Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3530

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

6.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

																					x3
18.	y	x3					3x.			19.			y 12x x3. 20.						y				x2 .
18.	y	x3					3x.			19.			y 12x x3. 20.						y	3			x2 .
																				3
	y		x4					2x2.
21.			x4										22. y		x	2		x. 23.				y		x 1 x.
21.		4											22. y		x	2		x. 23.				y		x 1 x.
		4

		6					x
24.	y	6					x		.	25.		y		x2	1		x2	1.
24.	y			x		2			.	25.		y		x2	1		x2	1.
				x		2

26.	y				x2 1						x2		1.		27.	y 3 x2				1.		28.		y	2x		33 x2 .

29.	y	1				3 (x				1)2 .						30.		y		(x		2)2 3			(x	2)2 3.
31.	y		(x			2)2 3					(x		2)2 3. 32.			y		x(x		1)2 3.				33.	y		x	.

																										1 x2
																										1 x2

34.	y						x			.

					x2			4
					x2			4
37.	y				2x			1			.
37.	y				(x			1)2			.
					(x			1)2
40.	y				x2			.	41.				y
40.	y		x2				1	.	41.				y
			x2				1
44.	y		x 2e1/ x .						45.				y
48.	y			x3e x .
						ex			e x
51.		y										.
51.		y				ex			e x			.
54.	y		x2e				x2 .		55.

35.		y	x2 3 (1						x).					36.		y						x							.

																						2
																					x	2		1
38.			y			3		2x			.			39.	y			(x				1)		2			.
38.			y			(x		2)2			.			39.	y				x2			1					.
						(x		2)2											x2			1
	(x	1)2		. 42.					y			xe		x / 2 .	43.					y			ex					.
	x2			. 42.					y			xe		x / 2 .	43.					y								.
	x2		2x																				x
(1		x)ex .			46.			y xe x2 / 2 .							47.		y x3e x .
49.			y			e x				.				50.		y					e	x			.
49.			y			4(1			x)	.				50.		y				x2				3	.
							ex			e		x					2
52.					y								.	53.	y															.
52.					y		ex			e x			.	53.	y		ex (x 3)													.
y xln x.					56.			y		x		ln x. 57.				y	1					ln x				.
y xln x.					56.			y		x		ln x. 57.				y										.
																					x

58. y x ln2 x. 59. y x 2 ln 2 x. 60. y	x	. 61. y	ln(x	1)	.
	ln x		(x	1)2

62.

x 2

63. y

64.

2x3

5x2

14x 6

4x2

65. y

66.

67. y

68.

69.

70.

x)3/ 2

x 2

1)2

71.

arctg x.

72.

73.

arctg2x.

(1 x)3

Ответы к п. 1.

1) Возрастает на (

;

) ,

2) возрастает на (

; 0) и

убывает на

(0;

) , 3) возрастает на

;

и убывает на

4) возрастает на (

;

(1;

)

и убывает на

(

1;1),

возрастает на (

;

(1;

)

и убывает на

(

1;1).

1) При

1/2 – минимум ,

1/11;

2) при

1/e – минимум,

1/ e;

3) при

1–

минимум,

f (

17/12 ; при x

0 – максимум,

f (0)

2; при

3 –

минимум,

f (3)

37/4;

при

–

минимум,

f (

1/ 2;

при

1 – максимум,

f (1)

1/ 2;

при

0 – минимум, f

0, при x

2 – максимум , f (2) 4e 2 .

30 м.

и 5.

6. ah/4.

а/6.

4 R3

10.

11.

4 .

3 .

12.

13.

(3/2, 0).

14. 1)

При

2 –

точка

перегиба, на (-

, 2) – выпуклость вверх, на (2,

)

вниз;

при

1–

точки

перегиба,

на

-2)

–

выпуклость вниз, на (

2, 1) – вверх,

на (1,

)

вниз;

3) на

(

) выпуклость вниз, точек перегиба нет;

4) при x

1 – точки перегиба, на (

выпуклость вверх, на

(

1, 1) – вниз, на (1,

)

вверх;

при

1/2

точка

перегиба,

на (0, 1/2) – выпуклость вверх, на (1/2,

)

вниз;

на

(

) выпуклость вниз,

точек перегиба нет.

15.

3 .

16.

17. 1) x

1 – вертикальная асимптота,

горизонтальная;

1/2 – вертикальная асимптота,

1/2 – наклонная;

вертикальные асимптоты,

1– наклонная;

вертикальная асимптота,

x 1– наклонная;

5) две различные наклонные асимптоты

при

18.

При

максимум,

2 ;

при

1 –

минимум,

2 ;

при

–

точка перегиба.

19.

