3530

задана

в

полярных

координатах

уравнением

,

,

причем функция

непрерывна и

неотрицательна

на

отрезке

, .

Плоскую фигуру,

полярной осью углы

и , будем называть криволинейным

сектором (рис. 30).

Площадь

s криволинейного

сектора

находится по формуле

s

1

2 (

)d .

(3.11)

2

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

полярной осью и первым витком спирали Архимеда:

a ,

где а – положительное число (рис. 31).

Решение. При изменении

от 0 до 2 полярный радиус

a

2 2

a

2

3

2

a

2

8

3

4

sОАBC

2d

3a2 .

0

2

2

3

2

3

3

0

Расстояние

от

точки С

до

полюса

равно

2 a .

Поэтому

круг

радиуса

ОС

имеет

площадь

OC2 4

3a2

3

4

3a2

3 s

,

т.

е.

площадь фигуры,

3

OABC

ограниченной полярной

осью

и

первым

витком

спирали

Архимеда,

равна

1

площади

круга

с

радиусом,

равным

3

Если функция

f (x)

непрерывна вместе с f

(x) на

отрезке a, b , то длина дуги АВ выражается формулой

b

L

1

f 2 (x) dx.

(3.12)

Рис. 33

Рис. 34

Пример

5.

Вычислить

длину

дуги

верхней

ветви

полукубической параболы y

x3 / 2 , если 0

x 5 (рис. 33).

Решение.

Из уравнения

y

x

3/ 2

находим:

3

1/ 2

y

x

.

2

З а м е ч а н и е 1. Для вычисления длины дуги в случае,

когда кривая

AB

задана

параметрически

уравнениями

x

(t),

y

(t),

t

,

где

и

значения

параметра

t, соответствующие

значениям

x

a , x b , т.е.

b

a

( ), b

( ), в формуле L

1

y 2 (x)dx

надо

a

сделать замену переменной, положив

x

(t), dx

(t)dt.

Тогда получим

изменении полярного угла

от

0 до

2 . Поэтому по

формуле (3.14) искомая длина дуги равна

2

2

L

a 2 2

a 2 d

a

2

1 d

0

0

1

ln 2

a

4 2 1

4 2

1 .

2

4. Объем тела вращения. Пусть

функция

f (x)

непрерывна

и неотрицательна на отрезке

a, b . Тогда

тело,

трапеции, ограниченной сверху графиком функции

y f (x) ,

(рис. 35) имеет объем

b

V

f 2 (x) dx.

(3.15)

Рис. 35

Рис. 36

от вращения криволинейных трапеций

ABCDE

и

ABLDE

вокруг оси Ох.

Уравнение

окружности

LBCD

имеет

вид

x2

( y

b)2

a2 ,

причем уравнение

кривой

BCD

y

y (x)

b

a2

x2 ,

а

уравнение

кривой

BLD

1

y y2 (x) b

a2

x2 .

Используя формулу (3.15), получаем для объема

V

тора

выражение

a

a

a

V 2

y2

(x) dx 2

y2 (x) dx 2

y2

(x) y2

(x) dx

1

2

1

2

0

0

0

a

2

2

a2

x2

a2 x2

2

b

b

dx

0

a

8 b

a2

x2 dx 2 2a2b.

0

5. Площадь

поверхности

вращения. Пусть

функция

b

Р 2 f (x) 1 f 2 (x) dx.

(3.16)

З а м е ч

а н и е.

Если

поверхность

получается

вращением

вокруг

оси

Ох

кривой

АВ,

заданной

параметрически

уравнениями

x

(t), y

(t),

t

,

причем

(t)

0,

(t)

изменяется от a

до b при изменении t

от

до

,

( )

a, (

)

b,

то производя в интеграле

(3.16) замену переменной x

(t), получаем

P

2

(t)

2 (t)

2 (t) dt.

(3.17)

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных

координатах:

( ),

,

где

(

)

имеет

непрерывную производную на

,

, то этот случай, как уже

кривой

x

(

) cos ,

y

(

)sin

,

, и формула

(3.17) принимает вид

P

2

(

) sin

2 ( )

2 ( ) d .

Пример 9. Вычислить площадь P поверхности шарового

пояса,

образованного

вращением

полуокружности

f (x)

R2

x2 ,

R

a

x b

R,

вокруг оси Ох.

Решение.

По формуле (3.16) получаем

b

x2

b

R2

x2

P 2

1

dx 2 R dx 2 R(b a) 2 Rh,

R2

x2

a

a

где h – высота пояса.

Пример

10.

Вычислить

площадь

поверхности,

полученной

вращением

одной

арки

циклоиды

x a(t sint),

y

a(1

cost),

0

t

2 , вокруг оси Ох.

Решение.

По формуле (3.17)

имеем

2

P 2

a (1 cost)

(a sin t)2 a(1 cost) 2 dt

0

2

64

2

a 2

cost 3 / 2 dt

a 2 .

2

1

3

0

Рис. 37

Рис. 38

вдоль оси Ох из точки

x

a в точку x

b ( a

b ). Функция

F(x) предполагается непрерывной на отрезке

a, b (рис. 37).

Разобьем произвольно отрезок

a, b на n частей точками

a x0 x1

x2

xi

1

xi

xn

b. Выберем на каждом

частичном

отрезке

xi

1, xi

точку

i . Сила, действующая на

материальную точку на отрезке xi 1, xi

, изменяется от точки

отрезка

xi

1,

xi мало отличается от

ее значения

в любой

точке

i

xi

1, xi , так как

F(x)

непрерывна.

Поэтому

работу Ai ,

совершаемую силой

F на

xi 1, xi , можно считать

является

интегральной

суммой

для

функции

F(x) . Так как

функция F(x)

непрерывна на

a, b ,

то предел этой суммы при

max

xi

0 существует

и

равен

определенному

1 i n

интегралу от функции

F(x)

по отрезку a, b . Таким образом,

n

b

A

lim

F (

i )

xi

F (x) dx.

(3.18)

0 i

1

a

на высоту h (рис. 38).

Решение. Обозначим через F силу притяжения тела

Землей. Пусть m3 -

масса Земли. Согласно закону Ньютона

F

G

m m3

, где

х

-

расстояние от тела до центра Земли.

x 2

Полагая G m m

K ,

получаем

F(x)

K

,

R

x

h R,

3

x2

где

R – радиус Земли. При x

R сила

F(R) равна весу тела

P

mg , т.е.

K

P,

откуда K

PR2, и F (x)

PR 2

.

Таким

R2

x2

образом, по формуле (3.18) получаем

R

h

2 R h dx

2 1

R h

PRh

A

F (x) dx

PR

PR

.

x 2

x

R

R

h

R

R