3530

Имеем

f x

4x3,

f y

4y3, fxx

12x2,

f xy

0,

f yy

12y2 .

Решая систему

уравнений

4x3

0 , 4y3

0,

находим,

что

M 0 (0,0)

точка

возможного

экстремума.

В

этой

точке

f xx (0,0)

0,

f yy (0,0)

0

и,

следовательно,

0 .

Согласно

замечанию, в точке M 0 (0,0) экстремум может быть и может не

быть. В данном случае экстремум есть, так как

z

0

во всех

точках, кроме M 0

и z

0

в точке M 0 , т.е. данная функция в

точке M 0

имеет минимум.

4. Исследовать на экстремум функцию z

x3

y3 .

Имеем,

f x

3x2 ,

f y

3y2 ,

f xx

6x,

f xy

0,

f yy

6 y.

Решая систему

уравнений

3x2

0,

3y2

0,

находим,

что

M 0 (0,0)

точка

возможного

экстремума.

В

этой

точке

f xx (0,0)

0,

f yy (0,0)

0

и,

следовательно,

0 .

В данном

случае в точке

M 0

экстремума нет. В самом деле,

z(0,0)

0 ,

z(x,0) х3 , откуда

z

0 при

x

0

и

z

0 при

x 0 , т.е. в

любой окрестности точки M 0

данная функция имеет значения

как большие, так и меньшие z(0,0) .

через x, y, z.

Задача

сводится

к отысканию

максимума

функции v

xyz при

условии

2xy 2xz 2yz

2a . Мы

переменных x

и

y независимой будет только одна, например

x , так как

y

определяется из равенства

(x, y)

0

как

функция

x .

Подставляя найденное

выражение для

y

в

равенство

u

f (x, y) , мы получили

бы

функцию

одной

переменной x

и свели бы задачу к задаче об исследовании на

du

должна обращаться в нуль. Дифференцируя функцию

dx

u f (x, y) как сложную функцию, у которой одна из

du

f

f

dy

.

dx

x

y dx

Следовательно, в точках экстремума имеем

f

f

dy

0 .

(4.50)

x

y dx

dy

0 .

(4.51)

x

y dx

Умножим члены равенства (4.51) на неопределенный пока

коэффициент

и сложим их с соответствующими членами

(4.50):

f

f

dy

0 .

(4.52)

x

x

y

y

dx

Равенство (4.52) выполняется во всех точках экстремума.

Подберем коэффициент

так, чтобы для значений x и

y ,

соответствующих экстремуму функции

u ,

вторая скобка в

(4.52) обратилась в нуль:

f

0 .

y

y

Но тогда при этих значениях

x и

y

из равенства (4.52)

следует равенство

f

0 .

x

x

То есть, получается, что в точках экстремума

удовлетворяются три уравнения:

f

0

x

x

f

0

(4.53)

y

y

(x, y) 0

относительно

трех

неизвестных x, y, .

Из

этих

уравнений

определяем координаты точек экстремума

x,

y и величину

,

(4.54)

f (x, y, )

f (x, y)

(x, y)

по переменным x, y и

. То есть, для того,

чтобы найти

значения x и y , удовлетворяющие условию

(x, y) 0, при

которых функция u

f (x, y)

может иметь условный

приравнять

нулю

ее

производные

по

x, y

и

и

из

полученных трех уравнений (4.53) определить искомые

x,

y и

вспомогательный множитель .

Продолжение

решения

примера.

Составим

вспомогательную функцию f (x, y, z,

) xyz

(xy xz

yz

a) .

Найдем ее частные производные и приравняем их нулю

yz

( y

z)

0

xz

(x

z)

0 .

(4.55)

xy

(x y) 0

Задача сводится к решению системы уравнений (4.55) и

(4.56)

xy xz yz a 0 (x

0, y

0, z

0) .

(4.56)

Умножим первое уравнение (4.55) на

x , второе – на

y ,

третье – на z

и сложим их

3xyz

(xy

xz

xy

yz

zx

zy)

0.

С учетом (4.56) получим 3xyz

2a

0 или

3xyz

.

2a

Подставим

в (4.55):

yz 1

3x

( y

z)

0 ;

2a

xz 1

3y

(x z)

0 ;

xy 1

3z

(x y)

0 .

2a

2a

Так как x, y, z отличны от нуля (по смыслу задачи), то

3x

( y z) 1 ;

3y

(x z) 1;

3z

(x y) 1.

2a

2a

2a

Из первых двух уравнений:

x y , из второго и третьего

уравнений:

y

z . Из

уравнения (4.56) получим: 3x2 a ,

x y z

a 3 . При этих значениях переменных может быть

уравнением вида y

(x),

a x

b или x

( y), c

y d .

