегрировании дело

cos2 x

обстоит иначе. Существуют такие элементарные функции, первообразные от которых не являются элементарными функциями. Такие первообразные не только существуют, но и играют большую роль как в самом математическом анализе, так и в его приложениях. Они хорошо изучены, для них составлены таблицы и графики, помогающие их практическому использованию.

Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.

				Задачи к п. 2
	(x2	3x3								1		1
1.			x 1)dx.		2.	x4 5	x	3	x	1		1		dx.
1.			x 1)dx.		2.	x4 5	x	3	x		x2		x	dx.
											x2		x
3.		2	3	dx.	4.	(2x 3x )dx.

		x 2
	1		1 x 2
	1		1 x 2

5.	e x		2			e x	dx.
						x3

				x			x	2
7.		sin				cos		dx.
				2			2

9.		x4			dx.
	1		x2

6.(sin x 5cos x)dx.

cos2x

8. cos2 x sin2 xdx.

10. 3 2 ctg2 xdx.

11.	1						sin3 x								dx.								12.		ctg2 xdx.
11.															dx.								12.		ctg2 xdx.
				sin2 x
13.	sin						2			x		dx.											14.	1												x 2								1			x		2	dx.
									2
																																					1						x	4
																																												4

15.				x2							dx.												16.									1															1				dx.
		x2																									x 2
																																				25										x 2
										1																										25										x 2			5
17.									1										1			dx.	18.		x2											2	dx.
																		x 2 3							x2
							4					x2																								1
							4					x2																								1
19.			1							1							1		dx.				20.					1												1						dx.
			x						x2								x3
																															x							4 x3
																															x							4 x3
21.	4x 3											4				x		dx.					22.			e x 1															e x						dx.
																																							cos2
														x3																																x
														x3																																x
		5x8								1															( x											1)3
23.													dx.										24.																			dx.
23.						x4							dx.										24.										x									dx.
						x4																											x
		3 tg2								x				4																					x										x		2
25.																	dx.						26.				sin													cos							dx.
25.					sin2 x												dx.						26.				sin							2						cos					2		dx.
					sin2 x																													2											2
27.	2			x		e		x		dx.													28.	cos								2				x	dx.
27.	2					e				dx.													28.	cos												2	dx.
																																				2
			3x4									3x2							1						x5											x 1
29.																				dx.			30.																				dx.
29.									x2					1						dx.			30.						x2								1						dx.
									x2					1															x2								1
				2x					4					4x2					1											3x4											3x2						1
31.																					dx.		32.																									dx.
31.									1 x2												dx.		32.													x2				1								dx.
									1 x2																											x2				1

33. 2 x 5x dx.

10x

35.cos5xdx.

38.e2x dx.

				e4x
41.												dx.
41.			e x									dx.
			e x			1
				dx
44.											.
44.		sin2						x
		sin2
						3

47.				2x 5dx.
50.				dx						.
50.										.
	2					3x
53.			5x					6					dx.


	1						3x
56.				cos3x										dx.
56.														dx.
	3					sin 3x
59.	ecos x sin xdx.

		e x
62.							dx.


					x
65.			cos x						dx.
65.									dx.
		sin3 x

34. 16 x4 .

36.sin 7xdx.

39.tg xdx.

42.dx.

x5 7

45.(2 5x)9dx.

37.sin(3x 5)dx.

40.e x 2 xdx.

43. . cos2 3x

46.	dx		.



	2	3x

	3													dx				.
48.	3		3			7xdx.					49.			dx
48.			3			7xdx.					49.
													5x			2

51.					x			dx.			52.				x		dx.
51.	3							dx.			52.						dx.
	3			x	1									x		1

54.		x			1				1	dx.	55.			sin x					dx.
												1 3cos x

		x			1		1

57.cos3 x sin xdx. 58. sin2 x cos xdx.


60.		e	x 3 x 2 dx.			61.	esin x cos xdx.
63.	earctg x				dx.	64.	e tg x sec2 xdx.
63.					dx.	64.	e tg x sec2 xdx.
	1		x2
66.		sin x		dx.		67.		dx	.
		cos5 x						x(1 ln x)

68.	1 ln x	dx.

	x

71.31 / x dx.

74.cos x dx.

77. 1 2 sin xdx. cos2 x

									dx
69.	x2 5 x3			8dx.		70.			dx			.


								e x			1
								e x			1
72.		arctg x		100	dx. 73.					e x dx			.
		1 x2
								4			e2x
								4			e2x
75.			dx				. 76.		arcsin x					x	dx.
75.							. 76.								dx.
	arccos x 5 1					x2					1 x 2
78.	1 sin 2x			dx.
78.				dx.
		sin2 x

			cos3x		arctg2 x		dx.
79.	3 cos5x sin 5xdx. 80.			dx. 81.
		7				x2
			3 5sin x		1

82.3arcsin x dx.

1 x 2

85.		dx			.

	4x2		5
	4x2		5
88.		dx		.

	9x2
	9x2		1
91.		xdx					.


	2		x 4
	2		x 4
94.		x	1			dx.