При x

максимум,

16; при

минимум,

16 ; при x

0 – точка

перегиба. 20. При x

максимум,

4/3;

при x

минимум,

0 ;

при

1 –

точка перегиба.

21.

При

минимум,

4 ; при x

максимум,

0 ; при

2 /

– точки

перегиба.

22.

Область

определения

функции

(

, 0). При x

максимум,

1; на (

, 0) –

выпуклость вверх. 23. Область определения функции (

1).

При x

2/3

максимум,

;

на

(

, 1) – выпуклость

вверх. 24. При x

максимум,

2 ; при x

– точка

перегиба;

0 – горизонтальная

асимптота при

. 25.

Область определения

1 ;

– наклонные

асимптоты

при

26.

Область

1 ;

определения

0 – горизонтальная асимптота.

27.

При

минимум,

28. При

максимум,

0 ;

при

минимум,

1 . 29.

При

минимум,

1. 30. При x

минимум,

;

при

максимум,

;

при

– точка

перегиба;

0 – горизонтальная асимптота.

31.

При x

минимум,

;

при x

максимум, y

32.

При x

3/5

максимум,

; при x

минимум, y

0 ; при x=6/5

– точка перегиба. 33. Экстремальных точек

нет;

вертикальные асимптоты,

0 – горизонтальная асимптота.

34.

Экстремальных

точек

нет,

вертикальные

асимптоты,

0 – горизонтальная асимптота.

35. При x

2/5

максимум,

;

при

минимум,

0 ;

при

–

точка перегиба.

36. При

максимум,

;

0 , x

при

минимум,

; при

–

точки

перегиба;

0 – горизонтальная асимптота.

37. При x 0

минимум,

при

–

вертикальная

асимптота,

0 – горизонтальная асимптота.

38. При x

максимум,

y 1; при x

1/2 –

точка перегиба;

2 – вертикальная

асимптота,

0 – горизонтальная асимптота.

39. При x

максимум,

2 ; при

минимум, y

0 ;

при

0 ,

3 – точки перегиба;

– горизонтальная асимптота.

40. При х=0

максимум, y

0 ;

при x

1 – вертикальные

асимптоты,

1 – горизонтальная асимптота.

41. При x

максимум, y 0 ;

0 ,

–

вертикальные

асимптоты,

1 – горизонтальная асимптота.

42. При x

максимум,

2/е;

при

–

точка

перегиба;

–

горизонтальная

асимптота

при

43.

При

минимум,

f(1) = e;

точек перегиба нет;

0 –

вертикальная

асимптота,

0 – горизонтальная

асимптота при

44.

При

1/2

минимум,

1/ 4e2 ; точек перегиба нет;

0 – вертикальная асимптота при х

;

lim x2e1/ x

0 .

45.

При x

0 – максимум,

при x

1– точка перегиба;

0 – горизонтальная асимптота. 46. При x

максимум,

е ;

при

минимум,

е ;

при x

– точки перегиба;

0 – горизонтальная асимптота.

47.

При

27 / е3 ; x

минимум,

– точки перегиба;

0 – горизонтальная асимптота при х

. 48.

При x

27 / е3 ;

0 ,

максимум,

при

– точки

перегиба;

0 – горизонтальная асимптота при

49.

При x

максимум,

е2 / 4 ;

–

вертикальная

асимптота,

0 – горизонтальная асимптота при

50.

При x

минимум,

е3 / 6 ; при x

максимум,

1/ 2е ;

3 –

вертикальные

асимптоты;

–

горизонтальная асимптота при х

51.

Экстремальных

точек

нет,

–

вертикальная

асимптота,

горизонтальные асимптоты,

52.

Экстремальных точек

нет.

При

–

точка перегиба,

горизонтальные

асимптоты;

53.

При

4 –

максимум, y 2e4 ;

3 –

вертикальная

асимптота,

– горизонтальная

асимптота при

54.

При

максимум, y=1/е;

при

– минимум,

0 ;

– горизонтальная

асимптота;

функция неотрицательная. 55. При

1/е

минимум,

y 1/е; (1;0) – точка пересечения с осью Ох;

lim y

0 ,

точек перегиба нет.

56.

При x

минимум,

x 0

функция положительна,

вертикальная асимптота

при х

57.

При x

максимум, y 1; при x

е1/ 2

точка

перегиба;

вертикальная

асимптота

при

–

горизонтальная

асимптота

при

58.

При

минимум,

0 ;

при

–

максимум,

е2

;

lim

0; функция неотрицательна.

59.

При x

максимум,

;

при

1 –

минимум, y

0 ,

lim

при

точки

перегиба;

функция

е1 / 2

е5 / 2

неотрицательна.

60.

При

минимум,

e ;

при

е 2

–

точка

перегиба;

lim y

–

вертикальная

асимптота.

