3530

а соответствующие выражения для полного приращения дифференцируемой функции и ее полного дифференциала записываются в форме

В двумерном случае (когда рассматриваем функции двух переменных)

З а м е ч а н и е 2 . Теоремы 1 и 2 выражают лишь необходимые условия дифференцируемости функции в точке: как непрерывность функции f (x, y) , так и существование у нее

обеих частных производных в точке вытекают из дифференцируемости в этой точке. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется в какой – либо точке, то функция не может быть дифференцируема в этой точке.

Обратные утверждения к теоремам 1 и 2 неверны. Из непрерывности функции в точке, а также из существования ее частных производных в этой точке, еще не следует дифференцируемость функции. Для практических целей требуются достаточные критерии дифференцируемости функции.

Оказывается, что в отличие от функции одной переменной, для дифференцируемости функций многих переменных достаточно непрерывности частных производных в точке.

200

3. *) Достаточные условия дифференцируемости.

Теорема 3. Если функция u f (x, y) имеет частные производные по всем аргументам в точке M 0 (x0 , y0 ) и в некоторой окрестности этой точки, причем все эти частные

дифференцируема и ее производная по х является в то же время

(4.34)

______________________________________________________

*) Материал этой части предназначен для самостоятельного изучения.

201

отличаются на бесконечно малые. Таким образом, можно записать равенства:

Учитывая выражения (4.34) – (4.36), полное приращение функции u f (x, y) (4.33) можно записать в виде

202

f y (x, y) , причем эти частные производны непрерывны в точке

M 0 , то функция f (x, y) также непрерывна в этой точке. Действительно, поскольку частные производные

существуют в окрестности точки M 0 , в самой этой точке, и непрерывны в точке M 0 , то функция по теореме 3 дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) . Но поскольку функция дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) , то, согласно теореме 1,

она непрерывна в этой точке.

Установленная теорема 3 имеет важное значение для практической проверки дифференцируемости функции. Дело в том, что непосредственная проверка дифференцируемости с помощью определения (4.18), (4.20) или (4.22) часто весьма затруднительна. Проверка же непрерывности частных производных оказывается проще. Но не следует забывать, что непрерывность частных производных – это достаточное условие. Если производные не являются непрерывными функциями, то не следует думать, что функция обязана быть недифференцируемой!

В заключение отметим терминологический вопрос.

Функция, имеющая в некоторой точке (или на некотором множестве) непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на множестве).

4.8. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала

1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл условия дифференцируемости.

203

касательная плоскость (

N

нормаль

Р

Р0

перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке.

Теорема. Пусть функция z f (x, y) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) . Тогда в точке P0 (x0 , y0 , z0 ) графика этой

204

функции существует касательная плоскость, уравнение которой имеет вид

дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) . Тогда, в соответствии с

где А и В – постоянные, равные частным производным

аналитической геометрии, уравнение (4.39) в декартовой системе координат x, y, z определяет плоскость, проходящую через точку P0 (x0 , y0 , z0 ) , принадлежащую поверхности.

Нормальным вектором плоскости является вектор

N i f x (x0 , y0 ) jf y (x0 , y0 ) k .

Докажем, что плоскость (4.39) является касательной плоскостью в точке P0 поверхности. Так как плоскость

проходит через точку P0 , то достаточно доказать, что угол между нормалью N этой плоскости и любой секущей P0 P

стремится к 2 , когда точка P поверхности стремится к точке

205

Учитывая, что коэффициенты А и В равны соответственно частным производным, вычисленным в точке M 0 (x0 , y0 ) , уравнение касательной плоскости может быть записано в виде

касательной плоскости называется вектором нормали к поверхности z f (x, y) в точке P0 (x0 , y0 , z0 ) . Поскольку

прямая P0 N перпендикулярна касательной плоскости в точке P0 , то ее направляющий вектор совпадает с нормалью N

касательной плоскости. Следовательно каноническое уравнение нормали имеет вид

2. Геометрический смысл полного дифференциала.

Вернемся к уравнению касательной плоскости (4.40).

где левая часть равенства представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности (рис. 60).

207

Таким образом, полный дифференциал функции двух

P0 (x0 , y0 , z0 ) .

В этом заключается геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

4.9. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных

1. Производные сложных функций.

Пусть z f (x, y) – функция двух переменных х и у, каждая из которых, в свою очередь, является функцией

дифференцируема в точке M (x(t), y(t)) , то сложная функция z f (x(t), y(t)) также дифференцируема в точке t. При этом производная этой сложной функции вычисляется по формуле

209