	1		x2
	1		x2
97.			dx					.



	3		2x				x2

83.	2				x			dx.						84.	41				3x dx.


				x
				x
86.							dx					.		87.					dx				.


	25							4x2							3					2x 2
	25							4x2							3					2x 2
89.				dx										90.			dx					.
									.
		3 5x2
		3 5x2														9x 2				5
92.			x3dx							.				93.		x		1			dx.
92.										.				93.							dx.
			x8					3								x2				1
95.						dx					.			96.					dx						.

	x2
								4x 5									x2
								4x 5									x2			2x 3
98.							dx						.	99.			3x			1				dx.

				2											x2
	3x			2				2x 1							x2			2x 5

100.

5x 1

dx.

101.

x arctg xdx. 102.

arcsin xdx.

arcsin x

arctg x

dx.

103.

dx.

104.

arctg

1dx. 105.

106.

arcsin

dx.

107.

ln xdx.

108.

x ln xdx.

109.

x ln(3x

2)dx.

110.

(x2

2) ln xdx.

(4x3

111.

6x 7) ln xdx.

112.

ln( 1

x )dx.

113.

xe x dx.

114.

xe5x dx.

115.

x3e x dx.

116.

x 2e

x / 2dx.

117.

x cos xdx.

118.

x sin xdx.

119.

1) cos3xdx.

120.

x 2 cos xdx.

121.

x 2 sin xdx.

122.

x2e x dx.

123.

xdx

124.

xdx

dx.

sin2 x

cos2 x

125.

e x sin xdx.

126.

e2x cos3xdx.

127.

e x sin

dx.

128.

(x3

1) cosdx.

129.

ln2 xdx.

130.

ln(x2

2)dx.

arctg

131.

cos(lnx)dx.

132.

dx.

133.

x dx.

134.

x2 dx.

135.

dx.

136.

dx.

(x 2)(x 3)

2)(x

137.				3x2							2x				3				dx.	138.								2x	3						dx.			139.													dx				.
137.																			dx.	138.									2)3						dx.			139.																	.
			x(x 1)(x 1)																									(x	2)3																	(x 1)(x							2)
140.							dx											.		141.								(x 2					2)dx								.		142.									xdx							.
140.																		.		141.																					.		142.																.
			(x 12 (x 1)																							(x 1)2 (x 1)																							x2				3x 2
				x4				3x3									2x2				x 1																						x3			1
143.																								dx.					144.																							dx.
143.											x2													dx.					144.												x3			5x2								dx.
											x2						x 1																								x3			5x2					6x
145.							dx							.						146.											dx											.					147.							dx						.
145.					x4				x2					.						146.							(x2			2)(x								1)2				.					147.						1 x3							.
					x4				x2																		(x2			2)(x								1)2															1 x3
148.						dx				.					149.						x4				2x3				3x							4	dx.						150.									dx						.
148.			1 x3							.					149.										1 x3												dx.						150.								(1 x3 )2							.
			1 x3																						1 x3																										(1 x3 )2
151.							dx					.			152.								5x 2									dx.					153.									x 2					2x		7				dx.
151.						x4						.			152.							x2										dx.					153.								x 2 (x 2								1)2				dx.
						x4			1													x2				2x 10																			x 2 (x 2								1)2
154.							7x		6							dx. 155.												x 4							dx.			156.												x 2						dx.
154.		2x 2						6x							4	dx. 155.							(x 2					1)(x				2)			dx.			156.							(x			2)2 (x					1)			dx.
		2x 2						6x							4								(x 2					1)(x				2)													(x			2)2 (x					1)
																						Ответы к п. 2
	x3					3x4							x		2													x5		5				5														1
1.	x3					3x4							x						x C. 2.									x5		5			x	5				x 2x x										1			ln		x	C.
1.	3		4											2					x C. 2.						5				6				x					x 2x x										x			ln		x	C.
	3		4											2											5				6																			x
3. 2arctgx										3arcsinx										C.					4.						2 x								3x				C.
3. 2arctgx										3arcsinx										C.					4.						ln 2								ln 3				C.
																															ln 2								ln 3
5. 2ex			1											C.											6.					cosx									5sin x							C.

							2x2
							2x2
7. x		cosx									C.														8.							(tg x								ctgx)						C.

9.	x3							x				arctg x								C.					10.				3tg x									2ctg x						C.
9.	3							x				arctg x								C.					10.				3tg x									2ctg x						C.
	3
11.		cosx ctg x C.																							12.				(ctg x x) C.
			1
13.			1				(x					sin x)								C.					14.			arcsin x											ln				x	1	x2			C.
13.	2						(x					sin x)								C.					14.			arcsin x											ln				x	1	x2			C.
																								1		x	5
15.	x						arctg x										C.					16.		1	ln	x	5								ln			x					x2	5		C.
15.	x						arctg x										C.					16.	10		ln	x	5								ln			x					x2	5		C.
17.	arcsin											x				1			arctg			x	C.		18. x							3					x		1
												x				1						x										3		ln			x		1				C.
																																		ln									C.
											2					3						3								2								x	1
											1					1
19.	ln			x							1					1				C.					20. 2					x						44 x							C.