61.

При

максимум,

;

при

2е

е3

– точка перегиба;

1 – вертикальная асимптота

при

–

горизонтальная

асимптота

при

62.

При

минимум,

2 ;

при

–

максимум,

2 ;

0 – вертикальная асимптота,

–

наклонная асимптота.

63. При x

максимум,

0 ;

при

–

минимум,

8 ;

2 –

вертикальная

асимптота,

2 – наклонная асимптота.

64. При

максимум,

49/12;

при x

–

максимум,

5/4;

при

–

минимум,

9/8;

при x

9/7 – точка перегиба;

–

вертикальная асимптота,

– наклонная асимптота.

65.

При

минимум, y

2 ;

при

–

максимум,

2 ; x

0 – вертикальная асимптота,

х/2 – наклонная

асимптота.

66.

При x

минимум,

3 ; точек перегиба

нет; x

– вертикальная асимптота,

–

наклонная

асимптота.

67.

При

минимум,

3 / 2 ;

при

1–

–

максимум,

3 / 2 ;

вертикальные

асимптоты,

x – наклонная асимптота.

68. Экстремальных

0 ,

точек нет.

При

точки перегиба,

–

наклонная асимптота.

69.

При

минимум,

27/4;

x 1 – вертикальная асимптота,

–

наклонная

асимптота.

70.

При х=1/2

минимум,

3 3 / 2 ;

вертикальная асимптота при х

х+3/2 – наклонная

асимптота при

71.

Экстремальных точек нет.

При

0 – точка перегиба;

х+

/2 – наклонная асимптота

при

/2 – наклонная асимптота при

72.

При

минимум, y

0 ;

при

4 –

максимум,

;

1 –

вертикальная

асимптота,

–

наклонная асимптота.

73.

При

1/2

максимум,

1/2+

/4;

при

–

минимум,

1/2

/4;

–

наклонная

асимптота

при

–

наклонная

асимптота при х

2.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1.Первообразная и неопределенный интеграл

1.Понятие первообразной функции. Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят

кобратной задаче: по данной функции f (x) найти такую

функцию F(x) , производная которой была бы равна функции f (x) , т.е. F (x) f (x).

Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство

F (x) f (x).

Рассмотрим примеры.

Функция

F(x)

sin x

является первообразной для

функции f (x) cosx

на всей числовой прямой, так как при

любом значении x

sin x

cosx.

Функция

F (x)

первообразная

для функции

f (x) 3x2 на

всей числовой

прямой, ибо в

каждой точке

x (x3 )

3x2 .

Функция

F (x)

1 x2

первообразная для функции

f (x)

x / 1

на интервале (

1,+1), так как в любой точке

х этого интервала

х2

x /

1 x2 .

f (x)

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если


F(x) – первообразная для				f (x) ,	т.	е.	F (x)	f (x), то
функция F(x)	C , где С –		произвольная постоянная,						также
является первообразной для				f (x) . Например, для функции
f (x) cosx первообразной			является		не		только	sin x ,	но	и
функция sin x	C, так как	sin x		C	cosx.
Отметим, что множество функций						F(x) C ,		где F(x) –
некоторая первообразная		для		функции			f (x) ,	а	C	–

произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции f (x) .

Лемма. Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Терема 1. Если F(x) – первообразная для функции f (x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для функции f (x) на этом промежутке может быть представлена в виде F(x) C , где С – произвольная постоянная.

2. Неопределенный интеграл.

Определение 2. Если функция F(x) – первообразная для функции f (x) на промежутке Х, то множество функций F(x) C , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом промежутке и обозначается символом

f (x) dx F(x) C.

При этом функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Символ f (x)dx обозначает, таким образом,

совокупность всех первообразных для функции f (x) . Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т.е. как какую-то из первообразных.

Восстановление функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Примеры.

3x2dx

C, так как x3

3x2 .

cos xdx

sin x C, так как sin x

cosx.

C, так как ln

dx ln

e 2x dx

e 2x

C, так как

e 2x

C e 2x .

2.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Из

определения

неопределенного

интеграла

непосредственно вытекают следующие свойства.

1 . Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

f (x)dx

f (x) и d f (x)dx f (x)dx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.35 Mб03520.pdf
#
15.11.20226.36 Mб03522.pdf
#
15.11.20226.42 Mб03525.pdf
#
15.11.20226.42 Mб63526.pdf
#
15.11.20226.43 Mб03527.pdf
#
15.11.20226.43 Mб23530.pdf
#
15.11.20226.45 Mб13531.pdf
#
15.11.20226.45 Mб03532.pdf
#
15.11.20226.5 Mб03533.pdf
#
15.11.20226.52 Mб23535.pdf
#
15.11.20226.55 Mб33536.pdf