Вдоль каждого такого участка границы функция

z f (x, y)

превращается

в функцию

одной

переменной

x

или

y :

z f x, (x)

или z

f

( y), y .

Тогда задача

нахождения

вида a x

b или c

y

d .

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения

функции

z x2 y(2

x

y)

в области D , ограниченной

прямыми x

0 , y

0 ,

x

y

6 (рис. 62).

D

B

0

6

x

Рис. 62

zx

2xy(2 x y) x2 y xy(4 3x 2 y) ,

z y

x2 (2 x y) x2 y x2 (2 x 2 y) .

Так как внутри треугольника x

0 ,

y

0 ,

то приравнивая zx

и z

нулю, получим:

4

3x

2 y

0 .

Отсюда: x

1, y

1

.

y

2

x 2 y 0

1

1

2

То

есть

т.

P

1,

1

и

в

ней

z

1

2

1

1

1

.

1

2

1

2

2

4

Рассмотрим границу

OAB : 1) На OA x

0 и z

0 . 2) На OB

y 0

и

z 0 .

3)

На

AB

y 6 x ,

z

x2 (6

x)(2

x

6

x)

4x2 (6

x) . Найдем наибольшее и

наименьшее

значение

этой

функции

на

0,6 :

z x

8x(6

x)

4x2

12x2

48x

0 . Тогда 12x(x

4)

0

и

x2

0, x3

4 . Вычислим значение z в этих точках:

z2 (0)

0 ,

z3 (4)

128. На

конце

x4

6

отрезка

0,6

z4 (6)

0 .

Из

значений

в

точках

P,

x2 , x3 , x4

выбираем

наибольшее

и

наименьшее:

M

1

,

m

128.

4

Пример 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения

функции z

x2

y2 в области D : x2

y2

4 (рис. 63).

-2

0

2

z

x

2x

0 , z

y

2 y

0 .

P (0,0)

;

z

P1

0 . На границе:

1

y2

4 x2

z x2

4 x2

2x2 4 ,

z x

4x 0 , x2

0 и

z2

x

0

4 . На концах отрезка:

x3

2 ,

x4

2 z3

x 2

4 ,

z4

x

2

4 . То есть,

наибольшее

значение

в

области

D

функция принимает в точках P3 (

2,0) ,

P4 (2,0) , наименьшее –

в точках P (0,2) ,

P (0, 2) (если x

0 , то y2

4 , y

2 ).

2

5

Задачи к п. 4.

1. Вычислить повторные пределы

lim

lim

f (x, y)

и

x

x0

y

y0

lim

lim f (x, y)

, если:

y y0

x

x0

1)

f (x, y)

x 2

xy

y 2

, x0

0 , y0

0 ;

x 2

xy

y 2

2)

f (x, y)

x2

y 2

, x0

, y0

;

x2

y 4

3)

f (x, y)

cos x

cos y

,

x0

0 ,

y0

0 .

x2

y 2

2.

Доказать

что

функция

f (x, y)

x 2

является

(

x

y

)

бесконечно малой в точке

O(0,0) .

3.

Доказать

что

в

точке

O(0,0)

предел

функции

f (x, y)

x 2

xy

y 2

не существует.

x 2

xy

y 2

4. Найти точки разрыва следующих функций

1)

z

ln(1

x2

y2 ) ;

2)

z

sin

x

;

y

3) u tg(x2

y2

z 2 ) .

x 2 y

при x 4

y 2

0,

z

x 4

y 2

x

2 y 2

при

x 4

y 4

0,

x 4

y 4

1)

z

в точках O(0,0) и

0

при

x 4

y 4

0

M 0 (1,2) ;

x2

y 2

при

x

y

0,

2)

z

x

y

в точках O(0,0) и

0

при

x

y

0

M 0 (1, 1) ;

x 2

y 2

при

x 2

y 2

0,

x 2

y 2

3)

z

в точках O(0,0)

0

при

x 2

y 2

0

1) z sin(x2 y) ,

2) z x2 ln(x2 y2 ) .

3)

f (x, y)

e 1 (x 2

y 2 ),

x2 y 2

0,

x2

y 2

0,

0,

x 4

y 4

, x 2

y 2

0,

4) f (x, y)

x 2

y 2

0,

x 2

y 2

0.

Найти частные производные от функций:

10. z

x2 y3

x3 y.

11.

z

x

y

.

12.

z

xy

.

x

y

x

y

4.

z

x2 sin y.

5. z

exy .

6.

z

xyex

2 y .

7. z

e y / x .