												x			2x2
		3 4x										x			2x2
21.		3 4x											2						C.						22.			ex							tg x							C.
			ln 4
														x
														x
23.	x5										1					C.									24.			2
											1																	2		x					x			3x					6	x	ln		x	C.
										3x3																	3			x					x			3x					6	x	ln		x	C.
										3x3																	3
25.	3tg x												4ctg x							C.					26.		x					cosx									C.
27.								(2e) x										C.							28.						1			(x				sin x)						C.
27.								ln 2					1					C.							28.					2				(x				sin x)						C.
								ln 2					1																	2
29.			x		3						arctg x									C.					30.				1		x		4					1	x			2	arctg x C.
29.			x								arctg x									C.					30.				4		x							2	x				arctg x C.
																													4									2
31.			2				x		3				2x					1		ln	x	1	C.		32.				x	3						1		ln		x			1	C.
			2						3									1			x	1								3						1				x			1
	3																2				x	1													2					x			1
	3																2				x	1													2					x			1
						1											1										1													x				x	2
33.						1											1					C.			34.		1					2arctg								x			ln	x	2			C.
33.			5x ln5 2x ln 2																			C.			34.							2arctg											ln					C.
																											32												2					x 2
																											32												2					x 2

У к а з а н и е: умножить числитель и знаменатель подынтегрального выражения на число 8 и провести

преобразование:																							8						4					x2								4				x2.
35.		sin5x														C.											36.									cos7x											C.					37.							1				cos(3x								5)		C.
35.							5									C.											36.											7									C.					37.							3				cos(3x								5)		C.
							5																															7																					3
38.		1				e			2x						C.												39.								ln					cos x							C.					40.								1				e			x2				C.
		1							2x																																																			1							x2
	2																																																										2
	2																																																										2
41.		1			e				3x						1		e		2x							e		x				ln			e			x				1					C.					42.				1			ln						x	5		7				C.
		1							3x						1				2x									x										x																		1										5
	3													2																																								5


43.		tg3x												C.													44.							3ctg									x				C.					45.					(2 5x)10															C.
43.														C.													44.							3ctg													C.					45.												50								C.
					3																																					3																						50
46.			2																								47.					1										5)3 / 2										48.			3												7x)4 / 3
			2						2					3x							C.											1		(2x															C.						3							(3											C.
	3								2					3x							C.										3			(2x															C.					28								(3											C.
	3																														3																							28
49.		1																											50.										1		ln			2
		1		ln						5x				2								C.																	1								3x			C.
				ln						5x				2								C.																									3x			C.
	5																																					3
	5							1 6											1 6												1							3

51.														7													5							6								6									6
	6											x		7											x		5							6			x					6		x			arctg				6		x	C.
	6							7				x								5					x							3					x							x			arctg						x	C.
								7												5												3
																													1)2																			2(44 15x)
52.		x							2				x					ln(							x													C.							53.			2(44 15x)														1					3x				C.
52.		x							2				x					ln(							x													C.							53.																	1					3x				C.
																																																			27
																																																										1
54.			x						4					x				1						4ln							x				1 1										C.						55.							1			ln1							3cos x					C.
54.			x						4					x				1						4ln							x				1 1										C.						55.										ln1							3cos x					C.
																																																						3
56.			1				ln				3				sin3x												C.								57.										cos4 x						C.			3										58.					sin3 x				C.


	3																																														4																							3
	3																													1			e x3														4																							3

59.			ecos x														C.						60.																					C.			61. esin x								C.										62. 2e							x	C.
59.			ecos x														C.						60.																					C.			61. esin x								C.										62. 2e								C.
																													3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.35 Mб03520.pdf
#
15.11.20226.36 Mб03522.pdf
#
15.11.20226.42 Mб03525.pdf
#
15.11.20226.42 Mб63526.pdf
#
15.11.20226.43 Mб03527.pdf
#
15.11.20226.43 Mб23530.pdf
#
15.11.20226.45 Mб13531.pdf
#
15.11.20226.45 Mб03532.pdf
#
15.11.20226.5 Mб03533.pdf
#
15.11.20226.52 Mб23535.pdf
#
15.11.20226.55 Mб33536.pdf

85.		dx			.

	4x2		5
	4x2		5
88.		dx		.

	9x2
	9x2		1
91.		xdx					.


	2		x 4
	2		x 4
94.		x	1			dx.

	1		x2
	1		x2
97.			dx					.



	3		2x				x2

85.		dx			.

	4x2		5
	4x2		5
88.		dx		.

	9x2
	9x2		1
91.		xdx					.


	2		x 4
	2		x 4
94.		x	1			dx.

	1		x2
	1		x2
97.			dx					.



	3		2x				x2

85.		dx			.

	4x2		5
	4x2		5
88.		dx		.

	9x2
	9x2		1
91.		xdx					.


	2		x 4
	2		x 4
94.		x	1			dx.

	1		x2
	1		x2
97.			dx					.



	3		2x				x2